MATEMATICAS FINANCIERAS
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Matemática Financiera
Renato Eduardo Anicama Salvatierra
Email: [email protected]
MATEMATICAS FINANCIERAS
Matemática Financiera
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mundo
Utópico
Real
Mundo real
simplificado
Mundo
Simple
(se usa
muy poco)
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿Qué es la Matemática Financiera?
Es la ciencia que
nos proporciona
las herramientas
necesarias para
tomar decisiones
de inversión o de
crédito, a lo largo
del tiempo.
Introducción
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿Para qué sirve la Matemática
Financiera?
Para manejar flujos monetarios en el
tiempo con criterio técnico
¿Qué vamos a aprender al finalizar el curso?
Vamos a aprender tres cosas:
1°
A programar y administrar nuestro dinero
a lo largo del tiempo.
2°
A manejar la “Tasa de interés”.
3
°
A “tomar decisiones” de inversión,
de endeudamiento o de reestructuración
MATEMATICAS FINANCIERAS
FLUJO
Es la representación gráfica de una
cantidad monetaria de ingreso o
egreso (inversión ó pago).
Un flujo, cambia de valor cuando se
desplaza a lo largo del tiempo, y sólo
si, está afectado por una tasa de
interés.
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿ Por qué cambia de valor un flujo?
El valor de un flujo
cambia solo por estar
afectado por una
TASA DE INTERES
y al DESPLAZARSE
a lo largo del tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Desplazamiento de un flujo Financiero
Valor
Futuro
Valor Presente
o Valor Actual
DISMINUYE
CRECE
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Interés Simple
f (i,t)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gráfico de Interés Simple
Interés Simple = f (i,t)
Es una función que trabaja con tasa de interés
y tiempo.
S
Basta que la TASA sea MAYOR a cero “0” para
que el flujo financiero cambie si se desplaza.
P
I
i
P
0
n
Interés = ganancia sobre capital
MATEMATICAS FINANCIERAS
NOTACIÓN
P = Stock inicial del efectivo.
S = Stock final del efectivo.
i = Tasa de interés.
I = Ganancia sobre el capital.
n = Horizonte temporal.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 1
¿Cuál será el interés generado por una
inversión de US$ 15,000 durante 3 años
a una tasa de interés del 12%?
DATOS:
I=?
P= US$ 15,000
n = 3 años
i = 12%
I = Pin
I = 15,000 * 3 * 0.12
I = US$ 5,400
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 2
¿Qué interés dará un capital de US$ 50,000,
colocado al 5% mensual durante 2 años?
Datos:
I=?
I=Pin
P = US$ 50,000
I = 50,000 * 0.05 * 24
i = 5%
n = 2 años = 24 meses
I= US$ 60,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
LEYES
1.- La tasa de interés “Siempre” ingresa a las
fórmulas expresada en tanto por uno, es
decir, dividida entre 100.
2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa
de interés se asume que esta expresada en
términos “Anuales”.
3.- La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre”
deben estar expresados en la misma unidad de
medida, y se puede transformar a cualquiera
de ellos o a ambos.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Resultado Final = Stock Final
= Valor Futuro
f (i,t)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 3
¿Cuanto retiraré al cabo de 5 años
4 meses y 28 días si deposité US$
10,000 a una tasa del 20% trimestral?
n = 5 * 360 = 1800+
4 * 30 = 120
28
1948 días
S= P (1 + in)
S= 10,000 (1 + 0.20 * 1948)
90
S= 10,000 (1 + 0.0022222 * 1948)
S= 10,000 * 5.328888888…
P = 10,000
i = 0.20
90
S = $ 53,288.89
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 4
Si
P= US$ 450,000
S= US$ 867,550.36
n = 420 días
¿Hallar la tasa de interés anual que rigió la
operación?
P= 450,000
n = 1.1666...
I = S-P
I = 417,550.36
i
417 ,550 . 36
450 ,000 * 1 . 1666 ...
La respuesta se la multiplica x 100
para darla en porcentaje
i = 79.5334019%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 5
¿Cuanto es “S” al cabo de 2 años
y 1/2? Si la tasa anual es de 50% y
P = $ 100
P = $ 100
i = 50% = 0.50
n = 2 ½ = 2.5
S = 100 (1+0.50 * 2.5)
S =$ 225
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 6
Si P = $ 125,000
n = 10 trimestres
i = 10%
Hallar “S”?
S = 125,000 (1 + 0.10 * 2.5)
S = $ 156,250.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Fórmulas para cálculos a interés simple:
P 
I
i*n
S = P + I
i
I
P*n
n
I
P *i
S = P + ( P i n )
S = P ( 1 + i n )
Para hallar el interés:
I=S-P
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES COMPUESTO
Proceso por el cual el interés
generado por un capital en cada
periodo definido de tiempo, se
capitaliza.
¿Quien manda?
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿Qué es la CAPITALIZACIÓN?
Cuando el interés producido por un
capital durante una unidad fija de
tiempo se suma al capital anterior,
forma un nuevo capital. Si este nuevo
saldo se vuelve a invertir, por un
periodo similar a la unidad fija de
tiempo, generará un nuevo interés, que
sumaremos al capital anterior. La
repetición de este proceso se denomina
CAPITALIZACION ó acumulación.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Capitalización
La Capitalización es la acción de
acumular en cada frecuencia fija de
tiempo el interés ganado por un capital.
Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemos
hacernos las siguientes preguntas:
¿Quién manda?
La Capitalización
¿Cómo sabemos cuál es la capitalización?
Porque dice o porque la asumimos
MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES COMPUESTO
Tasa Nominal Anual
40%
S
Capitalización Semestral
P
20%
20%
0
1 año
El dinero crece a cada frecuencia producto
de la
CAPITALIZACION
MATEMATICAS FINANCIERAS
LA CAPITALIZACIÓN
133.10
121
13.31
110
12.10 146.41
CRECIO
11 133.10
46.41%
TASA
121
Capitalización trimestral
100
10
110
EFECTIVA
100
10%
0
I
II
III
Trimestres
IV TASA NOMINAL ANUAL
10% x 4 trimestres 40%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor futuro (Stock Final)
S=
n
P(1+i’)
Donde:
i’ = Tasa de interés del periodo, y
está directamente vinculada a
la frecuencia de capitalización.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Control del Tiempo y de la Tasa de Interés
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ojo:
• Cuando no se dice nada acerca de la
capitalización
se
asume
automáticamente que es diaria.
• Todo tiene que expresarse en la
unidad de medida de capitalización.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo 1:
P = $ 1,000
n = 1 año.
i = 40% anual
Capitalización Semestral
i 
,
0 . 40
 0 . 2 semestral
2

S  P * 1 i

, n
S  1, 000 * 1  0 . 2   1, 000 * 1 . 44
2
S = $ 1,440.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
NORMAS Ó LEYES
1.- La tasa de interés “Siempre” ingresa a las
fórmulas expresada en tanto por uno, es
decir, dividida entre 100.
2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa de
interés se asume que esta expresada en términos
“Anuales” y que la capitalización es diaria. (Si la
capitalización no está definida se asume
automáticamente como diaria).
3.- La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre”
deben estar expresados en la misma unidad de
medida, pero manda y ordena la capitalización.
MATEMATICAS FINANCIERAS
FÓRMULAS
S
P 

