SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR.
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
CBTis 165 DE COATEPEC, VER.
MATEMÁTICAS V
CÁLCULO INTEGRAL
Wenceslao Vargas Márquez.
Twitter @WenceslaoXalapa
Marzo de 2015.
2-oct-15
wenceslao.com.mx/matematicas
1
1.1.- LA INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA A LA DERIVACION
Este material tiene el objetivo de complementar las clases que recibes en tu salón y
ayudarte a comprender mejor el proceso algebraico de la operación matemática conocida
como integración.
Por el lado izquierdo y de manera automática aparecen la integral, su número consecutivo y la página
donde la puedes hallar en el libro oficial (Cálculo Integral, Fausto Morales Lizama, SEP-FCEDGETI,2002). Enseguida aparece paso a paso el proceso de integrar usando imágenes en movimiento.
Lee detenidamente cada paso y avanza hasta que lo hayas comprendido fijando cuidadosamente tu
atención en toda expresión remarcada con rojo. Mientras aparezca en cada paso el signo de igual (=),
la computadora espera a que des click en el botón izquierdo del ratón o enter en el teclado. También
puedes avanzar oprimiendo la tecla S y retroceder los pasos que quieras con la tecla A. Puedes
abandonar en cualquier momento oprimiendo ESC.
Si oyes el sonido de una máquina registradora significa que el proceso concluyó y un nuevo click hará
aparecer un nuevo ejercicio.
Ojalá te sea de utilidad.
2-oct-15
wenceslao.com.mx/matematicas
2
1.2 FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN.
 5dx 
Pág.34. Ejercicio 1.-
Pág.34. Ejercicio 2.-
  K  1  dx 
Pág. 34. Ejercicio 3.-

x
x dx 
2
Al 2 se le suma 1 y resulta 3:
 4 x dx 
x-4
Se cancelan los 4 y
fracción es negativa:
dx
Página 34. Ejercicio 5.-
2
Se excluye el 4:
pasa al denominador. La

x
 c
3
5
(4)
Al –5 se le suma 1:
4
4
( K  1) x  c
3
4  x dx 
x
5x  c
( K  1)  dx 
Excluimos la constante (K+1):
5
Pág. 34 Ejercicio 4.-
5  dx 
Separamos el 5:
1
C 
x
4
 c
1
Excluimos el denominador 2 y colocamos la raíz en el numerador:

2
1
1
a (–1/2) le sumamos 1:
2
.
x
2
1
 c 
2
Se cancelan los (1/2) y el exponente fraccionario se convierte en raíz:
2-oct-15
wenceslao.com.mx/matematicas
x c
3
1
x
2
dx 

Pág.34 ejercicio 6.-
ax dx 
Tomemos u = ax y n = ½. La
diferencial debe ser du=adx y sólo
tenemos dx. Falta a y su
compensación 1/a.
3
1
A ½ le sumamos 1:

(ax)
3
a
2
2
c
3
c
2
( ax )
3a
2
Aplicamos
exponentes
fraccionarios:
1
a
  ( a )( ax )
1
1
1
2
2 xa x 2
2
dx 
2
c
3
x ax  c
3
Otra forma: Separamos en dos raíces el integrando para que quede así:

a x dx 
Separamos la
raíz de a:
Pág. 35. Ejercicio 7.-
 (x
2
ax
1
2
dx 
A (1/2) le
sumamos 1
a
2
3
2
x
3
2
1
c
2
1
2a x 2 x
2
c
3
x ax  c
3
 3 x  1) dx 
Separamos los tres términos del integrando y excluimos las constantes:
Se suma 1 a cada exponente:
x
3
3
2-oct-15
1
3
x
 x dx  3  xdx  1 dx 
2
2
 xc
2
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4
 ( x  b ) dx 
( x  b)
Fórmula 3. Tomamos u = x+b,
n = 3, du = dx
3
Pág. 35. Ejercicio 8.-
4
 c.
4
Pág. 35. Ejercicio 9:
( x  3)
 ( x  3)
 3 1
3  1
dx
c
Pág. 35. Ejercicio 10:
3
( x  3)
2
3
 ( x  3) dx 
Fórmula 3. Colocamos el integrando en el
numerador. El exponente cambia de signo y
se le sumará 1:

2
1
El exponente –2 pasa positivo al denominador
c
 2( x  3)
Para usar la fórmula 3, convertimos la raíz
cuadrada a exponente fraccionario (1/2) :
  3 x  3 dx 
Tomamos u = 3x + 3. De esta forma du debe ser
du=3dx. Sólo tenemos dx. Falta la constante 3 que
añadimos y compensamos con (1/3):
1
1
3
1
 (3)(3 x  3)
2
dx 
1 (3 x  3) 2
3
1 1
2
Se multiplica los extremos 2 por 1 y los medios 3 por 3, resultando (2/9):
1
c
 3x  3
1 (3 x  3)
3
3
2
 c.
1
2
dx 
3
2
c
2
2(3 x  3)
3
2
 c.
9
2-oct-15
wenceslao.com.mx/matematicas
5
5
x
3
2
dx 
x
x
1
2
dx 
3
2
5
2
x

