UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
DIVISION DE CIENCIAS BASICAS
SEMESTRE 2005-2
CALCULO II
INTERES COMPUESTO
PROF: ING. ROCHA BELTRAN GUSTAVO
ALUMNA: BLANCO COLIN CIRCE
FINANZAS
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Si una persona cuenta con una cantidad de dinero y
decide prestarlo con la condición de tener una
ganancia al recuperarlo en t cantidad de tiempo, esta
ganancia es conocida como interés
El Interés es un monto adicional ganada por el trabajo
de una cantidad de dinero dispuesta a trabajar con t
cantidad de tiempo; existen dos tipos de interés
SIMPLE y COMPUESTO
El interés Simple es el monto ganado por una
cantidad de dinero trabajada.
El interés compuesto es el monto ganado por una
cantidad de dinero trabajada cada t intervalo de tiempo
• Por ejemplo:
• Si una persona presta una cantidad de
dinero con intereses, el tipo de estos
pueden ser de varias formas, ya sea que
el cargo extra sea una vez año (interés
simple) o el mismo cargo extra varias
veces al año (interés compuesto)
•
• .
Los mas comunes y conocidos por cualquier persona que utilizan el
interés son los bancos ( tanto para ganancia del banco como para
ganancia del inversionista, aunque para el segundo sea mucho menor);
los bancos ofrecen cuentas con tasas de intereses diferentes así como
sus métodos para calcularlas, algunos ofrecen interés compuesto
anualmente (lo que indica que su cobro es una vez al año), interés
compuesto trimestralmente( su cobro será cuatro veces al año), interés
compuesto diario y hasta interés compuesto continuo
Por ejemplo:
Si una cuenta bancaria ofrece una tasa de interés compuesto al 8%
Si la cuenta bancaria tienen dicha tasa de interés anualmente la expresión
“anualmente” significa que al final de cada año se sumara el 8% del saldo actual,
lo que equivale a multiplicar el saldo actual por 1.08. Por lo tanto, si se depositan
$100, el saldo B será:
B=100(1.08)
AL FINAL DE UN AÑO
B=100(1.08)2
AL FINAL DE DOS AÑOS
B=100(1.08)t
AL FINAL DE T AÑOS
Si la cuenta bancaria ofrece una tasa de interés trimestral entonces se suma
cuatro veces por año (cada tres meses), es decir 8/4=2% del saldo actual se
sumara cada tres meses, por lo tanto si se depositan los mismos $100, al final
del año se sumaran los cuatro compuestos entonces:
B=100(1.02)4 AL FINAL DE UN AÑO
B=100(1.02)8 ALFINAL DE DOS AÑOS
B=100(1.02)t
AL FINAL T AÑOS
B =108.00
B=108.24
PARA EL INTERES COMPUESTO ANUAL
PARA EL INTERES COMPUESTO TRIMESTRAL
Por lo tanto se gana mas con el interés compuesto trimestral que con el
anual porque el interés genera interés al transcurrir el tiempo, entonces
deducimos que cuanto mas frecuente se calcule el interés compuesto
más ganancia genera (Aun cuando el incremento no sea tan grande).
Todo esto nos lleva a que:
Si el interés a una tasa anual r se compone n veces al año, entonces r/n
veces el saldo actual se suma n veces al año. Por lo tanto, con un depósito
inicial de $P, el saldo t años después es:
B= P (1+r/n)nt……………………(1)
B= SALDO AL FINAL DE T AÑOS
P= SALDO INICIAL
r= TASA ANUAL NOMINAL
n= NUMERO VECES QUE SE SUMA EL INTERES EN EL AÑO
RENDIMIENTO EFECTIVO ANUAL
Es posible medir el efecto de calcular el interés compuesto al introducir la
noción del rendimiento efectivo anual (APR). Del ejemplo anterior:
Como los $100 invertidos del ejemplo anterior con la misma tasa de interés
compuesto trimestralmente al 8%, el cual obtuvimos que crecía al $108.24 al
termino de un año, decimos que el rendimiento efectivo anual en este caso es
de 8.24%.
APR=(1+r/n)nt(100%)
Si se hace el calculo del interés compuesto con gran frecuencia a pesar de
que las ganancias adquiridas por este son mayores, estas no son demasiado
notorias; así también en el rendimiento anual son quizás todavía menos
notorias de hecho tiende a un numero finito. El beneficio de aumentar la
frecuencia del cálculo del interés compuesto se hace despreciable si se rebasa
un cierto punto.
Cuando el rendimiento efectivo esta en su limite superior decimos que el
interés esta siendo compuesto continuamente ( La palabra
CONTINUAMENTE se utiliza porque el limite superior se aproxima al calcular