S  P * 1 i

, n
i 
,
1  i 
,
n
S
n
1
P
 S 
log 

 P 
n 
,
log 1  i


Valor Presente
Tasa del
período
Tiempo
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo 2
Si P = US$ 100,000.00
n = 5 meses.
TN = 8% trimestral
Capitalización mensual
¿Hallar S?
i' 
0 . 08
3
 0 . 026666 ...
S = 100,000 (1+0.026666...)5
S = US$ 114,063.66
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Las personas y las
empresas,
generalmente realizan
más de una
transacción a lo largo
del tiempo (depósitos
y/o retiros), sobre una
cuenta en su banco.
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿Qué entendemos por
flujos multiples?
Llamamos flujos múltiples al
conjunto de transacciones de
entradas o salidas de dinero
que ocurren a lo largo de un
determinado tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo
Al abrir una cuenta de ahorro en el banco, se produce un ingreso de
dinero (saldo a favor del que deposita); posteriormente y a lo largo
del tiempo suelen ocurrir un conjunto de transacciones que
incrementan o reducen el saldo (depósitos o retiros). Cuando el
cliente decide cancelar su cuenta, en una fecha cierta, es fácil
calcular el saldo final de todo lo actuado, considerando la tasa de
interés pertinente.
También es posible, conociendo el saldo final de una cuenta y las
fechas y forma de como se manifestaron los flujos a lo largo del
tiempo, determinar el importe con el que se abrió la cuenta.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Métodos
 Método Acumulación.
 Método de traslado de flujos.
 Método de factores dinámicos.
* Ecuación de valor
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método I
Acumulación
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método de
Acumulación
TNA = 18%
$ 10,000
$ 8,000
$ 12,000
S
$ 1,000
0
120
120 días
60 días
180
30 días
210
270 días
60 días
MATEMATICAS FINANCIERAS
i' 
0 . 18
360
 0 . 0005
diario
¿Qué ocurre con mi depósito inicial cuando llegue al día 120?
S  10 , 000 * (1  0 . 0005 )
120
 $ 10,618.21
Nuevo Saldo = 10,618.21 + 8,000 = $ 18,618.21
Ahora, llevamos este saldo hasta el momento en que
se realizó la siguiente transacción:
S  18 , 618 . 21 * (1  0 . 0005 )
60
 $ 19,185.08
Como en este momento se produce un retiro, entonces:
Nuevo Saldo = 19,185.08 – 12,000 = $ 7,185.08
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ahora, llevamos este nuevo saldo hasta el día 210, momento en que
se produce otro retiro:
S  7 ,185 . 08 * (1  0 . 0005 )
30
 $ 7,293.64
Nuevo Saldo = 7,293.64 – 1,000 = $ 6,293.64
Finalmente, al momento de la cancelación de la cuenta habrá un saldo
equivalente a:
S  6 ,293 . 64 * ( 1  0 . 0005 )
60
 $ 6,485.26
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ahora para practicar, hagamos
de cuenta, que se conoce el
monto que se retiró al cancelar
la cuenta y los diversos
movimientos realizados durante
el tiempo de permanencia; pero
se desconoce el importe inicial
con el que se la abrió.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método de
Acumulación
TNA = 18%
P
$ 8,000
$ 12,000
$ 6,485.26
$ 1,000
0
120
120 días
60 días
180
210
30 días
... de reversa...
270 días
60 días
MATEMATICAS FINANCIERAS
P210 
6 , 485 . 26
(1  0 . 0005 )
60
 $ 6,293.64
Como estamos regresando, para hallar el nuevo saldo, el flujo señalado
como retiro debemos devolverlo al saldo, en consecuencia, lo sumaremos,
a saber:
Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000 = $7,293.64
P180 
7 , 293 . 64
(1  0 . 0005 )
30
 $ 7,185.08
Nuevo Saldo = 7,185.08 + 12,000 = $19,185.08
MATEMATICAS FINANCIERAS
P120 
19 ,185 . 08
(1  0 . 0005 )
60
 $ 18,618.22
Recordemos que estamos regresando, entonces ahora, para hallar el
nuevo saldo, el flujo señalado como depósito debemos de quitárselo a
este saldo. En
consecuencia, lo restaremos, a saber:
Nuevo Saldo = 18,618.22 – 8,000 = $10,618.22
P0 
10 , 618 . 22
(1  0 . 0005 )
120
 $ 10,000.00
Depósito inicial $ 10,000.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Aprendiendo a formar ecuaciones de
valor
TNA = 18%
$ 10,000
$ 8,000
X
$ 6,485.26
$ 1,000
0
120
120 días
60 días
180
30 días
210
270 días
60 días
MATEMATICAS FINANCIERAS
S 120  10 , 000 * (1  0 . 0005 )
120
 $ 10,618.21
Nuevo Saldo = 10,618.21 + 8,000.00 = $ 18,618.21
S 180  18 , 618 . 21 * (1  0 . 0005 )
60
 $ 19,185.08
OJO: en este momento voy a incluir la variable o inógnita
Nuevo Saldo = 19,185.08 –
X
... ( expresión I )
Ahora, traemos todos los otros flujos al día 180
para igualar y formar la ecuación .
MATEMATICAS FINANCIERAS
P210 
6 , 485 . 26
(1  0 . 0005 )
60
 $ 6,293.64
Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000.00 = $ 7,293.64
P180 
7 , 293 . 64
(1  0 . 0005 )
30
 $ 7,185.08
Saldo al día 180, al regresar flujos sin considerar la
variable = $ 7,185.08
... ( expresión II )
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ahora, igualamos la expresión I, con la
expresión II.
¿Por qué?, porque el saldo acumulado
de los flujos considerados en cada
expresión, están en la misma unidad
de tiempo.
Ecuación de valor
19,185.08 – X = 7,185.08
X = $ 12,000.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método II
Traslado de Flujos
MATEMATICAS FINANCIERAS
El método de Traslado de Flujos
contempla lo siguiente:
Cada flujo se traslada de manera individual a
una posición previamente determinada.
Una vez que todos los flujos se encuentren en la posición convenida, se
suman. Tener en cuenta que los flujos de ingreso de dinero
generan valores positivos y los flujos de
egreso de dinero generan valores negativos.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuando se traslada un flujo a lo
largo del tiempo y este es
afectado por uno o más cambios
de tasa de interés, el flujo,
deberá ser trasladado hasta
cada línea de frontera (línea de
cambio de tasa de interés),
tantas veces como sea
necesario, hasta lograr la
posición convenida.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método de Traslado de Flujos
TNM = 6%
TNA = 18%
$
40,000
0
TNA = 36%
$
42,000
S
$
10,000
120
180
$
10,000
240
360
días
MATEMATICAS FINANCIERAS
Análisis de cada una de las tasas de interés
que actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 6%
TNA = 18%
i' 
0 . 06
 0 . 002
30
i' 
0 . 18
 0 . 0005
360
TNA = 36%
i' 
0 . 36
360
 0 . 001
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 1 de $ 40,000(depósito)
S180 = 40,000 (1+0.002)180 = $ 57,312.57
S240 = 57,312.57 (1+0.0005)60 = $ 59,057.55
S360 = 59,057.54 (1+0.001)120 =
$ 66,583.21
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 2 de $ 42,000(retiro)
S180 = 42,000 (1+0.002)60 = $ 47,349.19
S240 = 47,349.19 (1+0.0005)60 = $ 48,790.83
S360 = 48,790.83 (1+0.001)120 =$ 55,008.20
Flujo N° 3 de $ 10,000(depósito)
S240 = 10,000 (1+0.0005)60 = $ 10,304.47
S360 = 10,304.47 (1+0.001)120 = $ 11,617.56
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 4 de $ 10,000(retiro)
S360 = 10,000 (1+0.001)120 =$ 11,274.29
Saldo Final
SFinal = S1+ S2 + S3 + S4
SFinal = 66,583.21 - 55,008.20 + 11,617.56 - 11,274.29
SFinal = $ 11,918.28
MATEMATICAS FINANCIERAS
De Reversa
Hacer el ejercicio de reversa
implica tomar cada flujo y llevarlo a
su momento cero (valor presente),
teniendo en cuenta los
procedimientos del método de
traslado de flujos. Esto implica, que
ahora, los retiros se suman y los
ingresos se restan.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Traslado de Flujos de Reversa
TNM = 6%
TNA = 18%
X
$
42,000
$
10,000
0
TNA = 36%
120
180
$
10,000
240
$
11,918.28
360
días
MATEMATICAS FINANCIERAS
Análisis de cada una de las tasas de interés que
actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 6%
TNA = 18%
i' 
0 . 06
 0 . 002
30
i' 
0 . 18
 0 . 0005
360
TNA = 36%
i' 
0 . 36
360
 0 . 001
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 1 de $ 11,918.28 (retiro)
11 ,918 . 28
P240 
(1  0 . 001 )
P180 
P0 
120
 $ 10,571.20
10 ,571 . 20
(1  0 . 0005 )
10 , 258 . 85
(1  0 . 002 )
180
60