3
2
5
c
Ejercicio 13. Pág. 35
2x
5
2
dx
Ejercicio 12. Pág. 35
Usaremos las fórmulas 2 y 3.
Multipliquemos la raíz de x por x y por 1:
x  x  1  dx 
Ejercicio 11. Pág. 35: 
dx
 3x  1 

2x
Ejercicio 14. Pág. 35.
2-oct-15
2
 1)

x dx   x
1
1
2
dx 
2
 c.
3
Fórmula 4. Si usamos u=3x+1,
entonces du=3dx. Falta 3 que
añadimos y compensamos con 1/3:
Por propiedades de logaritmos el coeficiente
fraccionario (1/3) se convierte en exponente y luego en
raíz cúbica:
 (x
2
3
2
ln( x  2)  c .
Fórmula 4. Usamos u = x –2; y du = dx.
 x2 
xdx

1
x
ln  3 x  1 
1
1
3
2
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3
c
2 xdx

2 (x
1
 1)

3 dx
 3x  1
ln
1
2
3

1
3
ln  3 x  1   c 
3x  1  c
ln( x  1)  c  ln
2
x 1  c
2
6
1
 (1 
x
1
2x 1
) dx 
ln(2 x  1)  c 
2
 dx 
dx
 2x 1
( x  1) dx
 ( x  1)( x  1)
dx
Ejercicio 17. Pág. 35.dx
dx
 xa  xb
2-oct-15
x
 x 1 



Hemos usado la fórmula 2. La primera integral se
resuelve con la fórmula 1. La segunda con la 4 donde
u=2x-1 y du=2dx. Falta 2 y su compensación (1/2).
Usando propiedades de logaritmos: ln e x  ln ( 2 x  1)
( x  1) dx
Ejercicio 16. Pág. 35.-
Si tomamos u=2x o si tomamos u=2x+1 no obtenemos la
diferencial. Por tanto procedamos a hacer la división de
2x entre 2x+1 para que resulte:
2 xdx
 (2 x  1) 
Ejercicio 15. Pág. 35.-
2
 2x 1

2
 dx 
 c  ln
1
2
2 dx
 2x 1 
e
x
2x 1
c
Ninguna de las dos funciones tomada como u nos proporciona una du útil
para usar la fórmula 3. Debemos factorizar del denominador y cancelar (x+1):
Con la fórmula 4 la respuesta es:
1 
 1
  x  a  x  b  
1
2x 1 2x
ln( x  1)  c
Separemos usando la fórmula 2 y luego
aplicaremos la 4 en dos ocasiones:
ln( x  a )  ln( x  b )  c  Usando la propiedad de
logaritmos que se suman:
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ln( x  a )( x  b )  c
7
Ejercicio 18. Pág. 35.
1
2
ln(2 x  1) 
1
2
dx 
 dx
  2 x  1  2 x  1  
Integraremos término a término con la
fórmula 2. Cada integral será del modelo de la
fórmula 4. En ambos casos du=2dx.
Añadimos 2 y compensamos con ½.
ln(2 x  1)  c  Con propiedades de logaritmos
que se restan:
dx
Ejercicio 19. Pág. 35.  a  bx
Ejercicio 21. Pág. 35.
2x
dx 
a
x
(2 x  1)
1
1
b
ln
1
 a  bx 
2
c
2
1
b
dx 
Fórmula 6 con u=-x y dx= -dx.
Sólo falta el signo negativo (-)
 2x  1
ln 

 2x 1
(  b ) dx
a  bx

1
2
a
x
2x
1
2
c
1
1
(2) dx
ln
2x 1
2x 1
 c.
ln( a  bx )  c 
b
(2) dx 
(  )  (  ) a dx 
1
x

(2) dx
 


2 2x 1 2 2x 1
 c.
Fórmula 6 con u=2x y además du=2dx.
Falta un 2 y su compensación (1/2).
El exponente negativo de la a-x en el numerador se
hace positivo si la pasamos al denominador. Arriba
queda un 1 negativo:
2-oct-15
1
Hagamos u=a-bx por lo que du= -bdx.
Falta (-b) y su compensación (-1/b).

