Capítulo 7
Modelación de
Datos de Entrada
Hechos al Azar o Aleatorios
Un
fenómeno
o
hecho
aleatorio
incertidumbre en la ocurrencia de tal hecho
representa
• Número clientes que llegan por hora.
• Tiempo entre llegada de dos clientes sucesivos.
• Número de errores en un documento.
• Cantidad de cartas de crédito en una semana.
• Demora en tramitar un documento.
• Tiempo en realizar cierta tarea.
... una Moneda ...
En una Moneda
tiene una
oportunidad entre
dos de caer cara
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Cara
Sello
... un Dado ...
Un Dado
0,2
En un dado, el as
tiene una
oportunidad entre
Seis de salir
0,15
0,10
0,05
0
1
2
3
4
5
6
Modelos de Sucesos Aleatorios
• En situaciones dónde no es posible decir nada
sobre un fenómeno. Se desconoce totalmente lo
que sucede y sólo podemos establecer sus valores
mínimos y máximos.
• Decimos que el patrón de comportamiento del
fenómeno obedece a una Distribución Uniforme.
• Representa el máximo de ignorancia sobre el
fenómeno aleatorio.
Distribución Uniforme
0,020
Máx = 100
Min = 40
0,015
Máx = 100
Función Acumulada
0,010
1,0
0,005
0,8
0,000
0,6
40
46
52
58
64
70
76
82
88
94
100
0,4
Función Densidad
0,2
0,0
40
46
Min = 40
52
58
64
70
76
82
88
94
100
Distribución Uniforme
Función Densidad
0,020
a = min = 40
b (máx) = 100
f (x) 
0,015
a<x<b
1
b a
0,010
0,005
Función Distribución
0,000
40
a
46
52
58
64
70
76
82
Función Densidad
88
94
100
b
F (x)  
1
ba
dx
Modelos de Sucesos Aleatorios
• En situaciones dónde exista la posibilidad de error en la
la medición, como por ejemplo medir repetidamente
- Distancias
- Volúmenes
- Pesos
- Tiempo de ejecución de una tarea repetitiva
• Es posible encontrar un valor promedio de tales
mediciones y un valor que representa la variabilidad de
tales mediciones.
• Estos hechos se pueden modelar por una Distribución
Normal.
Distribución Normal
0,02
m = 200
s = 50
0,02
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,00
0,00
0,00
0
50
100
150
200
Función Densidad
250
300
350
Función Densidad
f (x) 
1
s

e
(m x )
s
2
2
Modelos de Sucesos Aleatorios
• La evidencia empírica permite “apostar” que hechos
tales como
- número de accidentes,
- número de errores,
- número de documentos que arriban
• En general, todos aquellos en donde cada ocurrencia
se puede considerar independiente de todas las otras,
se pueden modelar por una Distribución Poisson
• Lo único que podemos establecer es una “tasa” o
frecuencia de ocurrencia del fenómeno por cierta
unidad de tiempo: l
ocurencias / tiempo
Probabilidad Ocurrencia
Distribución Poisson
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Función de Masa
Tasa Ocurrencia
l = 10 llegadas/hora
Número de
Ocurrencias
Modelos de Sucesos Aleatorios
• Cuando el número de ocurrencias por unidad de
tiempo de un fenómeno o hecho aleatorio se puede
representar por una distribución de Poisson,
entonces el tiempo que transcurre entre dos
observaciones sucesivas de tales fenómenos tiene
una Distribución Exponencial.
• El tiempo esperado o promedio entre dos
ocurrencias sucesivas es igual a la inversa de la
tasa de ocurrencias E(T) = 1/ l.
Distribución Exponencial
25
Función Densidad
20
1 
f (x)  e
l
15
10
x
l
xl
5
Función Acumulada
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
minutos
Función Densidad
E(T) =
1
l
= 15 min / entre llegadas
F (x )  1 e
-
x
l
Modelos de Sucesos Aleatorios
• Algunas actividades como tiempo de reparación o
duración llamadas telefónicas también pueden ser
modeladas por una exponencial, Sin embargo, esto
indica que para la mayoría de las entidades el
tiempo de servicio es cero (la moda es cero). Esto
evidentemente no es cierto (pero no produce muchas
distorsiones en muchos casos.)
• La Distribución Gamma tiene diferentes formas; por
lo que permite modelar tiempos de servicios que no
pueden ser cero (la reparición de una pieza requiere de
algún trabajo previo)
Distribución Gamma
0.040
Función Acumulada
0.035
0.030
-a
a 1
l x e
f (x) 
G (a )
0.025
0.020

x
l
0.015
E(X) = l a
0.010
0.005
V(X) = l2 a
0.000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Función Densidad
x>0
Modelos de Sucesos Aleatorios
• También es una distribución muy útil cuando se
tiene poca información. Sólo se sabe un valor
mínimo, un máximo y uno más probable.
• Se utiliza para modelar
– porcentaje de ítemes defectuosos en un lote
– tiempo de cumplimiento de una tarea en PERT
Distribución Beta
Distribución Beta
X(r,s)
f X ( x, r , s ) 
ssi
G( r  s )
G( r ) G( s )
x
r 1
(1  x )
s 1
0 ,1
1
 (r , s)   x

G( n)   y
0
r 1
(1  x )
s 1
dx
0
n 1  y
e dy
I ( x)
n0
Distribución Beta
A good model for proportions. You can fit almost any data.
However, the data set MUST be bounded!
Modelos de Sucesos Aleatorios
• Se ha descubierto que la Distribución Weibull
permite modelar razonablemente bien los
fenómenos de tiempos de operación entre fallas en
equipos sometidos a desgaste.
Distribución Weibull
Generadores en Lenguajes
• Los lenguajes de simulación -como Arena- tienen
incorporados métodos para “generar” hechos de
acuerdo al patrón que se les indique.
• Es preciso estudiar cuidadosamente el patrón de
comportamiento de los hechos reales para poder
“simularlos” correctamente. Esto se logra mediante
el análisis estadístico de una serie de observaciones
del mundo real.
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Modelacion de Datos de Entrada