 $ 10,258.85
$ 7,159.93
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 2 de $ 10,000.00 (retiro)
P180 
P0 
10 , 000
(1  0 . 0005 )
9 , 704 . 53
(1  0 . 002 )
180
60

 $ 9,704.53
$ 6,773.05
Flujo N° 3 de $ 10,000.00(depósito)
P0 
10 , 000
(1  0 . 002 )
180

$ 6,979.27
MATEMATICAS FINANCIERAS
Flujo N° 4 de $ 42,000.00 (retiro)
P0 
42 , 000
(1  0 . 002 )
120

$ 33,046.29
Valor Presente:
P = P1 + P2 + P3 + P4
P = 7,159.93 + 6,773.05 - 6,979.27 + 33,046.29
P = $ 40,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ecuación de Valor (Traslado de Flujos)
TNM = 6%
TNA = 18%
$
40,000
0
TNA = 36%
$
42,000
120
X
$
10,000
180
240
$
11,918.28
360
días
MATEMATICAS FINANCIERAS
Análisis de cada una de las tasas de interés
que actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 6%
TNA = 18%
i' 
0 . 06
 0 . 002
30
i' 
0 . 18
 0 . 0005
360
TNA = 36%
i' 
0 . 36
360
 0 . 001
MATEMATICAS FINANCIERAS
P 
'
1
P 
''
1
P2 
S1 = 40,000 ( 1+0.002 )180 = $ 57,312.57
(Depósito)
S2 = 42,000 ( 1+0.002 )60 = $ 47,349.19
(Retiro)
11 ,918 . 28
1  0 . 001 
120
10 ,571 . 20
1  0 . 001 
60
10 ,000
1  0 . 005 60
 $ 10 ,571 . 20
 $ 10 ,258 . 85
(Retiro)
 $ 9 ,704 . 53
(Retiro)
MATEMATICAS FINANCIERAS
S1 + S2 + X = P1 + P2
57,312.57 – 47,349.19 + X = 10,258.85 + 9,704.53
X = $ 10,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método III
Factores dinámicos
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores Dinámicos
TNM = 3%
TNT =
10.8%
TNA = 18%
S
$ 50,000
$ 20,000
$
$ 10,000
10,000
0
100
150
200
360 días
MATEMATICAS FINANCIERAS
Análisis de cada una de las tasas de interés
que actúan durante el tiempo de la operación
TNM = 3%
TNA = 18%
i'
0 . 03
i' 
0 . 18
30
 0 . 001
 0 . 0005
360
TNT = 10.8%
i'
0 . 108
90
 0 . 0012
MATEMATICAS FINANCIERAS
Para el flujo de $ 50,000
S  50 ,000 1 . 001 
100
Depósito
1 . 0005  1 . 0012 
100
160

S = $ 70,375.52
Para el flujo de $ 10,000
S  10 ,000 1 . 0005
Depósito
 1 . 0012 
100
S = $ 12,736.32
160

MATEMATICAS FINANCIERAS
PARA FLUJO $ 20,000 (Retiro)
S3 = 20000 (1 + 0.0005)50 (1 + 0.0012)160 = $ 24843.87
PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro)
S4 = 10000 (1 + 0.0012)160 = $ 12115.31
STOTAL = S1 + S2 - S3 - S4
El valor de S es $ 46,152.66
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores Dinámicos de Reversa
TNT = 10.8%
TNA = 18%
TNM = 3%
S = 46152.66
P=?
0
10000
20000
100
150
10000
200
0 . 03
TNM = = 0.001
30
0TNA
. 18 =
360
0 . 108
TNT =
= 0.0005
90
= 0.0012
360
dias
MATEMATICAS FINANCIERAS
HALLANDO EL VALOR DE “ P “
PARA FLUJO $ 46,152.66 (Retiro)
P1 = 46152.66 (1 + 0.0012)-160 (1 + 0.0005)-100
= $ 32,790.28
(1 + 0.001)-100
PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro)
P2 = 10000 ( 1 + 0.0005 )-100 ( 1 + 0.001 )-100
= $ 8,607.62
MATEMATICAS FINANCIERAS
PARA FLUJO $ 20000 (Retiro)
P3100
= 20000 ( 1 + 0.0005 )-50 ( 1 + 0.001 )= $ 17,650.93
PARA FLUJO $ 10000 (Depósito)
P4 = 10000 ( 1 + 0.001 )-100
= $ 9,048.83
PTOTAL = P1 + P2 + P3 - P4
EL VALOR DE P ES
$ 50,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES DINÁMICOS
TNT = 10.8%
TNA = 18%
TNM = 3%
S = 46152.66
50000
0
10000
X
100
150
10000
200
0 . 03
TNM = = 0.001
30
0TNA
. 18 =
360
0 . 108
TNT =
= 0.0005
90
= 0.0012
360
dias
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES DINÁMICOS
HALLANDO EL VALOR DE “ X “
PARA FLUJO $ 46152.66
P1 = 46152.66 ( 1 + 0.0012 )-160
= $ 37154.17
PARA FLUJO $ 10000
P2 = 10000 ( 1 + 0.0005 )-50
= $ 9753.16
( 1 + 0.0005 )-50
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES DINÁMICOS
PARA FLUJO $ 50000
S1 = 50000 ( 1 + 0.001 )100 ( 1 + 0.0005 )50
= $ 56654.24
PARA FLUJO $ 10000
S2 = 10000 ( 1 + 0.0005 )50
= $ 10253.09
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES DINÁMICOS
HALLANDO “ X “
X = S1 + S2 – P1 – P2
X = $ 56654.24 + $ 10253.09 – $ 37154.17 – $
9753.16
X = $ 20,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mercado de
Tasas de Interés
Descuento
Activa
Tipmn
Legal
TIR
Moratoria
Tamex
Libor
Prime Rate
Pasiva
Tipmex
Tamn
Compensatoria
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gráfica de la variación de la tasa de interés
MATEMATICAS FINANCIERAS
Variación de la TAMEX
MATEMATICAS FINANCIERAS
Recordemos
Antes de resolver problemas de interés compuesto
debemos hacernos las siguientes preguntas:
¿Quién manda?
La Capitalización
¿Cómo sabemos cuál es la capitalización?
Porque la dan.
Si no la dan, la asumimos diaria.
Siempre existe un problema dentro de otro
problema: el problema de la tasa y
el problema de la operación
MATEMATICAS FINANCIERAS
LIBOR
London Interbank Offered Rate
Tasa a la cual los bancos se prestan entre
ellos con vencimientos específicos dentro
del mercado londinense.
Prime Rate
Tasa Preferencial
Tasa de préstamo que cargan los bancos
a sus mejores clientes.
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASAS DE INTERES
1. NOMINAL
2. EFECTIVA
3. REAL
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA NOMINAL
TN A
Unidad de tiempo
TASA NOMINAL ANUAL
Se trata tan solo de un anuncio, de una
nominación; no recoge en su contenido el
producto de las capitalizaciones o
acumulaciones de ganancias.
Con esta tasa “SÓLO” se permiten dos operaciones:
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA NOMINAL
TNA
% ANUAL
CAPITALIZACIÓN
i’
40
60
12
36
12
Trimestral
Mensual
Mensual
Diaria
Anual
10
5
1
0.1
12
g
DIVIDIR
MULTIPLICAR
MATEMATICAS FINANCIERAS
Recordar
Cuando vamos de la Tasa
Nominal a la Tasa del Período
se divide
Cuando vamos de la Tasa del
Período a la Tasa Nominal
se multiplica
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
UNIDAD
DE
TIEMPO
TE A
RECORDAR:
A = ANUAL
S = SEMESTRAL
T = TRIMESTRAL
B = BIMESTRAL
M = MENSUAL
D = DIARIA
Es lo efectivamente cobrado o pagado.
recoge en su contenido el producto de
las capitalizaciones o acumulaciones
de ganancias.
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
Con esta tasa sólo se permiten dos operaciones:
POTENCIACION
RADICACION
 