Por propiedades de logaritmos, el cambio de signo de
un coeficiente de logaritmos invierte la fracción
afectada por el logaritmo:
Ejercicio 20. Pág. 35.  a
ln
(2 x  1)
1
1 a
2x
c
2 ln a
()
a
a
2x
ln a
2
x
c 
ln a
 c.
a ln a
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8
 c.
Ejercicio 22. Pág. 35.
Ejercicio 23. Pág. 35.
Ejercicio 24. Pág. 35.
 e dx 
5x
e
e
x
2
Ejercicio 25. Pág. 36.
e
sen x
dx

2x
x
dx 
3
Usemos la fórmula 5 tomando u = lnx. 1
Así du=(dx/x). Tenemos (1/2) sobrante
2
que excluimos como una K en la
fórmula 1:
 senx
3
3x dx 
2
ln x
c
5x
5
dx

x
1
e
ln x
 c.
2
4 e
senx
cos xdx 
4e
senx
 c.
Es más frecuente hallar la integral con la 3x² al principio para no confundir el ángulo (x³).
Se tomará u=x³ Usaremos la fórmula 7. La diferencial se halla completa con du=3x²dx.
 (3 x
2-oct-15
e
e
El 3 en el denominador es (1/3) que excluimos como una K en la
fórmula 1. Usemos la fórmula 5 con u=x² por lo que du=2xdx.
Anotemos el faltante 2 y su compensación (1/2).
2
1 1
1 x2
x
  e (2) xdx 
 e  c.
3 2
6
El 4 tomado como factor se excluye como una
K. Usemos la fórmula 5 con u=senx y
diferencial completo du=cosxdx:
4 co s xd x 
Ejercicio 26. Pág. 36.
ln x
1
Usemos la fórmula 5 con u = 5x. Así 1
5x
(5) e dx 

tendremos dx = 5dx. Falta 5 y su
5
compensación (1/5):
2
) senx dx 
3
 cos x  c .
3
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9
La función trigonométrica es el coseno, fórmula 8. Tomemos
Ejercicio 27. Pág. 36.  cos x dx  el ángulo u=x/2. Entonces du=dx/2. Falta (1/2) y su
2
1
x
2  ( ) cos dx 
2
2
compensación 2.
Ejercicio 28. Pág. 36.  cos 2  dx2
x x
 tan e
x
(  e dx ) 
x
  tan e ( e ) dx 
x
Ejercicio 30. Pág. 36.
1
 tan x
2
2
(2) xdx 
1
2
x
( x ) dx 
ln cos x  c 
2
Ejercicio 31. Pág. 36.
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 tan x
2
x
 c.
2
La función trigonométrica es el coseno y la fórmula de integración es la 8. El ángulo
u=2/x= 2x-1 por lo que usando la fórmula 7 de diferenciación du= -2x-2dx . Falta –2 que se
añade y se compensa con (-1/2).

2 dx
 1
      2  cos  2 
x x
 2
Ejercicio 29. Pág. 36.
2  sen
()
1
2
sen
2
 c.
x
El ángulo es u=ex por lo que du=exdx, que representa a una diferencial completa. El signo
simplemente se excluye como si fuese un (-1). La función es una tangente, fórmula 9.
(  )  ln cos e  c .
x
ln cos e  c .
x
Tomando u = x² tendremos du=2xdx. Falta un 2 que añadimos y compensamos con (1/2).
Fórmula 9:
El coeficiente fraccionario del logaritmo se hace
exponente y luego raíz cuadrada:
 cot( x  b ) dx 
Notamos una función cotangente. Si
tomamos u=x+b tendremos du=dx, que es la
diferencial completa. La fórmula es la 10:
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2
ln(cos x )
1
2
2
 c  ln co s x  c .
ln sen ( x  b )  c .
10
Ejercicio 32. Pág. 36.
 cot ln x
dx
Notamos una función cotangente afectando a un logaritmo
natural. Tomemos u = ln x La diferencial du es:

x
du  (
dx
)
x
ln sen (ln x )  c .
La diferencial está completa. Queda escribir el resultado siguiendo símbolo a símbolo la fórmula 10:
El cubo afecta sólo al ángulo (x³) no a la secante. Al tomar u=x³ tendremos du=3x² que
Ejercicio 33. Pág. 36.  sec x (3 x ) dx  es la diferencial completa. Se usará la fórmula 11 ( sec u du) escribiendo símbolo a
símbolo la respuesta:
3
2
ln sec x  tan x  c
3
Ejercicio 34. Pág. 36.
 sec axdx 
2
La fórmula que usaremos es la 13 ( sec² u du). En el análisis del ángulo hallamos que u=ax
por lo que du=adx. Falta (a) y su recíproco (1/a).
1
 sec
a
Ejercicio 35. Pág. 36.
2
ax ( a ) dx 
1
tan ax  c .
a
2
x dx
 sen
2
x
3

Escribamos en un solo renglón el integrando.
El seno pasa al numerador como cosecante:
Nuestra función es una csc² u du, que es la fórmula 14.
Tenemos a u=x³ y su diferencial du=3x². Falta un 3 y su
recíproco (1/3):
2-oct-15
3
1
3

x csc x dx 
2
 (3) x csc x dx 
2
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2
3
2
3

