Análisis de Sistemas Lineales
“Sistemas Descritos por
Ecuaciones en Diferencias”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Representación General
x1[n]
y1[n]
x2[n]
.
.
.
xm[n]
m entradas
y2 [n]
SISTEMA
.
.
.
yn[n]
n salidas
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Representación General
y 1 [ k ]  f 1 ( y 1 [ k ], y 2 [ k ], ... , y n [ k ], x 1 [ k ], x 2 [ k ], ... , x m [ k ], k )
y 2 [ k ]  f 2 ( y 1 [ k ], y 2 [ k ], ... , y n [ k ], x 1 [ k ], x 2 [ k ], ... , x m [ k ], k )
y 3 [ k ]  f 3 ( y 1 [ k ], y 2 [ k ], ... , y n [ k ], x 1 [ k ], x 2 [ k ], ... , x m [ k ], k )
.
........
............
.
........
............
y n [ k ]  f n ( y 1 [ k ], y 2 [ k ], ... , y n [ k ], x 1 [ k ], x 2 [ k ], ... , x m [ k ], k )
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Representación General de un Sistema de
una entrada y una salida (SISO)
x[n]
SISTEMA
y[n]
SISO
1 entrada
1 salida
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias General de un Sistema SISO,
Lineal, Causal e Invariante en Tiempo
N
a
M
j
y[ k  j ] 
j0
 b x[ k  i ]
i
i0
para a 0  1 se puede escribir
M
y[ k ] 
N
 b x[ k  i ]   a
i
i0
j
y[ k  j ]
j 1
(Solución abierta de la ecuación en diferencias)
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución cerrada)
N
a
M
j
y[ k  j ] 
j0
 b x[ k  i ]
i
i0
Solución Homogénea, yh[k]
También se conoce como:
Respuesta a Entrada Cero o
Respuesta Natural
Solución Particular, yp[k]
También se conoce como:
Respuesta a Estado Cero o
Respuesta Forzada
Solución Completa,
yc[k]
Yc[k] = yh [k] + yp [k]
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
N
y[ k ] 
a
k
y[ k  j ]  0
j 1
se define la ecuacio n polin o m ica auxiliar
N
D (q )  q
N

a
q
k
N k
0
k 1
esta ecuacio n tiene N raices, r1 , r2 , ... , r N
la cuales pueden ser reales o com plejas conjugadas,
sim ples o m u ltiples
la solucio n tendra la form a
N
yh [ k ] 

Ai y i [ k ]
i 1
donde y i [ k] es una potencia asociada a la raiz i
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
D eterm inacio n de funciones y i [ k ]:
1) R aiz ri real sim p le
y i [ k ]  ri
k
2 ) R aiz ri real con m ultiplicidad m ,
se generan m funcion es y i [ k ]
y i [ k ]  ri , kri , k ri , .... , k
k
k
2
k
m 1
ri
k
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
D eterm inacio n de funciones y i [ k ]
3 ) R aiz ri com pleja conjugada sim ple, ri   e
 j
se generan 2 funcion es y i [ k ]
y i [ k ]   cos( k  ),
 sin ( k  )
k
k
4 ) R aiz ri com pleja conjugada con m ultip licidad m ,
se generan 2 * m funciones y i [ k ]
y i [ k ]   cos( k  ),
 sin ( k  ),
k
k  cos( k  ),
2
k
k  sin ( k  ),
2
k  cos( k  ),
k
k
k  sin ( k  ),
k
k  cos( k  ),
3
k
k
k  sin ( k  ), ...
3
k
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
 hom og enea

