Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el
oscilador (con masa) amortiguado
Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere
energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a
medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el
mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son
raras y en general requiere de un mecanismo activo
(una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los
cambios conformacionales de proteínas suelen no
tener rebote.
La dificultad de oscilar en un mundo viscoss.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del
aparato mecanico transductor de presion a corriente?
Las células ciliares en la cochlea:
5 mm
(P. Gillespie, U. of Oregon)
Oscilaciones en un medio viscoso: Primer punto de
partida, acercamiento empírico.
F
Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida
teorico como siempre, las ecuaciones de Newton.
F
F  kx    v  m
dv
dt
La ecuación diferencial de Newton
Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida,
como siempre, las ecuaciones de Newton.
F
F  kx    v  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
F  kx    x  m x
Expresado en terminos de una
funcion incognita (x) y sus
derivadas ( v y a)
Resolvamos primero el caso en el que F=0. Un oscilador
“solo” en un medio viscoso.
De ecuaciones diferenciales a un polinomio…
F
kx    x  m x  0
xe
 t

dx
dt
Y como siempre, proponemos y
usamos, para pasar de la
ecuación diferencial a una
ecuación polinomica:
2
 e
 t

d x
dt
2
 e
2
 t
 x
2
De ecuaciones diferenciales a un polinomio una vez
más función conocida
F
kx    x  m x  0
xe
 t

dx
dt
2
 e
 t

d x
dt
2
 e
2
Yemplazando cada derivada se obtiene
 t
 x
2
Resolviendo el oscilador amortiguado
F
( k    m  )  e
2
 t
 0  ( k    m  )  0
2
Problema conocido
Una solución conocida
F
( k    m  )  e
2
 t
    4 mk
 0  ( k    m  )  0
2
Problema conocido
2
2m

Que nos dice esta ecuacion
(antes de resolverla)
Que puede concluirse de esta solucion
F
 
  4 mk
2
2m

xe
 t
Distintos escenarios posibles: 1) Viscosidad domina
F
xe
1) Raiz es > 0
 
  4 mk
2
2m


2
 t
 4 mk
Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las proteínas)
La masa y la elasticidad no llegan a generar ni una
oscilación.
F
xe
1) Raiz es > 0
 
  4 mk

2
 t
 4 mk
2
2m

1) La solución no tiene componente compleja y luego no
hay oscilaciones.
2) Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la
solución es una exponencial decreciente.
3) El resultado es por lo tanto como el de un amortiguador
con la constante de tiempo modificada por la presencia
de la masa y de la constante elástica.
Distintos escenarios posibles: 2) La masa y la
elasticidad llegan a oscilar superando la viscosidad.
xe
F
2) Raiz es < 0
 
  4 mk
2
2m

xe


2m
t
e
 t
  4 mk
2
1 


2m 
<0
2
  4 mk  t

Raíz negativa, como resolverla...
xe
F
2) Raiz es < 0
 
  4 mk
2

2m
xe
xe
Entonces la raiz
es positiva por -1.



2m

2m
t
t
e
e


 t
  4 mk
2
1 

2m 
2
  4 mk  t

>0
1 

2m 
2
1 ( 4 mk   )  t

Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones
xe
F
  4 mk
2
2) Raiz es < 0
 
  4 mk
2

2m
xe
xe
i factoriza como
la raiz de -1

xe


t
2m

t
2m


e
e
2m
t


1 

2m 
1 

2m 
e
 t

2
  4 mk  t

2
1 ( 4 mk   )  t

it
2m
( 4 mk   )
2
El reino de las oscilaciones.
xe
F
  4 mk
2
2) Raiz es < 0
 
  4 mk
2

xe
2m


t
2m
e
2

 )
(  

2
m


m
k
 it
2
Decaimiento
exponencial con
constante:
2m

Oscilaciones con
periodo
k
 t
  


m  2m 
2
El reino de las oscilaciones.
 