n
n
Siempre que dentro de una unidad de tiempo
(por ejemplo: un año), exista más de una
frecuencia de capitalización; entonces, la
tasa efectiva será mayor en número que la
tasa nominal.
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
Fórmula:
TEA =
n
(1+i’) -
1
Unidad de
tiempo
Tasa de periodo:
i 
,
n
1  TE  1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tener presente que:
En el periodo y sólo en él,
la tasa nominal y la tasa efectiva,
son iguales.
 i’n = i’e = i’
No se puede trabajar nada en finanzas
si no hallo y defino la tasa del periodo (i’).
MATEMATICAS FINANCIERAS
RELACION DE EQUIVALENCIA
Es la que PERMITE hacer comparable
una tasa nominal con una tasa efectiva.
1 + TE = ( 1+ i’ )
n
Donde:
i’ = Tasa del periodo
n = # de capitalizaciones comprendidas en la
unidad de tiempo de la tasa efectiva anunciada.
MATEMATICAS FINANCIERAS
RECORDAR
a) Dada una tasa nominal, siempre tendrá
su equivalente efectiva.
b) Dada una tasa efectiva, siempre tendrá
su equivalente nominal.
c) Manda siempre la capitalización, y hay
que tener cuidado con el uso y aplicación
del tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relación de Equivalencia
Ejemplo 1:
TNA = 40%, capitalización trimestral.
¿Hallar la tasa efectiva anual?
Todo debe estar expresado en trimestres
i’ = ?
i 
,
TNA
n
 TEA  1  i’n  1
TEA  1  0.14  1
TEA  0.4641
TEA  46.41%
 i 
,
0 . 40
 0 . 10
4
Por equivalencia:
ó
1  TEA = 1  i’n
1  TEA = 1  0.14
TEA = 1.4641 - 1
TEA = 0.4641
46.41%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relación de Equivalencia
Caso I:
Hallar tasa equivalente partiendo
de la tasa nominal
Ejemplo 2:
TNA = 60%, capitalización mensual
¿Hallar TEA?.
Todo debe estar expresado en meses
i’ = ?
i 
,
TNA
n
TEA = (1 + i’)n - 1
TEA = (1 + 0.05)12 - 1
TEA = 0.79585633
 i 
,
0 . 60
 0 . 05
12
TEA = 79.585633%.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relación de Equivalencia
Caso II:
Hallar tasa equivalente partiendo
de una tasa efectiva
Ejemplo 3:
TEA = 46.41%, capitalización trimestral
¿Hallar TNA?
Todo debe estar expresado en trimestres
i '  TEA  1  1
n
i' 
4
0.4641  1  1
i’= 0.1
TNA = i’ (n) (100)
TNA = 0.1 (4) (100)
TNA = 0.4
TNA = 40%
Cuadro Mágico (para convertir tasas)
MATEMATICAS FINANCIERAS
TN
*n
(1 + i’)n -1
i’
/n
n
1  TE  1
Creado por: Carlos Door Cabezas
TE
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 1: De tasa nominal a tasa efectiva
TNA = 28.5%, capitalización diaria
¿Hallar TEA?
i 
,
TNA
n
 i 
,
0 . 285
 0 . 000791666 ...
360
TEA = (1 + i’)n - 1
TEA = (1 + 0.00079166667) 360- 1
TEA = 0.329612
TEA = 32.961207%.
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal
TE trimestral = 12%, capitalización diaria.
¿Hallar TN semestral?
i' 
i' 
n
1  TET  1
90
1  0.12  1
i’ = 0.001260001....
TNS = i’ (n)
TNS = 0.00126... (180)
TNS = 22.68001...%
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 3: De tasa nominal a tasa nominal
TNA = 28.5%, capitalización diaria ¿Hallar TNT?.
i 
,
TNA
n
 TNT 
0 . 285
4
TNT = 7.125%.
 0 . 07125
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 4: De tasa efectiva a tasa efectiva
TE trimestral = 12%, capitalización diaria.
¿Hallar TE semestral?.
TES  1  TET