H allar la solucion
de
y [ k ]  8 y [ k  1]  37 y [ k  2 ]  50 y [ k  3 ]  0
 auxiliar sera
la ecuacion
q  8 q  37 q  50  0
3
2
las raices son r1  2 , r2 , 3  3  j 4  5 e
 j 0 . 9273
 hom og enea

entonces, la solucion
sera
y h [ k ]  A1 2  A 2 5 cos( 0 .9273 k )  A 3 5 sin ( 0 .9273 k )
k
k
k
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución homogénea)
 ea d e
H allar la so lu cio n h o m o g en
y [ k  3 ]  7 y [ k  2 ]  1 6 y [ k  1]  1 2 y [ k ]  0
la ecu acio n au x iliar sera
q  7 q  16q  12  0
3
2
las raices so n r1 , 2  2 , r3  3
 ea sera
en to n ces, la so lu cio n h o m o g en
y h [ k ]  A1 2  A 2 k 2  A 3 3
k
k
k
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
N
y[ k ] 
a
j
y[ k  j ]  x[ k ]
j 1
se define la ecuacion auxiliar
 N
y p [ k ] q 

N

j 1
a jq
N j

  x [ k ] o bien

1
y p[k ] 
x[ k ]
N
q
N

a
j
q
N j
j 1
k
si se supo ne una excitacio n del tipo x [ k ]  A r , r real



y p[k ]  Re
q N 

1
N
a
j 1
j
q
N j



k
A
r



qr 
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
si se supone una excitación
x [ k ]  A cos sk  Re[ Ae
del tipo
jsk


1
y p [ k ]  Re 
N
 N
N i
q

a
q

i

i 1

], s real
q  js
si se supone una excitación
x [ k ]  Asin ( sk )  Im ag [ Ae


1
y p [ k ]  Im ag 
N
 N
N i
 q   aiq
i 1



jsk 
Ae



del tipo
jsk
], s real
q  js


jsk
Ae 



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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución particular)
de
particular
Hallar la solución
y [ k  3 ]  8 y [ k  2 ]  37 y [ k  1]  50 y [ k ]  8 ( 0 . 5 )
auxiliar
la ecuación
será
y p [ k ]( q  8 q  37 q  50 )  8 ( 0 . 5 )
2
3
y p [k ] 
evaluando
1
q  8 q  37 q  50
3
2
en q  0 . 5 , la solución
y p [k ]  
64
k
( 0 .5 )
8 ( 0 .5 )
k
k
particular
será
k
267
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación en Diferencias Lineal (solución)
N
a
M
j
y[ k  j ] 
j0
 b x[ k  i ]
i
i0
Solución Homogénea, yh[k]
Solución Particular, yp [k]
Solución Completa,
yc[k]
yc [k] = yh[k] + yp[k]
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
Hallar la solución
completa
de
y [ k  3 ]  8 y [ k  2 ]  37 y [ k  1]  50 y [ k ]  8 ( 0 . 5 )
la solución
homogénea
k
es
y h [ k ]  A1 2  A 2 5 cos( 0 . 9273 k )  A3 5 sin ( 0 . 9273 k )
k
k
la solución
y p [k ]  
la solución
k
particular
64
( 0 .5 )
es
k
267
completa
es
y c [ k ]  A1 2  A 2 5 cos( 0 . 9273 k )  A3 5 sin ( 0 . 9273 k ) 
k
k
k
64
( 0 .5 )
k
267
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)
P ara determ inar las constantes A i
se tom an en cuenta las condiciones iniciales
y [ 0 ],
y [1],
y[ 2 ]
E n este caso:
y[ 0 ]  2 ,
y [ 1]  3 ,
y[ 2 ]  5
consiguiendo que
A1  2 .1886 ,
A 2  0 .05108 ,
A 3   0 .35666
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Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias
Determine la solución completa de las
ecuaciones en diferencias siguientes
ecuación
y[0]
y[1]
y[k] + 0.6 y[k-1] +0.08y[k-2]= 4
2
5
y[k] + 0.6 y[k-1] +0.25y[k-2]= 4(0.4)k
2
5
y[k] + 0.6 y[k-1] +0.09y[k-2]= 4cos(k/3)
2
5
1
2
1
2
y[k] + 8y[k-1] + 80y[k-2]= x[k]+3x[k-1]
x[k]= 3cos(pk/3)
y[k] + 6y[k-1] + 9y[k-2]= x[k]+3x[k-1]
x[k]= 2k
(0.4)k
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