PROBABILIDAD
Taller de Profundización de 3er. Año - IFD Comenio de Canelones
Departamento de Matemática del IFD Comenio de Canelones


Actualmente se entiende la necesidad de
dar lugar “al pensamiento no determinista,
considerando que toda actividad humana
está asociada a niveles de incertidumbre”
Se llama Probabilidad a la rama de la
matemática que estudia los fenómenos
aleatorios, tratando de cuantificar la
posibilidad que un suceso particular ocurra
o no.
Un experimento aleatorio es el que cumple
las siguientes características:



Pueden repetirse indefinidamente en
iguales condiciones controladas.
Antes de realizar la prueba no se puede
saber cuál será el resultado.
Se conocen todos los posibles resultados.

“La introducción del pensamiento aleatorio como
complementario al pensamiento determinista en el
Programa de Educación se justifica desde diferentes
puntos de vista:



Social
Formativo
Epistemológico
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Social.- porque existen numerosas
situaciones del entorno del niño que
revisten un carácter aleatorio (juegos
infantiles, juegos de apuestas en su
entorno
familiar,
predicciones
meteorológicas)
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Formativo.- al considerar que el
pensamiento
lógico-matemático
no
puede basarse solamente en las
disciplinas con una visión determinista,
sino
también
en
modelizar
un
funcionamiento de lo incierto, de lo
plausible, lo probable, apuntando a un
pensamiento probabilístico
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Epistemológico.a
través
de
la
introducción previa del pensamiento
combinatorio
para
determinar
correctamente los sucesos de cualquier
experimento aleatorio sobre pasando los
límites de la obviedad, además del
tratamiento posterior de datos desde la
estadística
y
de
los
conceptos
vinculados al mismo”
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Fenómenos
deterministas
Interpretación
clásica
Fenómenos
aleatorios
propiedades
Experimentos
aleatorios
Espacio
muestral
Laplace
sucesos
Sucesos
equiprobables
Espacio
muestral finito
posible
seguro
Imposible
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
compuestos
simples
5años
Los sucesos en la exploración de azar
1ero
Los experimentos aleatorios
2do
El espacio muestral. Diferenciación de sucesos seguros, posibles e
imposibles
3ero
Los sucesos simples y compuestos. La representación: diagrama
de árbol
4to
La comparación de frecuencias relativas de sucesos simples. La
probabilidad de un suceso. El suceso no probable, poco probable,
con alto grado de probabilidad, o seguro
5to
La formulación y la comprobación de conjeturas sobre el
comportamiento de sucesos aleatorios. El tratamiento de la
información. La combinatoria. La resolución de problemas de
tanteo. Los sucesos equiprobables. La elaboración de tablas de
frecuencia.
6to
La predicción y el cálculo de la probabilidad experimental de
sucesos aleatorios.
Programa de Educación Inicial y Primaria. Año 2008. ANEP. CEP. Uruguay
Una visión restringida sobre el desarrollo de los conceptos
matemáticos que impone solamente el tratamiento de una
serie de temas que privilegian una interpretación
determinista y cerrada del pensamiento matemático.
La concepción de utilidad inmediata que impregna la mayoría
de los currícula matemáticos de este tramo educativo,
desechando las posibilidades que puede proporcionar una
formación matemática más completa y con una cierta
perspectiva de futuro.
“El desarrollo del pensamiento aleatorio en Educación Primaria” Francisco Vecino Rubio,
en “Didáctica de la Matemática” de M del C Chamorro. Pearson. Madrid. 2003
Piaget e Inhelder sostenían que la adquisición de las ideas
de probabilidad eran propias del período de las operaciones
formales.
Actualmente se extiende la idea que tanto la probabilidad
como la combinatoria es factible de ser trabajada en el nivel
de Primaria.
En el período de las operaciones concretas el niño podría
determinar probabilidades ligadas a experimentos
combinatorios (con reducida cantidad de elementos a
combinar) mediante acciones de ensayo y error.
Estas aproximaciones se ven ayudadas por representaciones
como diagramas de árbol o cuadros de doble entrada
Aprovechar el entorno familiar al niño (juegos, loterías, etc)
para proponer situaciones que lo acerquen al manejo de la
probabilidad.
Enmarcar las situaciones propuestas en un campo de
experimentación (con monedas, naipes, dados, etc) donde se
hagan patentes las distintas posibilidades de combinación, las
distintas posibilidades de aparición de un determinado suceso,
distintas formas de registro y de organización de los resultados


