Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza
* La conjunción se desarrolló con la ayuda del Taller de Pensamiento Lógico de la U. de Loga, a cargo de Jorge Arrmijos (Coor.).
LÓGICA
Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y
deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite
llegar a conclusiones generales a partir de observaciones
particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos
permite llegar a conclusiones particulares a partir de
observaciones generales.
ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o
dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones,
preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.
ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de
expresión matemática que no es verdadero ni falso.
Ejemplos:
x<9
x + 2 = 10
a+b=1
a2 + b2 = c2
PROPOSICIÓN LÓGICA
(enunciado cerrado) es
un enunciado informativo que admite la posibilidad de
ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez.
La veracidad o falsedad de una proposición se
denomina “Valor de verdad de la proposición”.
SON PROPOSICIONES:
NO SON PROPOSICIONES:
39 es un número primo
(
F)
Resuelve este problema
Ambato queda en la Sierra
(
V)
¿Puedes prestarme tu libro?
1/2 < 1/4
(
F)
Buenos días profesor
CLASES DE PROPOSICIONES
Las proposiciones se clasificar en
proposiciones simples o atómicas
y proposiciones compuestas o
moleculares.
PROPOSICIÓN SIMPLE
Es aquella que contiene una sola afirmación y se
simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que
llamaremos variables proposicionales. Otra manera de
entender una proposición simple es decir que no se
puede descomponer.
Ejemplos:
p: Todo organismo viviente se adapta a su medio físico.
q: Si un número es divisible por 4 también lo es por 2.
Ejemplos: VALOR DE VERDAD
1. 15 es un número primo
2. Quito es la capital del Ecuador
3. 32 = 9
:p
:q
:r
( F)
(V)
(F)
PROPOSICIONES COMPUESTAS
Son aquellas que están formadas por dos o más
proposiciones simples o es la negación de una
proposición simple.
Para que una parte de un enunciado sea un componente
de ese enunciado:
1) La parte tiene que ser un enunciado por derecho
propio;
2) La parte en el enunciado más largo se reemplaza por
otro enunciado, el resultado de este reemplazo tiene
que ser significativo, tiene que tener sentido. (p. 365)
En toda proposición compuesta las proposiciones
simples están ligadas mediante palabras conocidas
como conectivos lógicos.
CONECTIVOS LÓGICOS
Son palabras que permiten relacionar dos
proposiciones o negar una proposición
simple. Cuando se les representan por
símbolos se les llama operadores lógicos.
Los siguientes conectivos son los más
recurrentes:
1. “si y sólo si”
2. “o . . . o”
3. “si…entonces…”
4. “o”
5. “y”
6. “no”
CONECTIVOS LÓGICOS
OPERADOR LÓGICO
LÓGICA SIMBÓLICA
Negación
Conjunción
Disyunción
TERMINOLOGÍA LÓGICA
no
˄
y
o
Disyunción exclusiva
o en sentido excluyente
Conjunción negativa
ni….ni
Disyunción negativa
no…no
Condicional
Bicondicional
Si…., entonces
Si y sólo si
UNA VEZ MÁS…
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Son aquellos enunciados que están formados por dos o más
proposiciones simples y unidos por operador lógico.
Ejemplos:
p: La niña María canta y su hermano Luis toca el piano.
q: Ecuador es un país amazónico y latinoamericano.
EL LENGUAJE SIMBÓLICO
Los símbolos permiten llegar al meollo de
un argumento, mostrar su naturaleza
esencial y dejar de lado lo que no es
esencial.
Con el lenguaje artificial se puede formular
con precisión la relación lógica entre las
proposiciones.
Recordatorio
El objetivo fundamental de la lógica deductiva es discernir los
argumentos válidos de los inválidos.
PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
p
p q
p q r
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
21
22
23
Las tablas de verdad son
representaciones gráficas,
en forma de arreglos,
que sirven para analizar los
posibles valores de verdad
que puede tener una
proposición
simple o compuesta.
En general para
“n” proposiciones,
se pueden
presentar 2n
posibilidades
DEFINICIÓN DE ALGUNOS ENUNCIADOS COMPUESTOS
1
LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “”
o “•” (punto) y se llama conjuntor.
Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”
p
p : Jorge viajó al Cusco
q
Simbología: “p  q”
q : Luis viajó a Ica
NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras
pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
MÁS EJEMPLOS
El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente la batería.
Simbolizando tenemos:
p: el coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
q: tiene corriente la batería
V(p) = V
V(q) = V
En consecuencia: V(p ˄ q) = V
Otro ejemplo: 3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10
P: 3 + 4 = 6
V(p) = F
Q: 3 + 7 = 10
V(q) = V
Por consiguiente: V (p ˄ q) = F
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
La conjunción sólo es verdadera
cuando las dos proposiciones
son verdaderas.
LA CONJUNCIÓN
TAREA
Escribir 5 ejercicios de conjunción y determinar el
valor de verdad de cada uno.
LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la
2
que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es
como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le
antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es
“” (o “tilde”) y se llama negador.
Ejemplo:
p: Todo número elevado al cuadrado es positivo.
Negación: No todo número elevado al cuadrado es positivo.
p
Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al
operador de mayor jerarquía en dicha proposición.
Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero.
q
Simbología: ( q  r )
r
PALABRAS O FRASES
QUE SE PUEDEN USAR PARA NEGAR
 No…
 No es cierto que
 Es falso que
 No es el caso que
 …
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p
p
V
F
F
V
3a
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL. Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan
con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” (conocido como
“cuña”) y se llama disyuntor débil.
Ejemplo: “Eliana viajará a Baños o a Loja”.
r
r : Eliana viajará a Baños.
s
Simbología: “r  s”
s : Eliana viajará a Loja.
Nota: A la disyunción también se la conoce como “alternancia”. Y a los
dos enunciados componentes combinados se les llama “disyuntos” o
“alternativas”.
CARACTERÍSTICA DE LA DISYUNCIÓN
DÉBIL O INCLUSIVA
La “o” es ambigua: Tiene dos significados relacionados pero
distinguibles.
Ejemplo: Los recargos se cancelarán en caso de enfermedad o
desempleo.
Intención:
a. Los recargos se cancelan para los enfermos.
b. Los recargos se cancelan para los desempleados.
c. Los recargos se cancelan para los enfermos y desempleados.
Nota 1: La “o” inclusiva tiene el sentido de “cualquiera, posiblemente
ambos”.
Nota 2: La disyunción inclusiva de dos enunciados se interpreta como
una aseveración de que al menos uno de los enunciados es verdadero.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
DE LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
p

