Capítulo 3:
Medidas de posición
Las medias y sus propiedades
Mediana y moda
Medidas de posición no centrales;
Cuartiles, deciles y percentiles
Media aritmética
• Media aritmética
La media aritmética es la suma de todos los
valores de la distribución dividida por el número
total de datos.
Para el caso de
frecuencias unitarias;
x 
N
x

i 1
N
x 
x 1 n 1  x 2 n 2  ...  x n n n
N
N
x 1  x 2  ...  x n
En el caso contrario
i
n


i 1
xi ni
N
Media aritmética
• Si tenemos datos agrupados en intervalos,
se puede usar la marca de clase
representando el valor medio de dicha
clase.
• Media aritmética ponderada es la media
cuando cado valor tiene una ponderación
x
i
x 
i
i

i
i
Media aritmética
•
Propiedades de la media aritmética
•
La suma de las desviaciones de los valores de la
variable respecto a su media es cero. [ENSEÑA, p 39]
•
La media de las desviaciones al cuadrado de los
valores de la variable respecto a una constante k
cualquiera, se hace mínima cuando esa constante k
es igual a la media aritmética. (Teorema de König).
[ENSEÑA, p 39]
Media aritmética
•
Si a todos los valores de una variable les sumamos
(restamos) una constante k, la media aritmética queda
aumentad (disminuida) también en esa constante. La
media aritmética queda afectada por los cambios de
origen. [ENSEÑA, p 40]
•
Si todos los valores de una variable los multiplicamos
(dividimos) por una constante k, su media aritmética
también queda multiplicada (dividida) por la misma
constante. La media aritmética queda afectada por los
cambios de escala. [ENSEÑA, p 40]
Media aritmética
•
Si de un conjunto de valores obtenemos
dos o más conjuntos disjuntos, la media
aritmética de todo el conjunto es la
media ponderada de las submedias
donde la ponderación es el número de
observaciones. [ENSEÑA, p 41]
Media aritmética
Ventajas…
•
•
•
•
Consideración de todos los valores
Calculable
Única
Es el centro de gravedad (primera propiedad).
…e inconvenientes…
• Si la variable tiene valores anormalmente extremos, la media
aritmética puede distorsionarse, haciéndola incluso poco
representativa. (La mediana, que vamos a estudiar más tarde, no
tiene este inconveniente.)
Uso: distribuciones en escala de intervalos o de proporción.
Media geométrica
• Media geométrica
n
G 
N
x
x
n1
1
n2
2
x
nn
n

N
x
ni
i
 (x
n1
1
x
n2
2
x
nn
n
)
1/ N
i 1
• El logaritmo de la media geométrica es
igual a la media aritmética de los
logaritmos de los valores de la variable.
n
log G  log
N
x
i 1
ni
i
 n ni 
1

log   x i  
N
N
 i 1

1
n
 log
i 1
x
ni
i

1
N
n
 (log
i 1
xi ) ni
Media geométrica
Ventajas…
•
•
Consideración de todos los valores
Menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.
… e inconvenientes…
•
•
•
Menos intuitivo que la media aritmética
Más difícil calcular.
En ocasiones no queda determinada. (El logaritmo no existe para valores
negativas y cero.)
Uso: porcentajes, tasas, números índices etc., es decir cuando la variable
presenta variaciones acumulativas.
[EJEMPLO, p 44]
Media armónica
• Media armónica
H 
N
1
x1
n1 
1
x2
n 2  ... 
1
xn

nn
N
n

i 1
1
xi
ni
• La inversa de la media armónica es la
media aritmética de los inversos de los
valores de la variable.
Media armónica
Ventajas…
•
•
Consideración de todos los valores
Más representativa
… e inconvenientes
•
•
•
Influencia de valores pequeños.
No queda determinada cuando un valor es cero. (¡La división 1 / x da el
i
infinito si x i  0 !)
Así, no debemos usar la media armónica cuando existan valores muy
pequeños.
Uso: para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.
[EJEMPLO, p 45]
Mediana
• Definición:
– Aquel valor de la distribución, supuesta ésta
ordenada de menor a mayor, que deja a su izquierda
y a su derecha el mismo número de frecuencias, es
decir el valor que ocupa el lugar central, supuesto un
número impar de datos. Si el número de datos fuese
par puede decirse que hay dos valores medianos, y
se toma la media aritmética entre ellos como valor
mediano.
Mediana
• Número impar de valores:
Me  x  n  1 



