Introducción a Funciones de una variable
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Materia:
Derivabilidad de funciones
Aplicaciones económicas
Prácticas con
Introducción a Funciones de una variable
Derivabilidad de funciones
Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados
con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena,
aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del
crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o
convexidad y la obtención de puntos óptimos.
Introducción a Funciones de una variable
Derivabilidad de funciones
Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados
con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena,
aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del
crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o
convexidad y la obtención de puntos óptimos.
Concepto de derivada de una función en un punto. Función
derivada.
Sea una función F(x) definida en un conjunto abierto D y sea “a” un
punto de D. La derivada de la función F(x) en el punto "a" se define
como el siguiente límite:
F '(a) 
dF
dx
(a)  lim
h 0
F (a  h)  F (a)
h
R
Introducción a Funciones de una variable
Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un
punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese
límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o
que la función es derivable en ese punto.
Introducción a Funciones de una variable
Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un
punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese
límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o
que la función es derivable en ese punto.
Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le
asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos
función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien:
dF
dx
Introducción a Funciones de una variable
Como se desprende de la definición, la derivada de una función en un
punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese
límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o
que la función es derivable en ese punto.
Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le
asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos
función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien:
dF
dx
Desde el punto de vista práctico, este concepto es muy importante, ya
que nunca calcularemos derivadas a partir de la definición a partir del
cálculo de un límite, sino a partir de la función derivada.
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo
Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la
definición anterior e interpretar su resultado.
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo
Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la
definición anterior e interpretar su resultado.
Solución:
Apliquemos la definición directamente:
dF
F(a + h) - F(a)
F '(a) =
(a) = lim
h®0
dx
h
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo
Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la
definición anterior e interpretar su resultado.
Solución:
Apliquemos la definición directamente:
dF
F(a + h) - F(a)
F '(a) =
(a) = lim
h®0
dx
h
Calculamos:
F(a + h) = (a + h)2 ;
Luego:
F(a) = a2 ;
F(a + h) - F(a) = h2 + 2ah
Introducción a Funciones de una variable
dF
h2 + 2ah
F '(a) =
(a) = lim
= lim(h + 2a) = 2a
h®0
h®0
dx
h
Introducción a Funciones de una variable
dF
h2 + 2ah
F '(a) =
(a) = lim
= lim(h + 2a) = 2a
h®0
h®0
dx
h
Si dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que
la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que:
F '(1) = 2; F '(2) = 4
Introducción a Funciones de una variable
dF
h2 + 2ah
F '(a) =
(a) = lim
= lim(h + 2a) = 2a
h®0
h®0
dx
h
Si dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que
la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que:
F '(1) = 2; F '(2) = 4
Si observamos la gráfica
vemos que en el punto x=1
hay una menor “pendiente”
que en el x=2.
Introducción a Funciones de una variable
La derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la
derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la
pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a))
Introducción a Funciones de una variable
La derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la
derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la
pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a))
Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza
mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones
de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las
siguientes:
Introducción a Funciones de una variable
La derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la
derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la
pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a))
Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza
mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones
de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las
siguientes:
G(x) = Log(f(x)) Þ G '(x) =
f '(x)
f(x)
G(x) = ef(x ) Þ G'(x) = ef (x ) f '(x)
G(x)  f(x)
m
 G '( x )  m f ( x )
m 1
f '( x )
Introducción a Funciones de una variable
G(x) = sen(f(x)) Þ G'(x) = cos(f(x)) f '(x)
G(x) = cos(f(x)) Þ G'(x) = -sen(f(x)) f '(x)
G(x) = arctg(f(x)) Þ G '(x) =
f '(x)
1 + f(x)2
Introducción a Funciones de una variable
Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
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Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
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Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
2) Si
F(x) = a G(x) Þ F '(x) = a G'(x)
Introducción a Funciones de una variable
Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
2) Si
F(x) = a G(x) Þ F '(x) = a G'(x)
3) Si
F(x) = G(x)m Þ F '(x) = m G(x)m-1 G'(x)
Introducción a Funciones de una variable
Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
2) Si
F(x) = a G(x) Þ F '(x) = a G'(x)
3) Si
F(x) = G(x)m Þ F '(x) = m G(x)m-1 G'(x)
4) Si
F(x) = G(x) ± H(x) Þ F '(x) = G'(x) ± H'(x)
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Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
2) Si
F(x) = a G(x) Þ F '(x) = a G'(x)
3) Si
F(x) = G(x)m Þ F '(x) = m G(x)m-1 G'(x)
4) Si
F(x) = G(x) ± H(x) Þ F '(x) = G'(x) ± H'(x)
5) Si
F(x) = G(x)H(x) Þ F '(x) = G'(x)H(x) + G(x) H'(x)
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Propiedades:
Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son
las siguientes:
1) Si
F(x) = cte. Þ F '(x) = 0
2) Si
F(x) = a G(x) Þ F '(x) = a G'(x)
3) Si
F(x) = G(x)m Þ F '(x) = m G(x)m-1 G'(x)
4) Si
F(x) = G(x) ± H(x) Þ F '(x) = G'(x) ± H'(x)
5) Si
F(x) = G(x)H(x) Þ F '(x) = G'(x)H(x) + G(x) H'(x)
6) Si
F(x) =
G(x)
G'(x)H(x) - G(x) H'(x)
Þ F '(x) =
H(x)
H(x)2
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo:
Calcular la derivada en el punto x=5 de la función:
F(x) =
Log(x 2 - 1)
cos( x + 2)
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo:
Calcular la derivada en el punto x=5 de la función:
F(x) =
Log(x 2 - 1)
cos( x + 2)
Solución:
Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos:
G(x)
G'(x)H(x) - G(x) H'(x)
F(x) =
Þ F '(x) =
H(x)
H(x)2
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo:
Calcular la derivada en el punto x=5 de la función:
F(x) =
Log(x 2 - 1)
cos( x + 2)
Solución:
Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos:
G(x)
G'(x)H(x) - G(x) H'(x)
F(x) =
Þ F '(x) =
H(x)
H(x)2
Siendo:
G(x) = Log(x 2 - 1);
H(x) = cos( x + 2)
Introducción a Funciones de una variable
Calculamos las derivadas G’(x) y H’(x):
G'(x) =
2x
x2 - 1
;
H'(x) = -sen( x + 2)
1
2 x
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Calculamos las derivadas G’(x) y H’(x):
G'(x) =
2x
x2 - 1
;
H'(x) = -sen( x + 2)
Luego:
F '(x) =
G '(x)H(x) - G(x) H'(x)
H(x)2
1
2 x
Introducción a Funciones de una variable
Calculamos las derivadas G’(x) y H’(x):
G'(x) =
2x
x2 - 1
;
H'(x) = -sen( x + 2)
Luego:
F '(x) =
G '(x)H(x) - G(x) H'(x)
H(x)2
1
2 x
Introducción a Funciones de una variable
Aplicaciones económicas
En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de
las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos
que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea
de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir
de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.
Introducción a Funciones de una variable
Aplicaciones económicas
En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de
las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos
que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea
de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir
de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el
Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de
variación media mensual.
Introducción a Funciones de una variable
Aplicaciones económicas
En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de
las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos
que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea
de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir
de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el
Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de
variación media mensual.
Solución:
Dado el periodo transcurrido, 11 meses, podemos llamar:
Ibex_0 = 11500
Ibex_11 = 9000
Entonces la tasa media mensual será:
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Ibex _11 - Ibex _ 0 9000 - 11500
=
= -227.28
11
11
Por lo tanto, si la tasa de variación media la definimos como:
tm =
Dy
Dx
nos devuelve cuantas veces crece (decrece en nuestro ejemplo) la
variable “y” (en nuestro ejemplo el Ibex) por cada una de x (en nuestro
ejemplo el mes).
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Ejemplo 2
Sea la función:
F(x) = x 3 - x2 - 8x + 12
Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un
incremento “h”.
