Análisis de Sistemas Lineales
“Diagramas de Bode”
IV
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Álgebra de Diagramas de Bode
Sea una función
de transfere ncia H ( s ) que puede expresarse
como
H ( s )  H 1 ( s ) H 2 ( s ) , entonces
20 log  H ( s )   20 log  H 1 ( s ) H 2 ( s )   20 log  H 1 ( s )   20 log  H 2 ( s ) 
y
 H ( s )   H 1 ( s ) H 2 ( s )   H 1 ( s )   H 2 ( s ).
" El diagrama
de Bode en amplitud
del producto
es igual a la suma de los diagramas
de dos funciones
de transfere ncia
de Bode de cada factor"
y
" El diagrama
de Bode en fase del producto
es la suma de los diagramas
de dos funciones
de transfere ncia
de fase de cada factor"
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Diagramas de Bode
Factores Elementales
Definiremo
funciones
s como ' Factores E lementales ' a un grupo de
de transfere ncia que tienen una estructura
particular
:
1) H ( s )  K
2) H ( s ) 
a
sa
con a  0
1
3) H ( s ) 
s
n
2
4) H ( s ) 
s  2 n s  
2
A los números
2
n
con  1    1
a y  n se les conocerá
como
frecuencia s de corte en sus respectiva s gráficas
(Incluya
en este grupo de factores elementale
de cada una de las funciones
de Bode.
s a las inversas
anteriores )
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Diagramas de Bode
Metodología General
En término
expresada
s generales,
la función
en factores elementale
para obtener el diagrama
1) Descompone
no está
s por lo que se deben seguir los pasos siguientes
aproximado
r la función
de transfere ncia de un sistema
de fase de Bode del sistema
bajo estudio :
de transfere ncia en factores elementale
2) Para cada factor elemental
indicar
su frecuencia
s.
de corte, si existe, así como
los valores 0.1 fc y 10 fc .
3) Ordenar, de menor a mayor, todos los valores 0.1 fc y 10 fc presentes.
4) Para cada uno de estos puntos analizar
de pendiente
el sentido del cambio
que ocurre allí.
4 - A) Si el sentido del cambio de pendiente
flechas hacia arriba como múltiplos
4 - B) Si el sentido del cambio de pendiente
flechas hacia abajo como múltiplos
es positivo,
incorporar
tantas
de 45  /dec tenga la pendiente.
es negativo,
incorporar
tantas
de 45  /dec tenga la pendiente.
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Diagramas de Bode
Metodología General
5) Una vez incorporad
el diagrama
5 - A) Se inicia
horizontal
as todas las flechas del punto 4, se comienza
aproximado
a dibujar
de fase de Bode.
el dibujo desde la izquierda
, hasta conseguir
partiendo
la primera
de un nivel de 0  con una recta
señal de una flecha.
5 - B) Si el sentido de las flechas en ese punto es hacia arriba, a partir de allí se dibuja una
recta con pendiente
de tantos múltiplos
de 45  /dec, como flechas
hay en ese punto.
5 - C) Si el sentido de las flechas en ese punto es hacia abajo, a partir de allí se dibuja una
recta con pendiente
de tantos múltiplos
5 - D) La recta a la que se refieren
la primera
de - 45  /dec, como flechas
los puntos 5 - B y 5 - C tendrá validez
flecha hasta el punto de la segunda
5 - E) Al llegar al punto de la siguiente
el caso, para compensar
hay en ese punto.
desde el punto de
flecha.
flecha se repiten los pasos 5 - B ó 5 - C, según sea
o acumular
la pendiente
de la gráfica
hasta ese momento.
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Diagramas de Bode
Metodología General
6) Una vez analizadas
todas las flechas en las frecuencia
se toman en cuenta los factores elementale
origen y el término
constante
s de corte del punto 5,
s del tipo de polos o ceros en el
.
6 - A) Cada polo en el origen incorpora
un desplazami
ento de - 90  a toda la gráfica.
6 - B) Cada cero en el origen incorpora
un desplazami
ento de 90  a toda la gráfica.
6 - C) El término
constante
según sea positivo
7) Si están presentes
incorpora
o negativo,
un desplazami
ento de 0  ó 180  ,
respectiva mente, a toda la gráfica.
polos o ceros complejos,
correspond iente, un punto de corrección
incorporar
que indique
en el quiebre
el error c ometido.
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Sea H ( s ) 
El primer paso es descompone
H (s) 
Tenemos
1
s(s  2)
r en factores elementale
s:
 1  1   1   1  2    1  1  2 
  
     
     

s ( s  2 )  s  s  2   s   2  s  2    2  s  s  2 
1
tres factores elementale
un polo real en la frecuencia
s : una constante,
un polo en el origen y
de corte a  2 ubicado en el semiplano
izquierdo.
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Paso 4: Flecha hacia abajo en a = 2 por el polo real
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Paso 5-A: Iniciar gráfica con recta horizontal en 0 dB desde la izquierda
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Paso 5-C: Incorporar a la gráfica una recta con pendiente de -20 dB/dec
a partir de la frecuencia de corte a = 2
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Paso 6-A: Incorporar a toda la gráfica una recta con pendiente de -20 dB/dec
debida al polo en el origen, tal que el valor de  para 0 dB sea uno.
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (primer ejemplo)
Paso 6-C: Incorporar a toda la gráfica un desplazamiento de -6 dB
debido al término constante 1/2
0,1
1
10
100
20
-6 dB
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
 2  s  30 s  2500
Sea H ( s )  