2
1
TES  1  0 . 12   1  0 . 2544
2
TES = 25.44%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Problema de conversión de tasas
Ejercicio 2:
TET = 8%, capitalización mensual.
¿Hallar TNS?
i' 
n
1  TET  1
i' 
3
1  0.08  1
i’ = 0.0259855
TNS = i’ (n)
TNS = 0.0259855 (6)
TNS = 15.591341%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Problemas de interés compuesto
Ejercicio1:
P
= $ 10,000
TEA = 30%
n
= 90 días
S
=?
i' 
360
1  0.30  1
i ‘ = 0.0007290552
S = P (1 + i’)n
S = 10,000 (1 + 0.0007290552)90
S = $ 10,677.90
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de descuento
d* 
TE *
1  TE *
Donde:
d = Tasa de descuento
TE* = Tasa Efectiva del período descontado
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa equivalente en función
a la tasa de descuento
TE * 
d*
1  d*
Donde:
TE = Tasa Efectiva del período
d = Tasa de descuento
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 1: De tasa efectiva a tasa de descuento
Si TEA = 72%, ¿Hallar la tasa de descuento anual?
Tasa de descuento
d
0.72
1  0.72
efectiva
anual :
 0 . 41860451 ...
d  41 . 86045 ...%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 2: De tasa nominal a tasa de descuento
Si TNT = 18%, ¿Hallar la tasa de descuento anual?
i' 
0 . 18
 0 . 002
90
TEA  ( 1  0 . 002 )
Tasa de descuento
d
1.0529...
1  1 . 0529 ...
d  51 . 2897 ...%
360
 1  1 . 05295651 ...
efectiva anual :
 0 . 512897 ...
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 3: De tasa de descuento a la tasa efectiva
Si d = 30%, ¿Hallar la tasa efectiva mensual?
TEA 
TEA 
TEM 
d
1d
0 . 30
1  0 . 30
12
 0 . 4285714 ...
1  0.4285714. .. - 1
TEM  0 . 03016904 ...
TEM  3 . 016904 ...%
MATEMATICAS FINANCIERAS
LETRA
Valor Nominal: US$ 18,670.00
(S)
Vencimiento: 26 días
(n)
TEA: 20%
¿Cuál es el valor neto del documento?
MATEMATICAS FINANCIERAS
i 
,
360
1  0 . 20  1  0 . 0005065770 47
Tasa Efectiva para 26 días
TE26 = (1 + 0.000506577047)
26
-1
TE26 = 0.01325474362
Tasa de Descuento para 26 días
d 26 
0 . 0132547436
1  0 . 0132547436
d26 = 0.0130813536
2
2
MATEMATICAS FINANCIERAS
Descuento = 18,670 x 0.0130813536
Descuento = US$ 244.23
Valor Neto
18,670 - 244.23
Valor Neto = US$ 18,425.77
MATEMATICAS FINANCIERAS
Venta al crédito = US$ 10,000
TEA = 30%
i’ =
i’ =
n
360
(1 + ie) - 1
1 + 0.3 - 1
i’ = 0.000729055
n = 90 días
S = ¿?
S = P(1 + i’)
n
S = 10,000(1 + 0.000729055)
S = US$ 10,677.90
Cuando se quiera hallar i’
el valor “n” será el que
indique la unidad de tiempo
de la Tasa.
Para hallar S el valor “n”
será el que rige la operación.
90
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores simples
FSC
FSA
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES SIMPLES
FSC = Capitalización = Busca futuros = (1 + i’)n
FSA = Actualización = Busca actuales = (1+ i’)-n
• Los factores solo son números.
• Serán de utilidad para buscar valores futuros o
presentes, según sea el caso, para una
determinada tasa de interés.
Ejemplo:
TEA = 60%
 i' 
360
1  0.60  1
i '  0.0013064182
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES SIMPLES
(1 +
Pivot
i’)n
(1 + i’)-n
n
FSC
FSA
1
1.0013064
0.9986953
30
1.0399435
0.9615906
60
1.0814826
0.9246566
1.1246808
0.8891411
1.60
0.625
90
360
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa Real
TR
Π = inflación
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de interés real o libre de inflación
Esta tasa muestra el efecto neto de los cambios en
el valor del dinero. Representa la ganancia real en
el poder de compra.
Simbología:
TR
ir
Fórmula:
TR  i r 
TE  
1 
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor presente: considerando la inflación
$ 120,000.00
Dolares
Futuros
TEA = 20%
Valor constante
$ 100,000.00
Pérdida
en Valor
Presente
al Π
$ 95,238.10
=5%
1 Año
Valor
Corriente
MATEMATICAS FINANCIERAS
Nuevo poder de compra
NPC 
VP  
VP
NPC 
100000  5000
100000
NPC  $ 105,000
5% más en un año
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa Real
TR A 
TR A 
TEA  
1 
0 . 20  0 . 05
1  0 . 05
TR A  0 . 1523809 ...
TR A  15 . 23809 ...%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor presente: considerando la inflación
$ 13,310.00
Dolares
Futuros
TEA = 10%
$ 10,000.00
Valor constante
Pérdida
en Valor
Presente
al Π
Valor
Corriente
$ 8,638.40
=5%
1
2
Tiempo, años
3
MATEMATICAS FINANCIERAS
LA INFLACIÓN
La inflación crece cada
vez que la capitalizo y
me anuncia el nuevo
poder de compra
10000
500
10,500
10500
525.00
11,025.00
11025.00
551.30
11,576.30
10,000
5%
0
Nuevo
poder de
compra
15.763%
en tres años
TASA
REAL
4.7619...%
TASA
INFLADA
15.5%
I
II
III
Tasa Efectiva Anual = 10%
Tasa de Inflación Anual = 5%
Año
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de interés inflada
Esta tasa es una combinación de la tasa de interés
real (ir) y la tasa de inflación (Π)
Simbología:
if
Fórmulas:
i f  TE    (TE )(  )
i f  1  TE 1     1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa real y tasa inflada
Depósito = US$ 10,000.00
Inflación = 10% año
TEA = 10%
¿Cuál es la tasa real y la tasa inflada equivalente
de esta operación?
ir 
ir 
i f  TE    TE  
TE  
1 
0 .1  0 .1
1  0 .1
ir = 0 %
i f  0 . 1  0 . 1  ( 0 . 1) * ( 0 . 1)
 0
i f  0 . 21
if = 21 %
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor Futuro

S  P 1i

, n
S  10 ,000 * 1  0 . 1   11 ,000 . 00
1
S = $ 11,000.00
Valor neto,
considerando
Costo de
Oportunidad
(TE e Inflación)
Vn 
Vn 
Vn 
S
1 if
11 ,000
1  0 . 21
11 ,000
 9 ,090 . 91
1 . 21
Vn = $ 9,090.91
MATEMATICAS FINANCIERAS
PODER DE COMPRA
$ 1,100.00
$ 1,000.00 Dinero depositado en banco
TEA = 10 %
1 año
Dinero bajo el arbolito
Si Bx= $ 10
Qx = 100 unidades
 = 10 %
Precio del
bien X al inicio = $ 10.00
Si Bx= $ 11
Qx = 100 unidades
Precio del
bien X al final = $ 11.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
¿Qué hubiera pasado si la inflación
hubiera sido 12% y qué si hubiera
sido 8%?
Si Π = 12 %, entonces:
ir 
0 . 10  0 . 12
1  0 . 12

 0 . 02
1 . 12
Si Π = 8 %, entonces:
ir 
0 . 10  0 . 08
1  0 . 08
i r   1 . 78571 ...%
i r  1 . 85185 ...%
i f  23 . 20 %
i f  18 . 80 %

