Formación matemática universitaria
sugerencias desde la investigación didáctica
Carmen Azcárate
Departamento de Didáctica de las Matemáticas
y las Ciencias Experimentales
Universidad Autónoma de Barcelona
Formación matemática universitaria:
sugerencias desde la investigación didáctica
Índice de la charla
1. ¿Investigación en Didáctica de las Matemáticas?
- enfoque sistémico de la Didáctica de las Matemáticas
2. Pensamiento matemático avanzado
- percepción y acción
- procesos del pensamiento matemático avanzado
- obstáculos cognitivos
- modelos del pensamiento matemático avanzado
3. La formación de profesores universitarios
- profesores de universidad: algunos resultados de la investigación
1. ¿Investigación en Didáctica de las Matemáticas?
- un enfoque sistémico
Preguntas clave tradicionales:
¿
¿
Qué
Cuándo
Cómo
ENSEÑAR
?
Qué
Cuándo
Cómo
EVALUAR
?
Tres “polos”:
MATEMÁTICAS
ALUMNO/A
CLASE
PROFESOR/A
S OC I E D A D
Historia
Epistemología
Física
Biología
Otras ciencias
...
MATEMÁTICAS
(campo científico)
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
S OC I E D A D
S OC I E D A D
MATEMÁTICAS
que se enseñan
ALUMNO/A
CLASE
PROFESOR/A
S OC I E D A D
S OC I E D A D
Historia
Epistemología
Física
Biología
Otras ciencias
...
MATEMÁTIC AS
(campo científico)
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
CURRÍCULOS
PLANIFICACIÓN
ALUMNO/A
CLASE
PROFESOR/A
Adulto
Personalidad
Ideología
Creencias
Formación
...
S OC I E D A D
S OC I E D A D
S OC I E D A D
MATEMÁTICAS
que se enseñan
S OC I E D A D
Historia
Epistemología
Física
Biología
Otras ciencias
...
MATEMÁTIC AS
(campo científico)
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
APRENDIZAJE
CURRÍCULOS
PLANIFICACIÓN
ALUMNO/A
CLASE
PROFESOR/A
Adulto
Personalidad
Ideología
Creencias
Formación
...
Niño/a-adolescente
Género
Personalidad
Creencias
Estructura cognitiva
...
S OC I E D A D
S OC I E D A D
S OC I E D A D
MATEMÁTIC AS
que se enseñan
S OC I E D A D
Historia
Epistemología
Fís ica
Biología
Otras ciencias
...
MATEMÁTICAS
(campo científico)
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
APRENDIZAJE
CURRÍCULOS
PLANIFICACIÓN
GESTIÓN DEL AULA
CONTRATO DIDÁCTICO
ALUMNO/A
CLASE
COMUNICACIÓN
PROFESOR/A
Adulto
Personalidad
Ideología
Creencias
Formación
...
Niño/a-adolescente
Género
Personalidad
Creencias
Estructura cognitiva
...
S OC I E D A D
=> ¿qué, cuándo, cómo enseñar/evaluar?
S OC I E D A D
S OC I E D A D
MATEMÁTICAS
que se enseñan
Ejemplos de investigaciones
Infinito actual: inconsistencias e incoherencias de estudiantes de
16-17 años.
(Garbin, 2000)
El profesor universitario de Matemáticas: estudio de las
concepciones y creencias acerca de la enseñanza de las
ecuaciones diferenciales. Estudio de casos.
(Moreno, 2001)
Un estudio sobre el papel de las definiciones y las
demostraciones en cursos preuniversitarios de cálculo Diferencial
e Integral.
(Calvo, 2001)
La derivada como objeto matemático y como objeto de
enseñanza en profesores de Matemática de Colombia
(Badillo, 2003)
2. Pensamiento matemático avanzado
- percepción y acción
- procesos del pensamiento matemático avanzado
- obstáculos cognitivos
- modelos del pensamiento matemático avanzado
- percepción y acción
David Tall: existen dos secuencias de desarrollo, distintas y
simultáneas, que empiezan, una por la PERCEPCIÓN de objetos
y la otra con la ACCIÓN.