el compuesto con frecuencia cada vez mayor).
EL NUMERO e
Resulta que el número e esta íntimamente relacionado con el cálculo
compuesto continuo, entonces:
(1+r/n)n= er………………. (2)
Si al interés de un depósito inicial de $P se compone continuamente a
una tasa anual r, el saldo t años ahora también puede ser calculado con
la formula siguiente sustituyendo (2) en (1):
B= P ert……………………(3)
e=2.71828182
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
El valor futuro $B de un pago $P es la cantidad a la que crecería si se
deposita en una cuenta bancaria que rinda interés.
El valor presente $B de un pago futuro $P es la cantidad que tendría que
depositarse hoy en una cuanta bancaria para producir exactamente $B en el
tiempo fijado en el futuro.
Muchos convenios comerciales requieren pagos a futuro lo que en la
actualidad conocemos como compra a crédito o en pagos, si se acepta un
pago a futuro mediante un convenio, es obvio que se sabe cuanto se
recibirá; si en un futuro recibe $100 pesos es peor que si los recibe ahora
por muchas razones, como una inflación lo que devaluaría dichos $100 ya
que puede ser que dicha inflación provoque una alza en los precios. Por lo
tanto, aun sin inflación, si se acepta un pago en el fututo debe pedirse más
para compensar esta perdida de utilidad potencial , para esto se considera
lo que se perderá por no ganar intereses, y no así el efecto de la inflación.
Ejemplo:
Supóngase que se depositan $100 en una cuenta que
paga el 7% de interés compuesto anualmente, de modo
que en un año se tendrán $107. Por lo tanto $100 de hoy
valdrán lo mismo que $107 dentro de un año. Entonces se
dice que los $107 son el valor del futuro y que los $100
es el valor del presente.
Como puede observarse y presenciarse en la actualidad el valor del presente
siempre será menor que el valor del futuro
Como se vio antes:
Si el interés compuesto n veces al año durante t años a una razón r, y el
valor $B es el valor futuro de $P después de t años, tomando $P como el
valor presente de $B entonces :
B= P(1+r/n)nt despejando
P= B/(1+r/n)nt
Utilizando exponencial e
B= P ert despejando
P= B/ ert = B e-rt
CORRIENTE DE INGRESOS
Cuando se consideran pagos hechos o recibidos se suele pensar en pagos
discretos, es decir hechos en momentos específicos en el tiempo. Sin
embargo los pagos realizados por una compañía se pueden considerar
como continuos.
Por ejemplo:
Los ingresos que percibe una gran empresa corporativa, en
esencia se reciben siempre y por lo tanto pueden representarse
como una corriente de ingresos continúa.
Como la razón a la que los ingresos se perciben pueden variar de un
momento a otro la corriente de ingresos se describe por:
P(t) ($/tiempo)
P(t) es la función o razón dependiente de t (tiempo)
En la misma forma en que se pueden encontrar valores presente y futuro de
un pago, se pueden encontrar estos valores en una corriente de pago.
Como se trabaja con una corriente continua de ingreso, se supondrá que el
interés esta compuesto continuamente; la razón para hacer esto es que los
cálculos aproximados que se harán (Mediante sumas por integrales) son
mucho más sencillos si tanto los pagos como los intereses son continuos.
Supóngase que se desea calcular el valor presente de la corriente de ingreso
descrita por una tasa P(t)$ por año, y que nos interesa el periodo desde
ahora hasta T años en el futuro.
Para usar lo que se sabe sobre depósitos simples para calcular los valores
presentes de una corriente de ingreso, primero se debe dividir la corriente en
muchos depósitos pequeños, cada uno de los cuales se hace
aproximadamente en un instante. Se divide el intervalo o<= t <= T en
subintervalos, cada uno de longitud .
Ejemplo:
Hallar los valores presente y futuro de una corriente constante de ingreso
de $100 por año en un periodo de 20 años, si se supone una tasa de
interés compuesto continuo del 10%.
Sol:
20
20
 e

 0 .1 t
-2
100
e
dt

100
  1000 1 - e   $ 864 . 66
Valor presente = 0
 0 .1  0
- 0.1t
20
Valor futuro =
0 100 e

0 . 1 ( 20  t )
= 100 e 2  

 0 .1 t
dt  0 100 e e
20
20
2
 0 .1 t
dt

2
2
  1000 e 1  e   $ 389 . 06
0 .1  0
e
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