0 . 02
1 . 08
MATEMATICAS FINANCIERAS
RECORDAR
a) Dada una inflación, siempre
existirá una tasa real.
b) Dada una tasa efectiva y una tasa
real, siempre podrá calcularse la
inflación del periodo.
c) Manda siempre la capitalización,
y hay que tener cuidado con el uso
y aplicación del tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejercicio
Un ex alumno universitario, desea efectuar una donación al Fondo
Estudiantil de su Alma Máter y ofrece cualquiera de los siguientes
planes:
Plan A: $ 42,000.00 ahora.
Plan B: $ 15,000.00 anuales durante 4 años,
empezando dentro de 1 año.
Plan C: $ 25,000.00 dentro de 3 años y
otros $ 40,000.00 dentro de 5 años.
La única condición es que el dinero sea utilizado para
Investigación en temas financieros. La universidad desea
seleccionar el plan que permita maximizar el poder de compra de los
dólares por recibir, de manera que le pide a usted evalúe los planes
considerando el impacto de la inflación.
La Universidad considera una tasa efectiva del 10% anual y estima que
la tasa de inflación promedio sea del 3% anual. ¿Qué plan debemos
aceptar?
MATEMATICAS FINANCIERAS
if= 0.10 + 0.03 + (0.10) * (0.03) = 0.133....(13.3%)
Valores Presentes:
VPA = US$ 42,000.00
15,
15,
15, 15,
VPB = US$ 44,340.38
40,
25,
VPC = US$ 38,613.47
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro de inflación proyectada
mes
Enero
П (%)
2
П proy año
26.8
П acum
2
П ac py año
26.8
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
4
1
0.8
0.6
60.1
12.7
10.0
7.4
6.1
7.2
8
8.6
42.5
31.8
26
Junio
Julio
Agosto
0.4
0.3
0.2
4.9
3.7
2.4
9.1
9.4
9.6
19
Setiemb
Octubre
Noviemb
0.2
0.3
0.5
2.4
3.7
6.2
9.8
10.1
10.7
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Planes de pagos
¿Qué es el interés al rebatir?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Es el interés que se cobra sobre
los saldos deudores durante
períodos de frecuencia de tiempo
exactos.
C = A+I
Cuota = Amortización + Interés
Nota: La Amortización, es lo único que rebaja el
principal de una deuda.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Estructura de la cuota
Cuota = amortización + interés
C = A+I
I : Es el interés cobrado sobre el saldo deudor.
A : es la amortización y es lo único que rebaja el
principal de una deuda.
MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES AL REBATIR
¿ Puede la amortización ser igual a
cero?
Sí, pero no rebaja la deuda, sólo se
pagan intereses.
¿ Puede ser el interés en algún
periodo igual a cero?
Sí. Si el interés es igual a cero, es
que se ha otorgado un plazo de
gracia total.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Modalidades de pago de deuda
 MÉTODO ALEMÁN
 MÉTODO AMERICANO
 MÉTODO FRANCES
 CUOTAS CRECIENTES
Aritméticamente
Geométricamente
 SUMA DE NÚMEROS DÍGITOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Los 3 principales métodos de pago con
interés al rebatir son los siguientes:
1. ALEMAN = amortización fija
2. AMERICANO = pago al final
del plazo.
3. FRANCES = cuota fija
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODOS DE PAGO
1.- Método Alemán: amortización fija,
riguroso en su aplicación.
2.- Método Americano: Sólo se paga
intereses y el pago del principal se
hace al final del plazo.
3.- Método Francés: Método sofisticado,
es el más usado actualmente; tiene la
cuota fija.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Alemán
Conocido también como
el método de:
“Amortización Fija”
o
“Cuotas Decrecientes”
MATEMATICAS FINANCIERAS
Interés al Rebatir: Método Alemán
Datos:
P = USD$ 100,000
n= 4 cuotas trimestrales
TET = 10% trimestral
¿Cuánto será la amortización?
La amortización es fija.
A = P/n
A = 25,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Alemán
Cálculo de intereses:
I Trimestre
I = Pin
I = 100,000 * 0.1 * 1
I = $ 10,000
III Trimestre
I = Pin
I = 50, 000 * 0.1 *1
I = $ 5,000
II Trimestre
I = Pin
I = 75,000 * 0.1 * 1
I = $ 7,500
IV Trimestre
I = Pin
I = 25,000 * 0.1 * 1
I = $ 2,500
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro de pagos: Método
alemán
n
1
2
3
4
saldo
amortización
100.000
25.000
75.000
25.000
50.000
25.000
25.000
25.000
Total
100.000
interés
10.000
7.500
5.000
2.500
25.000
cuota
35.000
32.500
30.000
27.500
125.000
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO ALEMAN
cuota decreciente vencida
n
SALDO
AMORTIZACION INTERES
1
100.00
25.00
10.00
35.00
2
3
4
75.00
50.00
25.00
25.00
25.00
25.00
7.50
5.00
2.50
32.50
30.00
27.50
VERIFICACION:
P
35
(1  0 . 1)

32 . 50
(1  0 . 1)
2

30
(1  0 . 1)
3

27 . 50
(1  0 . 1)
4
P = 31.8+26.9+22.5+18.8 = $
100
CUOTA
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO ALEMAN
cuota decreciente adelantada
n
SALDO
AMORTIZACION
INTERES
CUOTA
0
100
25.00
0
25.00
1
75
25.00
7.50
32.50
2
3
4
50
25
0
25.00
25.00
5.00
2.50
30.00
27.50
VERIFICACION:
P  25 
32 . 5
(1  0 . 1)

30
(1  0 . 1)
2

27 . 50
(1  0 . 1)
3
P = 25+29.5+24.8+20.7 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Americano
Conocido también como
el método de:
“Pago de Intereses y el pago
del principal al final del plazo.”
o
“Periodo de Gracia”
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Americano
Datos:
P = USD$ 100,000
Plazo de la operación: 1 año
Forma de pago: 4 cuotas trimestrales
Tasa Efectiva Trimestral = 10%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro de pagos: Método Americano
n
1
2
3
4
Saldo Amortización Interés Cuota
100.000
100.000
100.000
100.000
Total
0
0
0
100.000
100.000
10.000
10.000
10.000
10.000
40.000
10.000
10.000
10.000
110.000
140.000
METODO AMERICANO
interés constante - pago al final
MATEMATICAS FINANCIERAS
n
SALDO
A M O R T IZ A C IO N IN T E R E S
CUO TA
1
1 0 0 .0 0
0
1 0 .0 0
1 0 .0 0
2
3
4
1 0 0 .0 0
1 0 0 .0 0
1 0 0 .0 0
0
0
1 0 0 .0 0
1 0 .0 0
1 0 .0 0
1 0 .0 0
1 0 .0 0
1 0 .0 0
1 1 0 .0 0
VERIFICACION:
P
10
(1  0 . 1)