1
cot x  c .
3
3
11
 sec x tan x
Ejercicio 36. Pág. 36.
dx

1
Separemos el 2 en el denominador como factor K=1/2:
2
2
1
La fórmula es la 15 (sec u tan u du) donde u=x y además la diferencial du=dx está completa:
Ejercicio 37. Pág. 36.  sec x tan x dx 
a
a
 sec x tan xdx 
sec x  c .
2
Comparando con la integral anterior es notorio que el modelo es nuevamente el de la
fórmula 15. Ahora u=(x/a) y du=dx/a. Debemos añadir (1/a) y compensar con (a):
1
x
x
( a )  ( ) sec tan dx 
a
a
a
a sec
x
 c.
a
Ejercicio 38. Pág. 36.
  csc x  cot x 
2
dx 
Desarrollamos el binomio al
cuadrado e integramos término a
término según la fórmula 2:
  csc
2
x  2 csc x cot xdx  cot x  dx 
2
La cot² x = csc² x - 1 por lo que transformamos el tercer término:
  csc
Separemos términos teniendo en cuenta que hay dos csc²x que se sumarán:
 2 csc
Las intregrales se resuelven con las fórmulas 14, 16 y 1, respectivamente:
 2 cot x  2 csc x  ( x )  c 
Teniendo en cuenta signos, factorizamos con el número (-2) que se repite:
2
2
x  2 csc x cot x  csc x  1  dx 
2
xdx 
 2 csc x cot xdx   dx 
 2(cot x  csc x 
x
)  c.
2
2-oct-15
wenceslao.com.mx/matematicas
12
dx
Ejercicio 39. Pág. 36.  x 2  16
Nota como en el denominador hay una x al cuadrado y un 4 al cuadrado: 

1
Usemos la fórmula 17, haciendo u=x y haciendo a=4. La respuesta con la fórmula :
2
x dx
Ejercicio 40. Pág. 36.
x
6
4

xdx
3 x

1
3
 (x
(3) x
3
2
)  (2 )
2

4
dx
x 1

a
arctan
4
x

 c.
4
2
(
dx 
1
3
3
1
x
2
2
)  ( ) arctan
1
 c.
arctan
6
x
3
 c.
2
1
2

(2) xdx

( 3)  (x )
2
2
2
1
2
a rcsen
x
2
 c.
3
Usaremos la fórmula 19 donde u=x y además du=dx.
También a=1.
2
ln u 
2-oct-15
1
será
c
2
La diferencial de 3-x4 no genera xdx. Se usará la fórmula 18 donde la respuesta es arcsen
Como a²=3, entonces a=3. Como u²=x4, entonces u=x² con lo
que du=2xdx. En el numerador de la integral falta un 2 que
escribimos compensándolo con (1/2).
Ejercicio 42. Pág. 36.
a
u
( x )  (4)
El término x6 es el cuadrado de x³ además de que 4 es el cuadrado de 2.
Usemos la misma fórmula 17 haciendo u=x³ y también a=2.

En el numerador debemos tener du=3x²dx. Falta
un 3 que anotamos y compensamos como (1/3).
Ejercicio 41. Pág. 36.
arctan
dx
2
u a
2
2
c
ln x 
x  1  c.
2
wenceslao.com.mx/matematicas
13
u
a
+c
Ejercicio 43. Pág. 36.  2 2dx 
4x 1
u
Usemos la fórmula 20 donde
Por comparación en la integral hallamos que u² = 4x², por
1
2x 1
ello u=2x y entonces du = 2dx lo que significa que la
ln
c
2(1)
2x 1
diferencial está completa y la respuesta será:
Ejercicio 44. Pág. 36.
 e 1  e  
Transformando:
2 x
Por comparación: a=1. También
u=e-x
por lo que
du=(-)e-xdx.
Ejercicio 45. Pág. 36. 
4  x dx 
Ejercicio 46. Pág. 36.
  sec x  tan x  2 dx 
 sec
2
a
1

2
ln
2a
ua
ua
c
Y como el coeficiente (1/2)
de un logaritmo se puede
hacer exponente y luego raíz
cuadrada:
ln
2x 1
2x 1
 c.
x
dx
x
du
2
2
 (1)
e dx
2
 (e
x
)
2

Falta sólo el signo negativo.
Esta integral es del modelo de la fórmula 17:
 arctan
Con la fórmula 23, a=2 y u=x la respuesta es:
1
e
x
x
 c.
4  x  2 arcsen
2
2
xdx  2  sec x tan xdx 
 tan
2
xdx 
x
2
Se desarrolla el binomio al cuadrado, se separan términos y
aplicando igualdades:
 x  2 tan x  2 sec x  c .
FIN
2-oct-15
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14
 c.
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Integratis - Wenceslao