F
  4 mk
2

2m

xe
Decaimiento
exponencial con
constante:
t
 exp
e
 exp 
i
2m

t
  4 mk
2
 osc
Oscilaciones
con periodo
 osc 
2
  


m  2m 
k
2
El reino de las oscilaciones.

xe
 exp 
2) Raiz es < 0
 
  4 mk
  4 mk
2
2m

2
2m

t
 exp
e
i
t
 osc
2
 osc 
k
  
2


m  2m 
1) La solución tiene componente compleja y luego resulta
de una mezcla de oscilaciones y un decrecimiento
exponencial.
2) Las constantes de tiempo se factorizan: oscilador con
masa por un lado y amortiguador con masa por el otro.
3) La constante de tiempo del decaimiento aumenta con la
masa y decrece con la viscosidad.
4) La constante de tiempo de la oscilación aumenta con la
masa y decrece con k
El compromiso entre dos términos.

xe
t
 exp
2) ¿Por qué?
 
  4 mk
e
i
t
 osc
  4 mk
2
2
2m

La física de este problema queda establecida por un
compromiso entre la disipación (dada por la viscosidad)
y la tendencia a oscilar que aumenta con la elasticidad y
la masa. Todo el problema se reduce esencialmente a
comparar los dos tiempos críticos (el decaimiento
exponencial y el periodo de la oscilación) y a entender
que contribuye a cada tiempo critico.
EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE
RELAJACION
F
v  v f  (vo  v f )  e
vf 
F
F

:  m

xf 
k
: 


x  x f  ( xo  x f )  e
F
t

k

t

EL TIEMPO DE DISIPACION Y EL TIEMPO DE
RELAJACION
F
 DISIPACION  m
 DISIPACION   RELAJACION

m
F
 RELAJACION


k



mk  
k
2
Tiempo de experimentos (simulaciones)
Segunda parte, validación de un modelo teorico.
F
Energía en un oscilador viscoso
Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por lo tanto la
energía, según la fórmula:
E 
1
( kx  mv )
2
2
2
Reemplazando la educación del movimiento se obtiene la
siguiente formula para la energía:
E  E0  e

t

 
m

Energía en un oscilador viscoso
E  E0  e

t

 
m

Dos conclusiones importantes dos:
1) La energía no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar
(y en general moverse) en un mundo viscoso cuesta.
2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.
Energía en un oscilador viscoso
E  E0  e

t

 
m

2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.
Vimos que el movimiento puede factorizarse en el producto de un decaimiento
exponencial y de una oscilación. El decaimiento exponencial es el único de estos
factores que altera la energía. La oscilación establece un proceso conservativo de flujo
de energía cinética a potencial (y la velocidad de este flujo SI depende de k)
conservando el total de energía. De hecho en el caso extremo en el que la viscosidad
es cero, el problema es conservativo, cada ciclo de la oscilación tiene la misma energía
y, por lo tanto, la misma amplitud.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
E  E0  e

t

 
m

Si un agente externo es capaz de entregar en cada ciclo la misma cantidad de energia
que disipa el sistema, entonces se alcanza un estado oscilatorio estacionario de
amplitud constante.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
Respuesta: NO. Ya vimos anteriormente que el trabajo de una fuerza constante a lo
largo de un ciclo es necesariamente cero (esencialmente porque en la mitad del ciclo
empuja (fuerza en mismo sentido que el desplazamiento, trabajo positivo) inyectando
energía y en la otra mitad del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al
desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo tanto energía.
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.
Velocidad
F
E
 E
 E
 E
El oscilador amortiguado disipa energía porque la
fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
F
La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de
energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad
disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo
resultando, como ya vimos, en una exponencial.
Velocidad
F
E
 E1
 E2
 E3
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
F(t)
Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una
energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la
inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es
mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la
energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa).
Velocidad
F Viscosa
Forzado Ext
E
 E  E F
 E  E F
ALGUNOS OSCILADORES:
Viola d'amore (Siglo XVII)
cuerdas
simpateticas
ALGUNOS OSCILADORES:
El Sitar (Siglo XII)
entre 11 y 19 cuerdas
simpateticas
ALGUNOS OSCILADORES:
El Puente de Tacoma (1940)
Mas vale tarde que nunca…
El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun...
F
Ae
iwt
F(t)
 kx    x  m x
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez
más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e
imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la
exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:
El oscilador amortiguado y forzado: Solución
estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales.
Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede
con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
El oscilador amortiguado y forzado: Solución
estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales.
Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede
con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
SIMULACIONES 1
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
“asintotico” de este problema fisico.
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
 0
(Punto de equilibrio)
x=0
Posición en el punto de
equilibrio y velocidad
positiva y de modulo
máximo
Crónica de una oscilación
 0

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo la posición es
positiva así como la
velocidad. A medida que
aumenta la posición, la
velocidad disminuye.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Posición en el punto
máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia
de signo.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la
velocidad es negativa.

Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
 
(Punto de equilibrio)
x=0
Medio ciclo completado,
la posición vuelve a ser
la misma pero la
velocidad se ha
invertido. Nótese que
entre pi/2 y 3pi/2 se da
la situación inversa...
Crónica de una oscilación
  
3
2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación
tanto x como la
velocidad son
negativas.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 
3
2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la
velocidad es POSITIVA.
 2
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
  2
(Punto de equilibrio)
x=0
Luego de estos cuatro
cuartos (cada uno de
pi/2) el ciclo se ha
completado. Fase de 0
o de 2pi es
estrictamente lo mismo.
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
x
t
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
x
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
v>0 v<0 v<0 v>0
F>0 F>0 F<0 F<0
+E -E +E -E
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la
transferencia de energía es 0
x
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
v>0 v<0 v<0 v>0
F>0 F<0 F<0 F>0
+E +E +E +E
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
x
La transferencia de energía es optima cuando la
diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir
cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
F  F0  e
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
iwt
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
F  F0  e
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
x E ( t )  A  cos( w  t   )
iwt
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Solución analitica a la solución estacionaria.
F  F0  e
iwt
F
w0 
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
F(t)
2
k
m


w


  arctan
2
2
 m (w  w ) 
0


Solución analitica a la solución estacionaria.
F  F0  e
iwt
F
w0 
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
F(t)
2
k
m


w


  arctan
2
2
 m (w  w ) 
0


Conclusión 1:
La solucion estacionaria oscila con la amplitud del forzado.
Solución analitica a la solución estacionaria.
F  F0  e
iwt
F
w0 
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
F(t)
2
k
m


w


  arctan
2
2
 m (w  w ) 
0


Conclusión 1.1:
Tanto la amplitud como la relacion de fase quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir
estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es insensible a
las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
F  F0  e
iwt
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
2
w0 
k
m


w

  arctan 
 m (w 2  w 2 ) 
0


x ( t )  A  cos( w 0  t   ) x ( 0 )  A  cos(  ) : v ( 0 )   A sin(  )
v (0)

x (0)
sin(  )
cos(  )
    arctan(
x ( 0 )  y ( 0 )  A  cos ( )  A  sin ( )  A 
2
2
2
2
2
2
v (0)
)
x (0)
x (0)  y (0)
2
2
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F  F0  e
iwt
F0
A
m
w
2
0
w
2

2
w 
2
2


w

  arctan 
 m (w 2  w 2 ) 
0


x ( t )  A  cos( w  t   )
x ( t )  A  cos( w 0  t   )
2
A
x (0)  y (0)
2
2
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
   arctan(
v (0)
x (0)
)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
F
A
x ( t )  A  cos( w  t   )
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2




w

  arctan 
k
 m(  w2) 


m


Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se
ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del
oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros
físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
k=5,m=1
2.5
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
2
w 
2
γ =0.2
2
1.5
γ=0.4
1
Dos términos positivos. La función será
máxima cuando cada uno se minimice.
0.5
0
 w
k
m
 w0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1)La amplitud (y por ende la transferencia de
energía) es máxima cuando la frecuencia del
forzado es igual a la frecuencia natural del
oscilador.
2) La amplitud máxima es inversamente
proporcional a la viscosidad. Nótese que para
viscosidad cero es infinita. ¿Porque?
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
A ( w 0 )  A max 
2.5
2
F
 0

F
m

k
g=0.2
1.5
F0
A
m
2
w
2
0
w
k=5,m=1
2

2
g=0.2
1
w 
2
2
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A( )  0
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
F0
A
m
2
w
2
0
w

2
2
w 
2
2
k=30,m=1
Cambio de escala
0.4
0.1
0.35
g=0.5
0.3
0.08
0.25
0.07
0.2
0.06
g=2
0.15
g=2
0.09
0.05
0.04
0.1
0.03
0.05
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
El ancho de la curva de amplitud
escalea con la viscosidad y
disminuye con la raíz de la masa y
la constante elástica. Nótese que
esta comparación es equivalente
al cociente para determinar si un
oscilador no forzado llega a oscilar
o no.