q
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción es falsa solo si
ambas proposiciones son falsas.
3b
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE. Es un
enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “”
(Copi y Cohen usan el mismo símbolo de la disyunción
inclusiva) y se llama disyuntor fuerte.
Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en La Letamendi”.
p
p : Ricardo radica en Miraflores.
q
Simbología: “p  q ”
q : Ricardo radica en La Letamendi.
Nota 1: La disyunción excluyente se interpreta como una aseveración
de que al menos uno de los enunciados es verdadero, pero no ambos.
TABLA DE VALORES DE VERDAD
DE LA DISYUNCIÓN FUERTE
p

q
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
La disyunción fuerte es verdadera
solo si ambas proposiciones
tienen diferentes valores de verdad.
La disyunción fuerte es falsa
solo si ambas proposiciones
tienen idénticos valores de verdad.
¿CÓMO SE CARACTERIZA LA FORMA
DEL SIGUIENTE SILOGISMO?
El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o el prisionero ciego
tiene un sombrero blanco.
El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo.
Por tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco.
Su forma se caracteriza diciendo que su primera
premisa es una disyunción, su segunda premisa es la
negación del primer disyunto de la primera premisa y su
conclusión es igual al segundo disyunto de la primera
premisa.
LA DISYUNCIÓN INCULSIVA VS. LA EXCLUSIVA
Sugerencias:
- Tratar a cualquier ocurrencia de la palabra “o” como inclusiva.
- Si se enuncia explícitamente que la disyunción pretende ser
excluyente, se lo puede hacer añadiendo “pero no ambos”.
- Cuando ambos disyuntos tienen el mismo término sujeto o el
mismo término predicado, es natural condensar la
formulación.
Ej.: “O él es el dueño o él es el gerente” puede enunciarse:
- “Él es el o el dueño o el gerente.
Ej.: “O María es culpable o Mario es culpable” puede ser:
- “O María o Mario son culpables”.
LA FRASE “A MENOS QUE”
Se utiliza “a menos que” para formar la disyunción de dos
enunciados.
Ej.: “Saldrás mal en el examen a menos que estudies” se
simboliza correctamente como: M ˅ E.
La razón es que se utiliza “a menos que” para significar que si
una proposición no es verdadera, la otra es o será verdadera.
La oración puede entenderse que significa: “Si no estudias,
saldrás mal en el examen”.
Esa es la fuerza de la disyunción: asevera que uno de los
disyuntos es verdadero y, por tanto, que si uno de ellos es falso,
el otro tiene que ser verdadero.
LA PUNTUACIÓN
La puntuación elimina la ambigüedad en el significado. Es decir,
la puntuación establece toda la diferencia entre la verdad y la
falsedad, pues diferentes puntuaciones pueden asignar
diferentes valores de verdad al enunciado ambiguo.
( ) para agrupar símbolos individuales
[ ] para agrupar expresiones que incluyen paréntesis
{ } para agrupar expresiones que incluyen corchetes
EJERCICIO DE PUNTUACIÓN
Indicación: Coloque la palabra “o” para resolver la ambigüedad
en la siguiente oración y a continuación use el lenguaje simbólico
para caracterizarla:
La organización se reunirá el jueves y José será electo o la
elección será pospuesta. (p. 372)
LA NEGACIÓN DE UNA DISYUNCIÓN
Se una la frase “ni… ni”.
Ejemplo:
“O José o Mario fue mi amigo” puede contradecirse con el
enunciado: “Ni José ni Mario fue mi amigo”.
La disyunción se simbolizaría como F ˅ H y su negación como
~(F ˅ H) o como (~F) • (~H).
Nota: Negar que una disyunción que indica que uno u otro
enunciado es verdadero requiere que se indique que ambos son
falsos.
LA TABLA DEL VALOR DE VERDAD
DE NEGACIÓN DE UNA DISYUNCIÓN
(DISYUNCIÓN NEGATIVA)
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
(p
q)
F
F
F
V
LA PALABRA “AMBOS”
Surge significados diferentes cuando se coloca la palabra
“ambos” en un lugar diferente en la oración.
Ejemplo:
- Cynthia y Jonathan ambos no serán electos.