2 
• Número par de valores:
x n   x n
Me 

 1 
2

 
2
2
Mediana
•
Aquel valor de la distribución cuya frecuencia
acumulada es N / 2 .
•
En distribuciones agrupadas en intervalos:
Busca el valor que ocupa el lugar N / 2 . Encontramos un
intervalo mediano. Suponemos que todos los valores
dentro del intervalo mediano se encuentran
distribuidos uniformemente a lo largo de él. Vamos a
considerar la poligonal de frecuencias acumuladas
correspondiente al intervalo mediano y a sus dos
contiguos, y determinamos gráficamente la mediana.
[EJEMPLO, p 50]
Me  L i 1
 N
 N i 1

2

ni





c i



Mediana
Propiedad
• La mediana hace mínima la suma de todas las
desviaciones absolutas.
[Enseña*, p 51-52]
Uso: distribuciones en escala ordinal.
• Nota: la mediana no es sensible como la media
aritmética a los valores extremos. En estos casos, la
mediana puede dar un resumen más representativo.
• La mediana de un variable discreta es siempre un valor
de la variable. (Ej. Numero de hijos.).
Moda
• Definición: El valor de la variable que más
veces se repite; en una distribución de
frecuencias, el valor que tiene la
frecuencia más alta.
Moda
• a) Distribuciones no agrupadas en intervalos.
observa la columna de las frecuencias absolutas,
el valor que tiene la mayor frecuencia es la
moda.
• Una distribución puede tener una moda relativa
y una moda absoluta.
• Una distribución también puede tener más que
una moda.
Moda
• b) Distribuciones agrupadas en intervalos
B1: intervalos de la misma amplitud
El intervalo que tiene la mayor frecuencia da un intervalo modal.
Dentro este intervalo podemos encontrar el valor modal, usando
diferentes criterios;
–
–
–
–
Tomar como valor modal el extremo inferior del intervalo. Mo  Li  1
Considerar como valor modal el extremo superior.
Mo  Li
Hacer la moda igual a la marca de clase. Mo  x
.
i
Suponiendo que:
1) Todos los valores del intervalo están distribuidos uniformemente
dentro de él.
2) La moda estará más cerca de aquel intervalo contiguo cuya
frecuencia sea mayor.
.
.
Moda
• De acuerdo a 1. y 2. Mo  Li 1  m
m
ci  m

ni 1
ni 1
• Usando las propiedades de las
proporciones;
m
ci  m  m

ni 1
ni 1  ni 1


n i 1
  ci
m  



 n i 1  n i  1 


n i 1
  ci
Mo  L i 1  



n

n
i 1 
 i 1
Moda
• B2: intervalos de distinta amplitud
Mo  L i 1
• Donde
di 


d i 1
  ci
 



d

d
i 1 
 i 1
ni
es la densidad de frecuencia.
ci
[EJEMPLO, p 58]
Medidas de posición no centrales
• Los cuartiles; tres valores que dividen la distribución en
cuatro partes iguales. 25 por ciento están incluidos en
cada uno de los cuatro intervalos.
• Los deciles; nueve valores que dividen la distribución en
diez partes iguales. 10 por ciento están incluidos en
cada uno de los diez intervalos.
• Los percentiles; noventa y nueve valores que dividen la
distribución en cien partes iguales. 1 por ciento están
incluidos en cada uno de los cien intervalos.
Medidas de posición no centrales
• A. Para distribuciones no agrupadas en
intervalos
Cuarteles:
C1
es el valor que ocupe el lugar
C2
es el valor que ocupe el lugar
C 3 es el valor que ocupe el lugar
N
.
4
2N
4
3N
4
.
.
Medidas de posición no centrales
Deciles:
D1
es el valor que ocupe el lugar
D2
es el valor que ocupe el lugar
N
.
10
2N
10
.
…etc…
D 9 es el valor que ocupe el lugar
9N
10
.
Medidas de posición no centrales
Perceciles:
P1
es el valor que ocupe el lugar
P2
es el valor que ocupe el lugar
N
100
2N
100
.
.
…etc…
P99 es el valor que ocupe el lugar
99 N
100
.
Medidas de posición no centrales
• B. Para distribuciones agrupadas en intervalos
r
Q r / k  Li 1  k
 N  N i 1
ni
 ci
Donde k  4 y r  1, 2 ,3 da cuarteles.
Donde k  10 y r  1, 2 ,..., 9 da deciles.
Donde k  100 y r  1, 2 ,..., 99 da percentiles.
• [EJERCICIOS, p 61]
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Capitulo 2: Distribución de frecuencias unidimensionales