F
A
w 
2
k m
k
 (w  m 
)
2
w
k=30,m=1
0.4
0.1
0.35
g=0.5
0.3
0.08
0.25
0.07
0.2
0.06
g=2
0.15
g=2
0.09
0.05
0.04
0.1
0.03
0.05
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
0.16
0.14
m=3
0.12
Aumentar la masa resulta en
frecuencias mas bajas y un
mundo “en aparencia” mas
viscoso.
0.1
0.08
m=1
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
)
2
Espectro, una función de transferencia.
F
A
w 
2
k
 (w  m 
)
2
w
F(t)
Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un
resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado)
puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a
una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de
entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado
por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA
DE RESONANCIA, que es característico y que establece una
huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La
funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la
frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la
viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
¿Y este quien es?
El secreto de la vida
Oscillating oil drops, resonant frequencies, and low-frequency passive
seismology
Geophysics 75, O1 (2010);
Published 20 January 2010
Michael K. Broadhead1
1Saudi Aramco, Dhahran, Saudi Arabia. E-mail: [email protected]
A recent passive seismic technology in the oil industry, sometimes referred to as hydrocarbon
microtremor analysis (also low-frequency spectroscopy), claims high correlation in some instances
between the presence of hydrocarbons and low-frequency spectral anomalies (elevated spectral
energy levels) computed from passively recorded seismic data. These observations have been
reported for a number of different geographic locations. One of the difficulties in assessing this
method is the lack of a physical basis for explaining the empirically observed effects. A potential
explanation that has appeared in the literature can be referred to as the resonant amplification
model. The main idea of the model is that, because of capillary effects, an oil drop in a rockpore will
oscillate at a resonant frequency when driven by the ambient noise field of the earth. This
resonance phenomenon is interpreted as a possible source of the spectral anomaly. I examined this
model by numerical simulation but was unable to reproduce the amplification effect. I then
considered one of the main input parameters, the resonant frequency itself. By computing resonant
frequencies using theoretical models from the literature, I found that the resulting values are too
high to be consistent with the frequency range of hydrocarbon microtremor analysis. Furthermore, I
found that such resonances only exist for little or no viscous damping. When realistic damping is
considered, there is no oil-drop resonance effect. The model, at least in its current form, does not
appear to provide a promising direction for establishing a physical basis for hydrocarbon
microtremor analysis.
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F  F0  e
iwt
F0
A
m
x ( t )  A  cos( w  t   )
2
w
2
0
w


w


  arctan
2
2
 m (w  w ) 
0


2

2
w 
2
w0 
2
k
m
Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de
amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde
la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del
forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a
la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
3.5
3
2.5
2


w

  arctan 
 m (w 2  w 2 ) 
0


1.5
0.5
0
 0
 
k=5,m=1,g=0.5
1
0
1
2
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
35
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
2
1
-1
3
1
4
5
6
7
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
3.5
3
F(t)
2.5
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






1.5
k=5,m=1,g=0.5
1
0.5
0
0
1
2
3
1
5
1
0.8
4
0.8
0.6
3
0.6
0.4
2
0.4
0.2
1
0.2
0
0
0
-0.2
-1
-0.2
-0.4
-2
-0.4
-0.6
-3
-0.6
-0.8
-4
-0.8
-1
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
0
4
0.5
5
6
1
7
1.5
8
2
9
2.5
10
3
3.5
4
4.5
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=2;m=1;
F(t)
4
3.5
2.5
m
2
1.5
2
w
2
0
w
2

2
w 
2


w

  arctan 
2
2
 m (w  w ) 
0


1
0.5
0
F0
A
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=0.5;m=1;
F(t)
4
3.5
2.5
m
2
1.5
2
w
2
0
w
2

2
w 
2


w

  arctan 
2
2
 m (w  w ) 
0


1
0.5
0
F0
A
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=0.5;m=5;
F(t)
4
3.5
2.5
m
2
1.5
2
w
2
0
w
2

2
w 
2


w

  arctan 
2
2
 m (w  w ) 
0


1
0.5
0
F0
A
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=60;gama=0.5;m=5;
F(t)
4
3.5
2.5
m
2
1.5
2
w
2
0
w
2

