RELACIONES PROPORCIONALES 1
LA CIRCUNFERENCIA- CÍRCULO
Prof. José Mardones Cuevas
E-Mail: [email protected]
Para mayor claridad en el establecimiento de las relaciones
proporcionales en la Circunferencia - Círculo, usamos la
siguiente notación:

s
a
r
r
: Radio de la circunferencia.

: Angulo del centro.
a
: Arco, comprendido por el ángulo del centro y los radios.
s
: Sector, comprendido por el ángulo del centro, radio y arco.
a

r

De acuerdo con la figura, podemos comparar el ángulo
,
comprendido por los radios, con el ángulo completo. Y escribimos la
razón:

360 º
Del mismo modo, podemos comparar el arco a
, comprendido
por el ángulo del centro y los radios, con la longitud de la
circunferencia. Y escribimos la razón:
a
2 r

s
r
s
Finalmente, podemos comparar el sector
, comprendido
por el ángulo del centro, con la medida del círculo. Y
escribimos la razón:
s
 r
2

a
s
r
Es así que, como el arco y el sector están
comprendidos por el mismo ángulo, podemos
establecer las siguientes proporciones:

360 º

a
2 r

360 º

a
s
 r
2
2 r

s
 r
2
También podemos escribirlo de manera resumida …

s
a
r

360 º

a
2 r

s
 r
2
La siguiente tabla resume estas relaciones, y sugiere una forma
de trabajar con ella.
s

a
r
ANGULO

360 º

LONGITUD
AREA
a
s
2 r

 r
2
Ejemplo1:
Determina el área de un sector que es subtendido por un ángulo
de 60º. Se sabe que el círculo tiene un radio de 4 cm.
Solución:
Según los datos entregados, el
problema involucra los
conceptos Angulo y Área. Entonces, de la tabla tomamos los
elementos que nos interesa trabajar:
ANGULO

360 º
LONGITUD
AREA
a
s


2 r

360 º

s
 r
2
 r
2
Enseguida corresponde sustituir los valores correspondientes y
resolver la proporción:

360 º

s
 r
60 º
2
360 º
1

6

s
 4
2
s
16 
6 s  16 
s
s
16 
6
8
3
Luego, el área del sector es
cm cuadrados.
8
3
Ejemplo2:
Determina el área de un sector que subtiende un arco igual a
cm. Se sabe que el círculo tiene un radio de 6 cm.

Solución:
Según los datos entregados, el
problema involucra los
conceptos Longitud y Área. Entonces, de la tabla tomamos los
elementos que nos interesa trabajar:
ANGULO

360 º

LONGITUD
AREA
a
s

2 r
a
2 r

 r
s
 r
2
2
Ahora corresponde sustituir los valores correspondientes y
resolver la proporción:
a
2 r


s
 r
2
2  6
1

12

s
 6
2
s
36 
12 s  36 
s
36 
12
s  3
Luego, el área del sector es 3 
cm. cuadrados.
OBSERVACIÓN:
Como frecuentemente se trabaja con ángulos, es bueno
considerar las siguientes relaciones:


360 º

s
 r
2
360 º  s     r
s
  r
360 º
2

360 º
2
a
2 r
360 º  a    2  r
a
  2 r
360 º
Por ejemplo:
Angulo
45º
60º
90º
Arco
Sector
C
 r
8
8
8
2 r
C
 r
6
6
6
2 r
C
 r
4
4
2 r
4



2
2
2
Ejercicio importante
En la figura: AB diámetro; Triángulo ABC, rectángulo en C; Triángulo OBC,
equilátero; OB=r, radio de la circunferencia.
¿Qué relación proporcional existe entre el cateto menor del T. ABC y el
diámetro de la circunferencia? ¿Esta relación es válida siempre?
Solución
Del T. OBC, equilátero, se tiene
que OB=BC=r.
r
r
r
Del diámetro se sabe que
equivale a dos radios, y se
escribe AB=2r.
Por lo tanto, si se reemplaza r en
AB se tiene:
AB=2 · r =2 · BC
AB=2 BC, es decir, AB:BC=2:1
Si el cateto menor de un triángulo rectángulo es adyacente a un ángulo
de 60º, entonces la hipotenusa mide el doble de éste.
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