10
(1  0 . 1)
2

10
(1  0 . 1)
3

110
(1  0 . 1)
4
P = 9.1 + 8.3 + 7.5 + 75.1 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO
ALEMAN
COMPARACION
METODO
AMERICANO
n
1
2
3
4
n
1
2
3
4
MATEMATICAS FINANCIERAS
saldo amortización
interés
cuota
100.000
25.000 10.000
35.000
75.000
25.000
7.500
32.500
50.000
25.000
5.000
30.000
25.000
25.000
2.500
27.500
Total
100.000 25.000 125.000
METODO
ALEMAN
COMPARACION
¿Cuál es el más barato?
saldo amortización interés
100.000
0 10.000
100.000
0 10.000
100.000
0 10.000
100.000
100.000 10.000
Total
100.000 40.000
cuota
10.000
METODO
10.000
AMERICANO
10.000
110.000
140.000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Son IGUALES
LO CARO O LO BARATO (el precio),
lo define la tasa de interés.
PARA NUESTRO CASO, AMBOS
MÉTODOS TIENEN LA MISMA
TASA DE INTERÉS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Quién sea el ACREEDOR y
quién el DEUDOR
MATEMATICAS FINANCIERAS
Conclusiones
• Los métodos son IGUALES
• El precio solo lo define la TASA DE
INTERES
• Los montos sumados no sirven para
comparar
• La conveniencia de cada sistema
la define el acreedor y/o el deudor.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Modificación del plan de pago
por modificación en la conducta
del DEUDOR.
A.- Pago de una cuota mayor
B.- Pago de una cuota menor
C.- Cuando el cliente no puede
Pagar la cuota.
MATEMATICAS FINANCIERAS
A.- PAGO DE UNA CUOTA MAYOR
n
1
2
Saldo
100,000
75,000
Amortización
25,000
25,000
Interés
10,000
7,500
Cuota
35,000
32,500
3
50,000
35,000
5,000
40,000
4
15,000
15,000
100,000
1,500
24,000
16,500
124,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
B.- PAGO DE UNA CUOTA MENOR
N
1
2
Saldo
100,000
75,000
Amortización
25,000
25,000
Interés
10,000
7,500
Cuota
35,000
32,500
3
50,000
15,000
5,000
20,000
4
35,000
35,000
100,000
3,500
26,000
38,500
126,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
C. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA
n
S a ld o
A m o rtiz a c ió n In te ré s
1 1 0 0 ,0 0 0
2 5 ,0 0 0
1 0 ,0 0 0
2 7 5 ,0 0 0
2 5 ,0 0 0
7 ,5 0 0
3
5 0 ,0 0 0
2 5 ,0 0 0
5 ,0 0 0
4
5 0 ,0 0 0
5 0 ,0 0 0
1 0 0 ,0 0 0
1 0 ,5 0 0
2 8 ,0 0 0
C u o ta
3 5 ,0 0 0
3 2 ,5 0 0
0
6 0 ,5 0 0
1 2 8 ,0 0 0
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Frances
Conocido también como
el método de:
“Cuota Fija”
o
“Cuota Constante”
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Frances
Cuota fija o Cuota Constante - Vencida
n
SALDO
1
1 0 0 .0 0
2 1 .5 0
1 0 .0 0
3 1 .5 0
2
3
4
7 8 .5 0
5 4 .9 0
2 8 .9 0
2 3 .6 0
2 6 .0 0
2 8 .9 0
7 .9 0
5 .5 0
2 .9 0
3 1 .5 0
3 1 .5 0
3 1 .5 0
A M O R T IZ A C IO N IN T E R E S
CUO TA
VERIFICANDO:
P = 28.6 + 26.0 + 23.7 + 21.5 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Método Frances
Cuota fija o Cuota Constante - Adelantada
n
SALDO
0
1 0 0 .0 0
2 8 .7 0
0 .0 0
2 8 .7 0
1
2
3
4
7 1 .3 0
4 9 .7 0
2 6 .0 0
0
2 1 .6 0
2 3 .7 0
2 6 .0 0
7 .1 0
5 .0 0
2 .6 0
2 8 .7 0
2 8 .7 0
2 8 .7 0
A M O R T IZ A C IO N IN T E R E S
VERIFICANDO:
P  28 . 70 
28 . 70
(1  0 . 1)

28 . 70
(1  0 . 1)
2

CUO TA
28 . 70
(1  0 . 1)
3
P = 28.70 + 26.10 + 23.70 + 21.60 = $ 100
CUOTA CRECIENTE
aritméticamente
MATEMATICAS FINANCIERAS
R+30
R+20
R+10
R+0
0
1
2
3
4
MATEMATICAS FINANCIERAS
GRADIENTE ARITMETICA
100 110
0
1
2
G
0
1
2
13
0
12
0
3
4
...........
.............. n
(n-1)G
3G
...............
4
.............
2G
3
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gradiente Aritmética
P 
G
(1  i )

2
2G
(1  i )
3
 .... 
( n  1) G
(1  i )
... I
n
Factor común G:
P  G(
1
(1  i )
2

2
(1  i )
3
 .... 
( n  1)
(1  i )
n
... II
)
Multiplicamos ambos miembros por (1+i)
P (1  i )  G (
1
(1  i )

2
 .... 
(1  i )
( n  1)
(1  i )
n 1
... III
)
Restando II de III:
P (1  i )  P  G (
1
(1  i )

2 1
(1  i )
2

32
(1  i )
3
 .... 
( n  1)  ( n  2 )
(1  i )
n 1

n 1
(1  i )
n
ojo
)
...IV
MATEMATICAS FINANCIERAS
Resolviendo:
 1
1
1
1
n 
P *i  G


...



2
n 1
n
n 
(
1

i
)
(
1

i
)
(
1

i
)
(
1

i
)
(
1

i
)


... V
Nota: el corchete es una Progresión Geométrica cuya
razón
es: término es:
1
1
Y
su primer
r 
1 i
1 i
Recordemos que la suma de términos de una Progresión
Geométrica esta dada por la siguiente fórmula:
Suma
 rn 1
 a
 r 1





n
Entonce
s
1


1


1
1  i 
*
1
1  i



 1
1

i


Resolviendo:
(1  i )
n
1
i * (1  i )
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
Reemplazando en ...V
 (1  i ) n  1
n 
P *i  G

n
n 
i
*
(
1

i
)
(
1

i
)


Ordenando, obtenemos:
Valor Presente de la Anualidad de los Gradientes

G  (1  i )  1
n
P 


n
n 
i  i * (1  i )
(1  i ) 
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
Fórmula
G  1  i'   1
n 
P 


n
n 
TE  i' 1  i' 
1  i'  
n
ACTUALIZACION DE GRADIENTES:
4

10  (1  0 . 1)  1
4
P 


4
4 
0 . 1  0 . 1(1  0 . 1)
(1  0 . 1) 
=
43.78
MATEMATICAS FINANCIERAS
CALCULO DE LA CUOTA DE PARTIDA:
“P” DE ORIGEN = 100
BASE DE CALCULO 100 - 43.78 = 56.22
R = 17.74
R = P * FRC
n
Saldo
Amortización
Interés
Cuota
1
100.00
7.74
10.00
17.74
2
92.26
18.51
9.23
27.74
3
73.75
30.36
7.38
37.74
4
43.39
43.40
4.34
47.74
Verificación:
P
17 . 74
(1  0 . 1)
P = 100

27 . 74
(1  0 . 1)
2

37 . 74
(1  0 . 1)
3

47 . 74
(1  0 . 1)
4
MATEMATICAS FINANCIERAS
Rg
800
400
200
100
..............
FORMA GENERAL
Rg
Rg ...................
3
Rg
R Rg
2
( n 1 )
( n 1 )
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gradiente Geométrica
P 
R
1 i

R*g
(1  i )
2

R*g
2
(1  i )
3
 ... 
R*g
n 1
(1  i )
n
Factorizando R
2
n 1
 1

g
g
g
P  R*



...

2
3
n 
1

i
(
1

i
)
(
1

i
)
(
1

i
)


NOTA: el corchete es una progresión geométrica cuya razón es
g / (1+i) y su primer término 1 / (1+i)
La suma de términos estará dada por:
 g n

  1

1
1 i 

g

1 i 
1
 (1  i )



MATEMATICAS FINANCIERAS
Resolviendo:
g
n
(1  i )
 (1  i )
n
g
n
 (1  i ) 
Reemplazando y ordenando:
 g  (1  i ) 
P

n 
(1  i )  g  (1  i ) 
R
n
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
CUOTA CRECIENTE
geométricamente
Gradiente = 1.5
 g n  (1  i ) n 
P 

n 
(1  i )  g  (1  i ) 
R
R = 16.28
n
R 
(1 . 5 )
Saldo
4
 (1  0 . 1)
4
4
1 . 5  (1  0 . 1)
Amortización Interés Cuota
1 100.00
Verificación:
100 * (1  0 . 1)
6.28
10.00
16.28
2
93.72
15.04
9.37
24.41
3
78.68
28.75
7.87
36.62
4
49.93
49.93
4.99
54.93
P
16 . 28
(1 . 1)

24 . 41
(1 . 1)
2

36 . 62
(1 . 1)
3

54 . 93
(1 . 1)
4
= 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Suma de Números Dígitos
n
Pro p o rció n
Sa ld o
A m ortiza ción
In terés
C u ota
1
1/10
10 0
10
10
20
2
2/10
90
20
9
29
3
3 /10
70
30
7
37
4
4/10
40
40
4
44
10 10 / 10
MATEMATICAS FINANCIERAS
Verificando:
P
20
(1 . 1)

