1
Definición
Si un observador está mirando un objeto, entonces la
línea del ojo del observador al objeto se llama línea de
visión.
Si el objeto que está siendo observado está arriba de la
horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la
horizontal se llama ángulo de elevación.
Si el objeto está debajo de la horizontal, entonces el
ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama
ángulo de depresión.
Línea de visión
Angulo de elevación
Angulo de depresión
Línea de visión
2
Ejemplo 1:
Una persona parada sobre una colina ve un asta de bandera
que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión
respecto a la parte inferior del asta es 30° y el ángulo de
elevación respecto a la parte superior del asta es 45°.
Encuentre la distancia x.
Tomamos las distancias h y 60-h
En el triángulo 45°- 45°-90°:
tan 45  
h
45°
30°
x
60
x
60-h
h
En el triángulo 30°- 60°-90°:
tan 30  
60  h
x
3
Ejemplo 1(continuación):
Despejamos h e igualamos:
60  x tan 30   x tan 45 
h
45°
30°
60
x
60-h
Despejamos x:
x (tan 30   tan 45  )  60
x
tan 45  
tan 30   tan 45 
h
x
tan 30  
60
60  h
x
x 
60
3
 38 . 09 pies
1
3
4
Ejemplo 2:
La fórmula para el volumen V de un cono circular
recto es V  13  r 2 h . Si el radio de la base es r =6, y la
altura h, exprese el volumen como función de α.
tan   h
6
Por lo tanto:
6 ta n   h
h
α
r
Reemplazando este valor en V se
tiene:
1
V   (6) 2 (6 ta n  )
3
V  7 2  ta n 
5
Ejemplo 3:
El techo se define en meteorología, como la distancia
vertical del suelo a la base de las nubes. Para medir el
techo se coloca un reflector apuntando verticalmente
hacia la nube. ¿Cuál es el valor de esta altura h?
tan(71.5 )  x
150
x
h
x  150 tan (71.5)  448.302
71.5
1.7
h  x  1 .7  4 4 8 .3 0 2  1 .7  4 5 0 m
150 m
6
Ejemplo 4:
Un piloto vuela en línea recta a una altitud constante, a
800 pies sobre el nivel del mar. A unos 3000 pies hay una
montaña, la cual, de acuerdo con su mapa, tiene una
elevación de 2000 pies. ¿Cuál es el ángulo mínimo al cual
debe dirigir el avión para poder sobrevolar la montaña?
1200
2000
α
ta n   1 2 0 0  2
3000 5
2

5
 
  ta n  1 
800
 2 1 .8 
3000
7
Ejemplo 5:
Se construye un túnel recto con extremos A y B a través
de una montaña. Desde el punto C, el topógrafo
determina que AC= 600 metros, BC=500 metros y el
ángulo C= 80°. Determine la longitud del túnel.
Aplicando la ley del coseno se
tiene:
c2  a 2  b 2  2 ab cos C
B
A
c2
600
80 
C
500
 500






2
 600






2
 2  5 0 0   6 0 0  c o s 8 0 



c  6 8 6 .8 m etros
8
Ejemplo 6:
Una caja rectangular de lados 6m, 8m y 10m se muestra
en la figura siguiente. Determine el ángulo α formado por
la diagonal de la base con la diagonal del lado 6 x 8.
Solución
8

10
6
Trazamos la diagonal del lado
10x8 y hallamos sus medidas:
2
a
10 
 8   2 41
2
b
10 
 6   2 34
c
8 2  6 2
2
2
 10
Extraemos el triángulo formado por las diagonales.
9
Ejemplo 6(continuación):
a
Aplicamos la ley del
coseno:
a 2  b 2  c2  2 bc cos 
c

b
a  2 41
b  2 34
c  10
1 6 4  1 3 6  1 0 0  2 1 3 6 0 0  co s 


  co s  1  0 .0 0 2 6 4 7 0 5 


  8 9 .8 
10
Ejemplo 7:
Un helicóptero vuela a una altura de 1500 pies sobre la cima
de una montaña A, con una altura conocida de 4800 pies. Una
segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, es vista
con un ángulo de depresión de 50⁰ desde el helicóptero y con
un ángulo de elevación de 15 ⁰ desde A. Determine la
distancia entre las dos cimas de las montañas y la altitud
aproximada de B.
S e tie n e
C
R A  75
50⁰
R C  4 0  po r lo ta n to R B  6 5 
A p lica n d o la le y d e l se n o
1500 pies
se n6 5 
15⁰
A
1500
B
c 
1 5 0 0 se n 4 0 
se n6 5 

se n 4 0 
c
 1 0 6 3 .8 5 pies
c es la distancia entre las dos
montañas
11
Ejemplo 7(continuación):
Para hallar la altitud de la montaña B utilizamos el
triángulo rectángulo con ángulo agudo 15°
se n1 5  
50⁰
A
1 0 6 3 .8 5
x  275.34 pies
1500 pies
15⁰
x
B
x
A ltitu d de B
 3 3 0 0  2 7 5 .3 4 
pie s
3 5 7 5 .3 4 pies
12
Ejemplo 8:
Desde la parte superior de un edificio de 100 pies, un hombre
observa un automóvil que se mueve delante de él. Si el ángulo de
depresión del automóvil cambia de 15° a 33° durante el periodo
de observación, ¿Cuál es la distancia que recorrió el automóvil?
100
30°
15°
x
El triángulo que se tiene es:
100
30°
15°
x
13
Ejemplo 8 (continuación):
a
100
30°
15°
b
c
x
Del triángulo rectángulo se tiene:
sen 3 0  
100
ab 
ab
100
1 / 2 
ab  200
En el triángulo abc se tiene:
ángulo en b = 150°
ángulo en c = 15°
sen a
x

sen c
200
x 
200  sen 15 
sen 15 
x = 200 pies
(triángulo isósceles)
La distancia recorrida por el vehículo son 200 pies
14
Descargar

Ley del seno y ley del coseno