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Ejemplo 2
Sea la función:
F(x) = x 3 - x2 - 8x + 12
Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un
incremento “h”.
Solución:
La tasa de variación en el punto x=1 es:
F(1 + h) - F(1)
= h2 + 2h - 7
h
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Ejemplo 3
Sea la función:
F(x) = x 3 - x2 - 8x + 12
Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y
compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.
Introducción a Funciones de una variable
Ejemplo 3
Sea la función:
F(x) = x 3 - x2 - 8x + 12
Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y
compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.
Solución:
La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación
media cuando el intervalo de variación de la variable independiente
tiende a cero:
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Ejemplo 3
Sea la función:
F(x) = x 3 - x2 - 8x + 12
Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y
compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.
Solución:
La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación
media cuando el intervalo de variación de la variable independiente
tiende a cero:
En el punto x=1:
F(1 + h) - F(1)
= lim(h2 + 2h - 7) = -7
h®0
h®0
h
lim
Introducción a Funciones de una variable
Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:
F '(1) =
dF
d 3
(1) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 3 - 2 - 8 = -7
dx
dx
x=1
Introducción a Funciones de una variable
Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:
F '(1) =
dF
d 3
(1) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 3 - 2 - 8 = -7
dx
dx
x=1
En el punto x=2:
dF
d 3
F '(2) =
(2) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 12 - 4 - 8 = 0
dx
dx
x=2
Introducción a Funciones de una variable
Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:
F '(1) =
dF
d 3
(1) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 3 - 2 - 8 = -7
dx
dx
x=1
En el punto x=2:
dF
d 3
F '(2) =
(2) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 12 - 4 - 8 = 0
dx
dx
x=2
En el punto x=3:
F '(3) =
dF
d 3
(3) =
(x - x 2 - 8x + 12)
= 27 - 6 - 8 = 13
dx
dx
x=23
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Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:
F '(1) =
dF
d 3
(1) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 3 - 2 - 8 = -7
dx
dx
x=1
En el punto x=2:
dF
d 3
F '(2) =
(2) =
(x - x 2 - 8x + 12) = 12 - 4 - 8 = 0
dx
dx
x=2
En el punto x=3:
F '(3) =
dF
d 3
(3) =
(x - x 2 - 8x + 12)
= 27 - 6 - 8 = 13
dx
dx
x=23
Observamos que las tasas de variación instantánea o las derivadas de la
función dada en cada uno de los puntos han dado valores muy distintos:
negativo, cero y positivo. Si dibujamos la gráfica de la función podremos
comprobar este hecho:
Introducción a Funciones de una variable
Vemos que en x=1 la pendiente es negativa, en x=2 la pendiente es
cero y en x=3 la pendiente es positiva. Observamos, además que la
pendiente, en valor absoluto, es mayor en x=3 que en x=1
Introducción a Funciones de una variable
Otras aplicaciones son los conceptos marginales. Así, si suponemos una
empresa que produce un único bien en un número de unidades igual a
“x”, entonces si llamamos C(x) al coste de producción de dicho bien y
I(x) al ingreso por la venta del mismo, el beneficio:
B(x) = I(x) – C(x)
Pues bien, a las derivadas de estas funciones se llaman: B’(x) beneficio
marginal, I’(x) ingreso marginal y C’(x) coste marginal.
Sea F(x) y x un punto donde F(x) es derivable con F(x) ¹ 0.
La elasticidad de F con respecto a x es:
x
ExF(x) =
F '(x)
F(x)
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Ejemplo:
Demostrar que
ExF(x)k = k ExF(x)
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Ejemplo:
Demostrar que
ExF(x)k = k ExF(x)
Solución:
x d
x
k
k-1
E xF(x) =
F(x)
=
k
F(x)
F '(x) =
k
k
F(x) dx
F(x)
k
=k
x
F '(x) = k E xF(x)
F(x)
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Derivadas de orden superior
Derivación de funciones compuestas
Aproximación de una función. Fórmula de Taylor
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