29
(1 . 1)
2

37
(1 . 1)
3

44
(1 . 1)
4
P = 18.18 + 23.97 + 27.80 + 30.05 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Matemática
Financiera
Series uniformes,
Anualidades
o Rentas
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tipos de Rentas:
TEMPORALES
PERPETUAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
VENCIDA
1
2
3
4
5
6 AÑOS
ADELANTADA O ANTICIPADA
0
1
2
3
4
5
6 AÑOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Rentas
TEMPORAL
PERPETUA
INMEDIATA
ADELANTADA
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gráficos de rentas
1.-
2.-
Temporales
Perpetuas
1.1.- Inmediata
1.1.1 adelantada
1.1.2 vencida
1.2.- Diferida
1.2.1 adelantada
1.2.2 vencida
2.1.- Inmediata
2.1.1 adelantada
2.1.2 vencida
2.2.- Diferida
2.2.1 adelantada
2.2.2 vencida
MATEMATICAS FINANCIERAS
Renta
Tiene 2 características:
1. UNIFORME
cantidad definida
2. FRECUENCIA EXACTA
responde a una frecuencia fija de
tiempo (mes, trimestre, semestre,
año)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Diagrama de Rentas
R
0
Me da P => FAS
Me da R =>
FRC
R
1 2
R
…………….
R
R
3 …………… n-1 n
Me da S =>
Me da R =>
FCS
FDFA
MATEMATICAS FINANCIERAS
Anualidades o Rentas
Series uniformes
Las RENTAS cubren dos características
principales:
 Será uniforme y exacta, es decir, una
cantidad definida, y
 Responde a una frecuencia fija de tiempo
(usualmente: mes, trimestre, semestre, año)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores
FCS
Factor de Capitalización de la serie
FDFA
Factor de Depósito al
Fondo de Amortización
FAS
Factor de Actualización de la serie
FRC
Factor de Recuperación de Capital
(Método Francés)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores
FCS
FDFA
FAS
FRC
Factor de la Capitalización de la Serie
Factor de Depósito al Fondo de
Amortización
Factor de la Actualización de la
Serie
Factor de Recuperación de
Capital (método francés)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Para saber qué factor utilizar
es necesario saber lo siguiente:
Ubicar la capitalización
Es fundamental identificar la
frecuencia fija en que se manifiesta la
anualidad o la renta
Para cualquier cálculo tendré que
usar la tasa efectiva correspondiente
a la frecuencia
Ubicar datos
Definir qué factor usar
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito Financiero
Factor de Capitalización de
la Serie
FCS =
(1 + i’)n - 1
i’
S = R * FCS
Factor de Depósito al Fondo de
Amortización
FDFA =
Factor de Recuperación
de Capital
n
(1 + i’) - 1
n
i’ (1 + i’)
P = R * FAS
(1 + i’)n - 1
R = S * FDFA
Factor de Actualización
de la Serie
FAS =
i’
FRC =
i’(1 + i’)n
(1 + i’)n - 1
(Cuota Fija) R = P *
FRC
MATEMATICAS FINANCIERAS
Pasos a seguir
1. Ubicar la capitalización
2. Es fundamental identificar la frecuencia
fija en que se manifiesta la renta
3. Para cualquier cálculo tendré que usar la
tasa efectiva correspondiente a la
frecuencia. Nunca se puede trabajar con la
tasa nominal.
4. Ubicar los datos.
5. Definir qué factor usar.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: CASO I
Factor de Capitalización de
la Serie
FCS 
1  TEf 
TEf
S= R* FCS
n
1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo: Caso I
Factor de Capitalización de la serie
Hoch piensa ahorrar $ 100
cada mes durante los próximos
5 años a una tasa efectiva de
0.8% mensual.
¿Cuánto tendrá al final?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos:
TEM= 0.8% R = $ 100.00
n = 5 años = 60 meses
S= ?
FCS 
1  0 . 008 
60
1
0 . 008
FCS  76 . 62386684
S= 100 * 76.62386684
S= US$ 7,662.39
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso II
Factor de Depósito al Fondo
de Amortización
FDFA 
i
,
1  i 
, n
R = S * FDFA
1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo: Caso II
Factor de Depósito al Fondo
de Amortización
Dentro de 5 años “Barriguita”
tiene que ir al colegio y la cuota
de ingreso cuesta $ 7,662.39.
¿Cuánto tendrá que ahorrar la
familia mes a mes para
completar la cuota de ingreso
si le pagan una TEM del 0.8%?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos:
TEM= 0.8%
n = 5 años = 60 meses
S = $ 7,662.39
R=?
FDFA 
FDFA 
0 . 008
1  0 . 008 
60
0 . 008
1
 0 . 013050764
0 . 612990935
R = 7,662.39 * 0.013050764
R = $ 100.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso III
Factor de Actualización de
la Serie
1  TEf   1
n
TEf 1  TEf 
n
FAS 
P = R * FAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo: Caso III
Factor de Actualización de la Serie
La Compañía “Colesi” tiene en
cartera 6 letras de valor nominal
US$ 12,000.00 cada una y con
vencimientos escalonados cada
60 días, las quiere descontar en
el banco que cobra una TNA del
24%. ¿Cuál sería el abono neto?
MATEMATICAS FINANCIERAS
OJO: Primero tienes que
transformar la TNA a TEB
Capitalización diaria
Frecuencia bimestral
i 
,
0 . 24
 0 . 000666 ...
360
 TEB  1  0 . 0006666 ... 
 TEB  0 . 0407969031
60
8 ...
1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos:
TEB = 4.079690318%
n = 6 Bimestres
R = $ 12,000.00
P=?
1  0 . 0407969031 8   1
0 . 0407969031 8 1  0 . 0407969031
6
FAS 
FAS 
0 . 271147497
8
6
 5 . 228564478
0 . 0518558879
P = 12,000 * 5.228564...
P = US$ 62,742.77
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso IV
Factor de Recuperación de
Capital
FRC 

i 1 i
,
1  i 
, n
R = P * FRC

, n
1
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo: Caso IV
Factor de Recuperación de Capital
Un banco financia el viaje de un equipo de
ejecutivos de la empresa “Cuernófono
SAA” a una feria, y otorga un crédito por $
100,000.00 a un año, que será
reembolsado mediante el pago de cuotas
trimestrales a una TET del 10%.
¿Cuál será la cuota fija trimestral que
deberá pagar el cliente?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos:
FRC 
FRC 
TET = 10%
n = 4 Trimestres
P = $ 100,000.00
R = ? (Cuota Fija)
0 . 10 1  0 . 10 
1  0 . 10 
0 . 14641
4
4
1
 0 . 315470804
0 . 4641
R = 100,000 * 0.315470804
R = $ 31,547.08
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cronograma de pagos
(Método Francés)
0.10
n
Saldo
Amortización Interés
Cuota
1
100,000.00
21,547.08
10,000.00
31,547.08
2
78,452.92
23,701.79
7,845.29
31,547.08
3
54,751.13
26,071.97
5,475.11
31,547.08
4
28,679.16
28,679.16
2,867.92
31,547.08
100,000.00
26,188.32
126,188.32
MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Matemática Financiera
Renato Eduardo Anicama Salvatierra
Email: [email protected]
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