FP: INVOLUCIONES
FP_8
Prof. José Juan Aliaga Maraver
Universidad Politécnica de Madrid
Involución
• Una transformación convierte un elemento
P1 en P2.
• Si al aplicar la transformación a P2= Q1
(perteneciente Q1 al primer conjunto) se
obtiene P1 diremos que es involutiva.
F
P1 = Q2
P2 = Q1
Q2
F
F
INVOLUCIÓN
NO INVOLUCIÓN
Centro y Potencia de involución
• El punto límite de una involución es el
centro de involución
• Equidista de los puntos dobles en las
involuciones hiperbólicas
Involuciones rectangulares
Es una involución elíptica, no tiene elementos
dobles
b’
a’
a
b
Centro de involución
Cuatro puntos A, B, C y D, del plano pueden
relacionarse mediante tres involuciones diferentes,
de centros los puntos diagonales E, F y G, del
cuadrivértice que determinan
e
A
A’
E
F
B’
B
En la figura se ha establecido una involución
sobre una circunferencia, determinándose el
eje proyectivo e y el centro de involución E.
Cada punto A y su homólogo A’ se encuentran
alineados con el centro E
G
FP_8P_01
Involución
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series
superpuestas s y s’ . Enunciar el problema dual
A
B’
B
A’
Involución
FP_8P_02
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series
superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual
A
A’
B’
B
Involución
FP_8P_03
Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de
segundo orden . Enunciar el problema dual
A
B’
A’
B
FP_8P_04
Involución
Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series
superpuestas s y s’ . Enunciar el problema dual
A
B’
B
A’
FP_8P_05
Proyectividad
Sea la recta (s), paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en
sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal V”.
(V)
(B) (A)
B
A
B”
A”
(s)
s=s”
P
FIGURA DE ANÁLISIS
B
A
B”
A”
s=s”
Proyectividad
FP_8P_06
Sea la recta (s) dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos,
obtener el punto I de intersección de dicha recta.
(V)
A
B
V”
B” A” s=s”
P
FIGURA DE ANÁLISIS
A
B
V”
B”
A”
s=s”
Proyectividad
FP_8P_07
Sea la recta (s) dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto
de intersección de dicha recta y el V” del sistema central en el que está
representada.
(V)
A
B
C
C” B” A” s=s”
P
FIGURA DE ANÁLISIS
A
B
C
C”
B”
A”
s=s”
Involución
FP_8P_08
En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y
perpendiculares entre sí, a-a’ y b-b’. Obtener la dirección, también
coplanaria, que sea perpendicular a r.
Sistema axonométrico
Perspectiva caballera
b’
b’
a
a
b
r
a’
FIGURA DE ANÁLISIS
b
a’
r
Involución
FP_8P_09
En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de
direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, Fa-Fa’ y Fb-Fb’.
Obtener el punto principal, V”, alineado con los anteriores y la potencia de
la involución.
(V)
(a)
Fa
Fb
(b)
r
V”
(a’)
(b’)
Fa’ Fb’
P
FIGURA DE ANÁLISIS
Fa
Fb
Fa’
Fb’
Polo y polar
Q
T1
(ABPP’)=-1
R
A
P’
T2
B
P
Descargar

to get the file - OCW UPM - Universidad Politécnica de Madrid