Desarrollar todas las posibles representaciones que faciliten
la organización de datos, la determinación de frecuencias, la
obtención de las posibilidades combinatorias y la obtención
de medidas de probabilidad.
Utilizar la Teoría de las Situaciones Didácticas como marco
para la proposición de situaciones donde se formulen y
validen los resultados obtenidos.
El juego consiste en lanzar dos dados
simultáneamente y observar la suma de los puntos
que aparecen en las caras que quedan hacia arriba.
Los dos jugadores que participarán tirarán los
dados alternadamente diez veces cada uno. El
primer jugador, obtendrá un punto si la suma en
los dados es igual a siete, y cero punto en
cualquier otro caso. De la misma forma, el segundo
jugador obtendrá un punto si la suma de los
puntos es igual a cuatro o a once y cero punto en
caso contrario.


1) Jugar de a pares de acuerdo a las consignas.
2) Si tuvieras que apostar por uno de los dos
jugadores: ¿a cuál de los dos apostarías? ¿El
juego te parece justo?
Justifica tu respuesta.
Llamamos A:”obtener suma 7”
B: “obtener suma 4 u 11”
Contamos cuántas veces se obtuvo suma 7 en
10 tiradas y lo llamamos N(A). Este número es
la frecuencia absoluta. Si dividimos el número
de veces que obtuvimos suma 7 entre 10
(número total de tiradas), tendremos la
frecuencia relativa con la que se obtiene
suma 7. Llamemos fr(A) a dicha frecuencia.
Análogamente con B.
equipo
N ( A)
1
2
3
2
4
5
3
5
3
4
1
3
5
0
4
6
2
3
7
5
5
8
3
2
fr ( A )
N (B)
fr ( B )
9
total
22
0,1375
28
0,175

Espacio muestral:
Conjunto de todos los resultados posibles
cada vez que realizamos un experimento.