250

 ( s  10 )( s  2 )
2
El primer paso es descompone
r en factores elementale
s:
2
2
2
 2  s  30 s  2500
 10    2   s  2 ( 0 . 3 )( 50 ) s  50
H (s)  
 (  1) 


 
2
50
 250  ( s  10 )( s  2 )
 s  10   s  2  
Tenemos
cuatro factores elementale
s : una constante,
un polo en s  2 y un par de ceros complejos
ubicados
En definitiva
en el semiplano
, las frecuencia
a 1  2 , a 2  10



un polo en s  -10,
en la frecuencia
de corte  n  50
izquierdo.
s de corte presentes
son :
y  n  50
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Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 4: Flecha hacia abajo en a1 = 2 por un polo real,
flecha hacia abajo en a2 = 10 por un polo real y un par de
flechas hacia arriba en n = 50 por los ceros complejos
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
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Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 5-A: Iniciar gráfica con recta horizontal en 0 dB desde la izquierda
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 5-C: Incorporar a la gráfica una recta con pendiente de -20 dB/dec a partir
de la frecuencia de corte a1 = 2, válida hasta la siguiente frecuencia de corte.
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 5-C: Acumular a la gráfica una pendiente de -20 dB/dec a partir de la
frecuencia de corte a2 = 10, válida hasta la siguiente frecuencia de corte. En
definitiva, en este intervalo la pendiente de la recta es de -40 dB/dec.
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 5-C: Compensar a la gráfica una pendiente de 40 dB/dec a partir de la
frecuencia de corte n = 50, válida hasta la siguiente frecuencia de corte. En
definitiva, en este intervalo la pendiente de la recta es de 0 dB/dec.
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 6-C: Incorporar a toda la gráfica un desplazamiento de 0 dB
debido al término constante 1
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (segundo ejemplo)
Paso 7: Incorporar el punto de corrección debido a  = +0.3 en la
frecuencia de corte n = 50. La magnitud de ese error es de -4.43 dB.
0,1
1
10
100
20
0
-20
-40
-60
PUNTO DE CORRECCIÓN
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Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
s 1
2
Sea H ( s ) 
( s  0 . 15 s  0 . 25 )( s  0 . 4 s  4 )
2
2
El primer paso es descompone
H (s) 
r en factores elementale
( s  1)( s  1)
( s  2 ( 0 . 15 )( 0 . 5 ) s  ( 0 . 5 ) )( s  2 ( 0 . 1)( 2 ) s  2 )
2
2
2
2
0 .5
 s  1  s  1 
H ( s )  (  1 / 2 )

  2
2
 1    1   s  2 ( 0 . 15 )( 0 . 5 ) s  ( 0 . 5 )
Tenemos
s:
cinco factores elementale
En definitiva
en el semiplano
, las frecuencia
2


2
  2

2 
  s  2 ( 0 . 1)( 2 ) s  2 
s : una constante,
un cero en s  1 y dos pares de polos complejos
ubicados
2
un cero en s  -1,
en las frecuencia
izquierdo.
s de corte presentes
a 1  1, a 2  1,  n1  0.5
s de corte 0 .5 y 2
son :
y  n2  2
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Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 4: Par de flechas hacia abajo en n1 = 0.5 por un par de polos complejos,
una flecha hacia arriba en a = 1 por cada uno de los ceros reales que hay allí y
un par de flechas hacia abajo en n2 = 2 por el otro par de polos complejos.
0,1
1
10
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 5-A: Iniciar gráfica con recta horizontal en 0 dB desde la izquierda
0,1
1
10
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 5-C: Incorporar a la gráfica una recta con pendiente de -40 dB/dec a partir
de la frecuencia de corte n1 = 0.5, válida hasta la siguiente frecuencia de corte.
0,1
1
10
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 5-C: Compensar a la gráfica una pendiente de -40 dB/dec a partir de la
frecuencia de corte a2 = 1, válida hasta la siguiente frecuencia de corte. En
definitiva, en este intervalo la pendiente de la recta es de 0 dB/dec.
0,1
1
10
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 5-C: Acumular a la gráfica una pendiente de -40 dB/dec a partir de la
frecuencia de corte n2 = 2, válida hasta la siguiente frecuencia de corte. En
definitiva, en este intervalo la pendiente de la recta es de -40 dB/dec.
0,1
1
10
20
0
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 6-C: Incorporar a toda la gráfica un desplazamiento de -6 dB
debido al término constante 1/2
0,1
1
10
20
0
-6 dB
-20
-40
-60
ASL/RAD/2001
Diagramas de Bode
Metodología General (tercer ejemplo)
Paso 7: Incorporar los puntos de corrección debidos a 1 = +0.15 en la
frecuencia de corte n1 = 0.5 y 2 = +0.1 en la frecuencia de corte n2 = 2. Las
magnitudes de esos errores son de 10.46 dB y 13.98 dB, respectivamente.
0,1
1
10
20
PUNTOS DE CORRECCIÓN
0
-6 dB
-20
-40
-60
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