La actividad matemática empieza por la percepción de objetos en
forma VISUO-ESPACIAL seguida de su descripción verbal, su
clasificación y el inicio de deducciones verbales -> GEOMETRÍA
La acción sobre objetos matemáticos nos lleva a considerar un
tipo de desarrollo cognitivo distinto, relacionado con la
DUALIDAD PROCESO-OBJETO
Cuando un proceso y su producto se representan mediante el
mismo símbolo, David Tall utiliza el término PROCEPTO
(PROceso/conCEPTO).
La función: f(x) = x2 – 9 representa simultáneamente:
- el PROCESO de cómo calcular el valor de la función f(x) para un
valor particular de x;
- el OBJETO, es decir el concepto de función para un valor
general de x.
x 2- 1
lim ______
x ->1
x-1
;
sen x
lim ______
x -> 0
x
- el PROCESO de tender a un límite; la indicación del cálculo que
hay que realizar;
- el OBJETO valor del límite
P. M. A .
CÁLCULO
GEOMETRÍA
ALGEBRAICA
GEOMETRÍA
P. M. E .
T R A N S IC IÓ N H A C IA E L P . M . A .
DEMOSTRACIÓN
EUCLÍDEA
TRIGONOMETRÍA
ALGEBRA AVANZADA
ÁLGEBRA
ARITMÉTICA
MEDIDA
ACCIONES
SOBRE OBJETOS
PERCEPCIONES
DE OBJETOS
Interacciones con el
sistema exterior
- procesos del pensamiento matemático avanzado
La principal distinción entre el llamado “pensamiento
matemático elemental” (PME) y el “pensamiento matemático
avanzado” (PMA) es la COMPLEJIDAD y la CAPACIDAD DE
CONTROLARLA
Los procesos más potentes son aquellos que permiten este
control, en particular la REPRESENTACIÓN y la
ABSTRACCIÓN
ABSTRAER: sustituir fenómenos concretos por
“conceptos confinados a la mente humana” (Dreyfus)
Procesos matemáticos:
• analizar, categorizar, conjeturar, generalizar, sintetizar
•
DEFINIR, DEMOSTRAR, FORMALIZAR
Procesos matemáticos y psicológicos:
•
representar, conceptualizar (formar conceptos),
inducir, visualizar.
COMPRENDER: puede ser un “click” de la mente pero suele
suceder como una secuencia de actividades donde ocurren
una gran variedad de procesos mentales que interaccionan
entre sí.
Demostrar la igualdad:
2
∫
1
2+k
f(x) dx =
∫
1+k
f(x– k) dx
Características "perversas" de la enseñanza universitaria:
- sucesión:
definición - teorema - demostración - aplicación
- ocultar los verdaderos procesos matemáticos anteriores a
los resultados finales refinados y formales:
- ensayo y error
- intuición, imprecisión
- visualización
- enseñar rutinas:
se aceptan las rutinas bien ejecutadas como un éxito
(aunque solo sea un éxito aparente)
- hacer solo ejercicios de aplicación, pocos problemas
Frente a esas prácticas, fomentar la METACOGNICION es una
condición importante del auténtico aprendizaje :
- Recapacitar y pensar en cómo se ha llegado a la solución.
- Adelantar la solución.
- Controlar la complejidad en la abstracción y la representación.
- Controlar los procesos mentales y matemáticos.
- obstáculos cognitivos
La forma en que se aprende no suele coincidir con la
manera formal lógica de presentar un concepto matemático
dentro de la comunidad matemática.
La presentación lógica suele ofrecer OBSTÁCULOS
COGNITIVOS para el que aprende.
"El error no es solo efecto de la ignorancia, del azar... sino
EL EFECTO DE UN CONOCIMIENTO ANTERIOR,
que tuvo su interés, su éxito, y que después se revela falso o
simplemente inadaptado.
Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles,
se constituyen en obstáculos." (Brousseau,1983).
Obstáculos de los números racionales:
- multiplicar aumenta/dividir disminuye
- existe el siguiente de un número, …
- los números decimales son PARES DE NÚMEROS
NATURALES
+
2, 37
5, 41
7, 78
Bien!
2, 37
+ 5, 89
7, 126
Mal!
“Esta maestra está loca: yo siempre lo hago igual y ella, unas
veces me pone “bien!” y otras veces me pone “mal!”