2
w 
2


w

  arctan 
2
2
 m (w  w ) 
0


1
0.5
0
F0
A
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Espectro, una función de transferencia: Fase y
amplitud
k=60;gama=0.5;m=5;
T  Ae
F(t)
4
DILATACION
F0
A
3.5
m
3
i
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
2.5
2
ROTACION
1.5


w

  arctan 
 m (w 2  w 2 ) 
0


1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Espectro, una función de transferencia. Un producto
complejo.
A STIM  e
iwt   S TIM
T  Ae
DILATACION
i
F0
A
m
2
w
2
0
w
2

2
w 
2
ROTACION
T  A STIM  e
A  A STIM  e
iwt   S TIM
iwt   S TIM  


w

  arctan 
 m (w 2  w 2 ) 
0


2
Espectro, una función de transferencia compleja.
A STIM  e
iwt   S TIM
Conclusión 3 Revisitada:
Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado
amortiguado) puede pensarse
como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la
multiplicacion por un numero
complejo. Esto resulta en:
multiplicar la amplitud por un factor,
determinado por A(w) y cambiar la
fase por un fa factor determinado
por fi(w).
T  Ae
T  A STIM  e
A  A STIM  e
i
iwt   S TIM
iwt   S TIM  
Un anticipo de Termo: « Base
molecular de la pression »
Un muy pequeño resumen
del paso de variables
microscópicas (el cambio
de momento de cada
partícula) a variables
macroscópicas.
5 mm
(P. Gillespie, U. of Oregon)
Frecuencia
Base del sonido: frecuencia (otra
vez las oscilaciones)
3 kHz
300 Hz
Rango auditivo (humano): 20 Hz – 20,000 Hz
Ballenas y muercielagos: hasta 100,000 Hz !!!
El verdadero protagonista, visto de cerca y en soledad.
2 mm
(source: Hudspeth)
Manipulando al “verdadero protagonista”. Experimentos clasicos
de resortes estirados en la escala molecular.
Transduccion mecano-eléctrica.
La mecánica se vuelve corriente. El
movimiento se vuelve calcio.
2 mm
(source: Hudspeth)
La touffe ciliaire: Su conexion vista al fin
(No admite, o no encuentro, traducción decente al español…)
200 nm
2 mm
(source: Hudspeth)
LA COCHLEA: Detector de aceleraciones
(equilibrio) y de cambios de presion en una
banda de frecuencias (el piano invertido)
La voz: sonido complejo y las frecuencia
puras una base del sonido. (Idea del
Piano)
El espectro visto en el tiempo, cada columna corresponde a la
distribución en frecuencias del sonido en ese determinado instante
(¿que es un instante?). Una especie de partitura continua.
El piano extendido: Un órgano tonotópico,
organizado linealmente en una escala
logarítmica de frecuencias.
El piano extendido: Un órgano tonotópico,
organizado linealmente en una escala
logarítmica de frecuencias.
La luz extendida: Otra descomposicion en el
espacio de frecuencias.
« Prisma Acustico »
Georg von Békésy (1899-1972)
Hermann von Helmholtz (1821-1894)
Una visión funcional de un aparato mecánico. Un
resorte amortiguado es un objeto capaz de indicar la
presencia de una dada frecuencia en el mundo
externo.
A STIM  e
iwt   S TIM
Conclusión 3 Revisitada:
Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado
amortiguado) puede pensarse
como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la
multiplicacion por un numero
complejo. Esto resulta en:
multiplicar la amplitud por un factor,
determinado por A(w) y cambiar la
fase por un fa factor determinado
por fi(w).
T  Ae
T  A STIM  e
A  A STIM  e
i
iwt   S TIM
iwt   S TIM  
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros poco anchos requiere de un gran
sampleo.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Si suena esta frecuencia, este órgano detector
de sonidos es incapaz de detectarla
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros demasiado anchos resultan
ambiguos y redundantes.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Estas dos frecuencias son difíciles de distinguir
(si estas curvas además tienen ruido, tal vez
imposible…)
Una cadena de resonadores afinados a frecuencias
distintas. Espectros que maximizan la información
transmitida.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Optimizando la información que transmite un
órgano detector, tratar de cubrir la integridad del
espacio con el mínimo posible de redundancia.
Breve nota: La resolución espectral no tiene porque
ser (y de hecho no es) uniforme.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Un órgano mas sensible a las altas que a las
bajas frecuencias. Nótese que en cada
frecuencia, el ancho y la separación entre dos
detectores cavarían cerca de la situación
optima.
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Diapositiva 1