Teorema de Taylor
Si una función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un
intervalo (a, x), entonces el valor de la función en x está dado por:
f ( a )( x  a )
''
f ( x )  f ( a )  f ( a )( x  a ) 
'
2
f ( a )( x  a )
'''

2!
3!
3
 ..... 
f
(n )
( a )( x  a )
n!
n
 Rn
tx
Rn 
 (x  t) f
n
( n  1)
( t ) dt
ta
Cualquier función suave puede aproximarse mediante un polinomio
Diferencias finitas
Existen varias formas de aproximar la derivada de una
función usando una serie de Taylor truncada.
Por ejemplo, si f(x) representa al valor de la función f en el
punto x, entonces el valor de la función en el punto x + x,
se puede expresar mediante una expansión de la serie
de Taylor alrededor del punto x, como sigue
f(x  x )  f(x ) 
df
dx
d f x
2
x 
dx
2
2
2
d f x
3

dx
3
6
3
 ...
Si ahora se despeja de esta ecuación el término de la primera derivada,
se obtiene
df

f(x  x )  f(x )
 O(x )
x
dx
en donde el símbolo O(x) es la forma como usualmente se representa
a los términos de orden x1 o mayores, es decir, para el caso anterior
d f x
2
O(x )  
dx
2
2
d f x
3

dx
3
2
 ...
6
Por consiguiente, si se desprecian estos términos, la derivada puede
aproximarse así
df
dx

f(x  x )  f(x )
x
y representa la aproximación de orden uno (O(x)) de la derivada en un
esquema de diferencias finitas
Debido a que esta aproximación se obtuvo avaluando la función c(x) un
punto adelante de x, se dice que es una diferencia finita adelantada.
De la misma manera, se puede obtener la aproximación de la derivada
evaluando la función en (x - x) así
f ( x  dx )  f ( x ) 
df
dx
d f x
2
x 
dx
2
2
2
d f x
3

dx
3
6
3
 ...
y si ahora se despeja a la derivada y se desprecian los términos O(x), se
obtiene la definición de la diferencia finita atrasada.
df
dx

f(x )  f(x  x )
x
Los dos esquemas anteriores tiene una aproximación de orden uno. Para
mejorar la aproximación simplemente es necesario conservar más
términos de la serie de Taylor.
También se puede definir la representación centrada de la derivada
alrededor del punto x. Si se restan las dos ecuaciones de la expansión hacia
adelante y hacia atrás de la serie de Talor :
f ( x  dx )  f ( x ) 
f ( x  dx )  f ( x ) 
df
d f x
2
x 
2
dx
dx
df
d f x
dx
dx
f ( x  dx )  f ( x  dx )  2
2
df
3

2
2
x 
d f x
2
dx
3

2
df

dx
2 dx
df
f ( x  dx )  f ( x  dx )

dx
df
dx
f ( x  dx )  f ( x  dx )

3
dx
 ...
6
d f x
2
3
3
dx 
dx
3
3

d f dx
dx
3
 ...
6
d f dx
dx
Despejando:
3
3
3
 ....
3
2
 ....
3
 O ( dx )
2
2 dx
f ( x  dx )  f ( x  dx )
2 dx
Aproximación de
orden 2  O(∆x2)
Representaciones de la
derivada en diferencias finitas
f(x + dx)
Adelantada O(∆x)
f(x)
Centrada O(∆x2 ) = ½ (Adelantada + Atrasada)
Atrasada O(∆x)
f(x - dx)
x - dx
x
x + dx
Primera derivada en diferencias finitas
Discretizando el intevalo (a,x) como (x, xi+1) y h = xi+1 – xi.
La serie de Taylos se puede expresar así:
''
f ( x i  1 )  f ( x i )  f ( x i )h 
'
f ( x i )h
2
'''

f ( x i )h
2!
3
 ..... 
3!
f
(n )
( x i )h
n
n!
 Rn
Diferencia finita
Atrasada
df ( x i )
dx

Centrada
f ( x i )  f ( x i 1 )
df ( x i )
h
dx

Adelantada
f ( x i  1 )  f ( x i 1 )
df ( x i )
2h
dx

f ( x i1 )  f ( x )
h
Segunda derivada en diferencias finitas
Multiplicando por 2 la expansión de la seria de Taylor en xi+1 hacia
delante
''
2 f ( x i  1 )  2 f ( x i )  2 f ( x i )h  2
'
f ( x i )h
2
'''
2
2!
f ( x i )h
3
 .....  2
f
(n )
3!
( x i )h
n!
n
 Rn
(1)
Y si ahora se expande la serie de Taylor hacia delante en xi+2
''
f ( x i  2 )  f ( x i )  f ( x i )( 2 h ) 
'
f ( x i )( 2 h )
2
2!
'''

f ( x i )( 2 h )
3
 ..... 
f
(n )
( x i )( 2 h )
3!
n!
n
 Rn
Restando 1 de 2 y posteriormente despejando f’’(xi)
f (xi) 
''
f ( x i1 )  2 f ( x i1 )  f ( x i )
h
2
 O (h )
Segunda derivada en diferencias finitas hacia delante
(2)
Versiones de la segunda
derivada en diferencias finitas
Segunda derivada en
diferencias finitas hacia
adelante
f (xi) 
''
Segunda derivada en
diferencias finitas hacia
atras
f (xi) 
Segunda derivada en
diferencias finitas
centrada
f (xi) 
''
''
f ( x i1 )  2 f ( x i1 )  f ( x i )
h
2
f ( x i )  2 f ( x i 1 )  f ( x i  2 )
h
2
f ( x i  1 )  2 f ( x i )  f ( x i1 )
h
2
Obtener los tres esquemas mostrados
 O (h )
 O (h )
 O (h )
2
Forma alternativa de la versión
centrada
f (xi) 
''
f ( x i  1 )  2 f ( x i )  f ( x i1 )
h
2
f ( x i1 ) f ( x i )
f (xi) 
''
h

 O (h )
2
f ( x i ) f ( x i1 )
h
h
Derivada de la derivada (Diferencia de la diferencias)
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Segunda derivada en diferencias finitas