Características fundamentales de los obstáculos cognitivos
1. Se trata siempre de un conocimiento, no de una ausencia de
conocimiento; puede ser incorrecto o incompleto, pero es
coherente.
2. Los errores producidos son muy resistentes a la corrección.
3. Es un conocimiento que produce respuestas correctas en
determinadas situaciones o dominios de problemas.
4. Es un conocimiento que engendra respuestas erróneas para
ciertas situaciones o problemas nuevos.
5. Los errores que producen no son esporádicos, se repiten
sistemáticamente en situaciones similares.
- modelos del pensamiento matemático avanzado
Nos proponemos:
Identificar lo que caracteriza la RIQUEZA o COMPLEJIDAD
de las REPRESENTACIONES MENTALES de los conceptos
matemáticos.
Una representación mental es RICA si refleja muchos
aspectos relacionados con el concepto de tal manera que
exista una gran flexibilidad a la hora de enfrentarse y resolver
problemas.
Para investigar en este sentido se recurre a modelos teóricos.
ESQUEMAS CONCEPTUALES (Vinner, Dreyfus, Tall)
ESQUEMA CONCEPTUAL es un modelo que sirve para referirse
a la ESTRUCTURA COGNITIVA,
se habla del ESQUEMA CONCEPTUAL que cada uno de
nosotros tiene de un CONCEPTO MATEMATICOS
Componentes del esquema conceptual de un concepto
matemático:
- imágenes mentales
- propiedades asociadas
- procedimientos
- situaciones o problemas asociados
- sensaciones, afectos
Imágenes mentales
La imagen mental de un concepto es el conjunto de
imágenes asociadas al concepto en nuestra mente
Por ejemplo, para el concepto de derivada:
• Imágenes gráficas:
• Distintas expresiones simbólicas:
y’
f ’(x)
lim
∆(x)->0
f[x + ∆(x) – f(x)
-------------------∆(x)
…
Propiedades asociadas al concepto de derivada
- “La derivada es aquello que se obtiene multiplicando por los
exponentes y bajándolos en una unidad”.
- “La derivada describe la variación de una función en un
punto”.
- “La derivada de una función es la tangente”.
- “La derivada de f(x) es:
lim [f(x + ∆x) - f(x)/∆x] para ∆x -› 0”.
-…
Procedimientos
- La derivada de un producto de funciones es el producto de las
derivadas de cada función.
- La derivada de una suma de funciones es la suma de las
derivadas de cada función.
- La derivada de una función en un punto se calcula obteniendo
la pendiente de la recta tangente en ese punto.
- Para calcular derivadas es necesario saberse de memoria las
reglas de derivación o tener la tabla.
-…
Experiencias asociadas
- “El velocímetro de un coche marca la velocidad instantánea que
es una derivada.”
- “Recuerdo un problema de una piedra que se caía y que
resolvimos calculando derivadas.”
- “Cuando estudié el movimiento armónico simple usábamos las
ecuaciones:
l = r sen ∂t (l: elongación, ∂: vel. ang.)
v = r∂ cos ∂t
a = - r∂2 sen ∂t
donde cada función es derivada de la anterior”.
-…
Sensaciones, afectos
- Me lo paso muy bien calculando derivadas.
- Siempre me armo un lío con las funciones compuestas.
- No me salen bien los problemas de tangentes y secantes.
- No me gusta calcular derivadas en Física cuando la x es
una t.
- No entiendo eso de la variación instantánea.
DEFINICIÓN DE UN CONCEPTO
Y ESQUEMA CONCEPTUAL
Se pueden distinguir:
- las matemáticas como sistema formal: definición formal del
concepto
- las matemáticas como actividad mental: forma en que las
personas piensan acerca de un concepto matemático
Consideraremos por separado:
1. LA DEFINICIÓN de un concepto matemático: secuencia de
palabras o definición verbal del concepto, fruto de su evolución
histórica
definiciones formales, convenidas y aceptadas por la
comunidad científica de los matemáticos
definiciones personales, que utilizan las personas
(estudiantes, profesores, matemáticos) como construcción o
reconstrucción de una definición formal.
2- El ESQUEMA CONCEPTUAL que tiene una persona de
un concepto matemático que nos permite referirnos a su
estructura cognitiva.