Suceso:
Llamaremos suceso o evento a cualquier
subconjunto del espacio muestral
La probabilidad de obtener cierto resultado
concreto entre los resultados posibles es el valor al
cual se aproxima o tiende la frecuencia relativa de
dicho resultado cuando el experimento se repite un
gran número de veces (tiende a infinito), siempre
bajo las mismas condiciones e independientemente
de la historia previa.
(Definición frecuencialista)
Cuando el espacio muestral elegido es
equiprobable podemos aplicar la definición clásica
de probabilidad para calcular la probabilidad
teórica de un suceso. En este caso la probabilidad
de un evento A es la relación entre el número de
casos favorables al evento , n(A), y el número de
casos posibles.
P ( A) 
N ( A)
, es decir
n
P ( A) 
número de casos favorables
número de casos posibles
a A
(Ley de Laplace)
Los 36 resultados son igualmente
probables . Sus frecuencias son
prácticamente las mismas.
Por ley de Laplace, la probabilidad de que
la suma de los puntos de dos dados sea
siete es de 6/36 y de que la suma sea 4 u
11 es de 5/36.
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1–6
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2–6
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3–6
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4–6
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5–6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
El ejemplo nos muestra que existen sucesos más
probables que otros.
La probabilidad intenta medir la posibilidad de que un
suceso ocurra o no.
La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1,
incluyendo estos.
Si un suceso tiene probabilidad 1, decimos que es un
suceso seguro. (los que ocurren siempre)
Si un suceso tiene probabilidad 0, decimos que es un
suceso imposible. ( los que nunca ocurren)
“suceso simple” es el que contiene un único elemento
del espacio muestral. Ejemplo: “salir 2 en un dado”
“suceso compuesto” es el que está formado por más
de un elemento del espacio muestral.
Ejemplo: “salir un número par en un dado”
“sucesos compatibles” son sucesos que pueden
ocurrir simultáneamente.
Ejemplo: A: “salir par en el dado” y B: “salir mayor
que 3 en el dado”
“sucesos incompatibles” son los sucesos que es
imposible que ocurran simultáneamente.
Propuesta: El daltonismo es una enfermedad que
se caracteriza por la incapacidad de distinguir
colores, y la ocasiona un gen recesivo ubicado en
el cromosoma X. Un hombre no daltónico y una
mujer no daltónica pero heterocigota, tienen un
hijo:
◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer sana?
◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre
daltónico?
◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónico?
◦ ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónica, si
es mujer?
M
U
J
E
R
D
X
X
D
X
d
Y
D
D
d
D
X X
X X
D
X Y
d
X Y
XD XD se trata de una mujer sana, XD Y se trata de
un hijo varón sano, Xd XD se trata de una hija
mujer con gen enfermo pero físicamente sana
(fenotípicamente como se dice en biología), Xd Y se
trata de un hijo varón enfermo dado que el único
gen que queda ligado al cromosoma X que tiene,
es propio de la enfermedad.
En una población se sabe que una persona con HIV
(E) sometida a un examen de sangre tiene un 95%
de chance de ser diagnosticada enferma (D.E) y la
probabilidad de que un individuo no afectado por el
virus del HIV (N.E) sea diagnosticado erróneamente
como tal es de 0,02. Sabiendo que el 1% de la
población está afectada por el virus,
a) Si uno de los residentes es D.E, ¿cuál es la
probabilidad de que realmente lo sea?
b) Si tú resides en esa población y eres D.N.E ,¿te
quedas tranquilo con el diagnóstico o emprendes
acciones complementarias?
E
D.E 95
D.N.E 5
100
N.E
198
293
9702
9707
9900
10000
Materiales: Se distribuyen a los grupos de trabajo bolsitas
idénticas con carteles que contienen señales de tránsito de
distinto tipo (Pare, Giro obligatorio, Contramano y Ceda el
paso) pero con distintas cantidades de uno y otro tipo.
Propuesta: Respecto a una esquina peligrosa y conocida,
suponiendo que el conductor debe detenerse (porque por
ejemplo, los autos vienen por la otra calle de la derecha):
¿Cuál/es es el cartel que debería colocarse algunos metros
antes de la esquina?
Si se extrae un cartel de la bolsita: ¿cuál es la probabilidad de
que contenga la señal adecuada para dicha esquina?
Indica cuáles de las siguientes experiencias se consideran
como aleatorias y cuáles deterministas:
1) Sacar una carta de una baraja española y observar si
es de oros.
2) Observar si en las próximas 24 horas sale el sol.
3) Poner agua a enfriar y observar si se congela a cero
grados.
4) Lanzar un tiro a una canasta de baloncesto y observar
si el balón entra.
5) Dejar caer un huevo desde el tercer piso y observar si
se rompe al chocar con el suelo.
En un pote opaco se colocan 10 bolitas de dos colores, por ejemplo 3 rojas y 7
azules. Los niños no conocen estos datos.
La tapa del recipiente debe tener un orificio que deje pasar las bolitas de a una,
pero que no permita ver el contenido del recipiente.
Se forman dos equipos de niños que se turnan. Cada equipo tiene un casillero
que va de 0 a 10. El punto de partida es 5. Cuando le toca el turno, el equipo
decide si va a ser el rojo o el azul el que indique que debe desplazarse una
casilla hacia arriba. Los jugadores de cada equipo se turnan para sacudir el pote
boca abajo, hasta que caiga una bolita. Si la bolita es del color que se había
predicho, el equipo avanza una casilla. De lo contrario, retrocede una. La bolita
se repone al pote.
El primer equipo que llegue al 0 o al 10 es el que gana. Hay que pedir a los
niños que lleven un registro de los colores que aparecen para poder analizarlos
y discutirlos más tarde.
Al final del juego, cada equipo intenta adivinar en número de bolitas de cada
color que hay en el recipiente.





Bressan, A.de;Bressan,O.(2008) Probabilidad y
Estadística: Cómo trabajar con niños y jóvenes.
BsAs: Ed.Novedades Educativas.
De Guzman M – Colera J. (2000) Matemática
Bachillerato I. Editorial Anaya
Godino J, Matemática para maestros:
http://www.ugr.es/~jgodino/manual/matematica
s_maestros.pdf
Godino J, Didáctica de la Matemática para
maestros:
http://www.ugr.es/~jgodino/manual/didactica_
maestros.pdf
http://www.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar
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Probabilidad en el nuevo programa de Primaria