3. La formación de profesores
- profesores de universidad: algunos resultados de la
investigación
Dos estudios (Moreno y Azcárate):
1- ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A QUÍMICOS Y
BIÓLOGOS DESDE LA PERSPECTIVA DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS. UN
ESTUDIO DE CASOS. (199)
Objetivos
• Indagar acerca de las concepciones de los profesores de
matemáticas sobre la enseñanza de las ecuaciones
diferenciales en carreras científico-experimentales.
• Detectar y descubrir dificultades relativas al “qué” y “cómo”
enseñar ecuaciones diferenciales en esas titulaciones.
“Las creencias son conocimientos subjetivos, poco
elaborados, generados a nivel particular por cada
individuo para explicarse y justificarse muchas de las
decisiones y actuaciones personales y profesionales
vividas.
Las creencias no se fundamentan sobre la racionalidad,
sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y
la ausencia de conocimientos específicos del tema con
el que se relacionan, lo que las hace ser muy
consistentes y duraderas para cada individuo”.
“Las concepciones son organizadores implícitos de
los conceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva
y que incluyen creencias, significados, conceptos,
proposiciones, reglas, imágenes mentales,
preferencias, etc., que influyen en lo que se percibe y
en los procesos de razonamiento que se realizan.
El carácter subjetivo es menor en cuanto se apoyan
sobre un sustrato filosófico que describe la naturaleza
de los objetos matemáticos”.
Conclusiones: estilos docentes
Estilo tradicional:
• Potencia el aspecto procedimental sobre el conceptual.
• Elabora un discurso matemático para matemáticos.
• Toma la matemática como “objeto en sí misma”.
• Tiende al acopio de técnicas y métodos de resolución
analíticos.
• Hay ausencia del ordenador en el aula como instrumento de
aprendizaje.
• Los problemas se utilizan siempre como ejemplos o
aplicaciones, nunca para la introducción o el desarrollo.
Estilo “avanzado”:
• Se integra la matemática con situaciones globales y de biología
o química.
• Se presenta un equilibrio entre las dos dimensiones de la
matemática: como objeto y como instrumento.
• Los problemas se integran de manera natural en el currículo.
• Se elabora un discurso matemático para biólogos o químicos y
se motiva la enseñanza de las ED a partir de modelos
concretos de B o Q.
• Se incorpora el ordenador como instrumento de enseñanzaaprendizaje.
2- EL PROFESOR UNIVERSITARIO DE MATEMÁTICAS: ESTUDIO DE LAS
CONCEPCIONES Y CREENCIAS ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES. ESTUDIO DE CASOS. (2001)
Objetivos
- Determinar las características relevantes de la enseñanza
universitaria.
- Explicar la persistencia de las metodologías que favorecen
las rutinas.
- Caracterizar a los profesores en función de sus creencias y
sus concepciones.
- Determinar el nivel de coherencia entre las concepciones y
creencias y las práctica docente.
- Valorar la consistencia y permeabilidad de tales
concepciones y creencias
Algunas de las creencias que destacan en la mayoría de los
profesores:
• Los estudiantes son aprendices de matemáticas con un nivel de
competencia elemental que solo les permite ejecutar actividades
mecánicamente.
• Los estudiantes aprenden matemáticas por imitación y memorización de
situaciones y esquemas de resolución vistos en clase.
• Los estudiantes son incapaces de pensar, crear y razonar por sí mismos.
• No queda más remedio que presentar los contenidos muy simplificados,
eliminando lo superfluo, dirigiendo mucho todas las actividades y
explicaciones, como única opción para elevar el nivel de éxito de los
estudiantes.
• Las definiciones son algo mecánico que debe aprenderse y que no hay que
entender.
• La utilización de ordenadores obligaría a cambiar la manera de enseñar
dando más importancia a los métodos gráficos y numéricos.
• La formación de los profesores como matemáticos está muy alejada de las
aplicaciones a otros campos de las ciencias experimentales.
Se hace necesario un debate y reflexión sobre:
El planteamiento de la enseñanza universitaria de las
matemáticas y sus aplicaciones, teniendo en cuenta las
aportaciones de la investigación en didáctica así como las
nuevas tecnologías.
El tipo de formación más adecuada para los profesores de
matemáticas de universidad que satisfaga sus necesidades.
¡ GRACIAS !
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