- Cynthia y Jonathan no serán electos ambos.
Ejercicio:
Simbolizar los enunciados. (p. 373)
Nota: Con solo cambiar la posición de las palabras “ambos” y
“no” se altera la fuerza lógica de lo que se asevera.
NOTAS SOBRE LA PUNTUACIÓN
- Hasta aquí hemos visto tres símbolos: el punto (• (˄)), la tilde (~) y la
cuña (˅).
- El símbolo de negación (tilde) se aplica al enunciado más corto que
permite la puntuación.
- Para trabajar con enunciados compuestos siempre se inicia con sus
componentes internos y se continúa hacia afuera.
Pregunta: Si A y B son enunciados verdaderos y X y Y son
enunciados falsos, ¿cómo se calcularía el valor de verdad del
enunciado compuesto ~[~(A • X) • (Y ˅ B)]? (p. 374)
- Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo
lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así:
- Ej.: p  q  r = (p  q)  r
////
p  q  r  s = [(p  q)  r ]  s
- Ejercicio: Simbolizar el enunciado: “Estudiaré mucho y aprobaré el
examen o reprobaré”.
LA NEGACIÓN Y LA DISYUNCIÓN
TAREA
Ejercicios: pp. 375-379
4
EL CONDICIONAL También conocido como “hipotético” o
“enunciado implicativo”, es un enunciado compuesto en el que dos
proposiciones se relacionan con el conectivo “Si..., entonces...”,
cuyo símbolo es “→” (Copi y Cohen usan el símbolo de la
herradura, “Ↄ”) y se llama implicador.
Ejemplo: Si 12 es un número par, entonces es divisible entre 2.
p
q
p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)
q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)
Simbología: “p → q ” o “p Ↄ q”
Notas:
1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente
q; p luego q; p de manera q; etc.
2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que p; q
siempre que p; q porque p; etc.
Ejemplo
La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3.
(antecedente) p
(consecuente) q
426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
(consecuente) q
(antecedente) p
La simbología para ambos casos es: p → q o p Ↄ q
Implicación Material
Se refiere a la relación que puede conectar dos enunciados, el enunciado
“p implica materialmente que q” es verdadero cuando p es falso o q es
verdadero.
La implicación material no sugiere ninguna “conexión real” entre el
antecedente y el consecuente. Todo lo que afirma es que de hecho, no es
el caso que el antecedente es necesariamente verdadero cuando el
consecuente es falso (porque puede ser verdadero o falso).
Ej:.:
p: Hitler fue un genio militar.
q: Yo soy Jesucristo.
V(p): V
V(q): F
Si Hitler fue un genio militar, entonces yo soy Jesucristo.
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
El condicional solo es falso
cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente es falso.
Por tanto, una implicación material es
verdadera siempre que el antecedente
es falso, no importa si su consecuente
es falso o verdadero.
EL CONDICIONAL
TAREA
Ejercicios de las páginas 388-390
5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el
que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si
y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble
implicador.
Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”
p
p : Sicilia es una isla
q : Sicilia está rodeada de agua
q
Simbología: “p ↔ q ”
TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
p

q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
El bicondicional es verdadero
solo si ambas proposiciones poseen
idénticos valores de verdad
El bicondicional es falso
solo si ambas proposiciones poseen
diferentes valores de verdad
TABLA RESUMEN
Conector

Valor de
verdad
V
Condición

V
Si tienen valores diferentes de
verdad.

F
Si el antecedente es verdadero y
el consecuente es falso

F
Si ambos son falsos

V
Si ambos son verdaderos
~
V
Si la proposición es falsa.
Si ambos tienen igual valor de
verdad.
EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r)
Solución
(pq) 
 ( p   r)
p
q
r
V
V
V
V V V
V
V
V
F
F
V
V
F
V V V
V
F
V
V
V
V
F
V
V F F
V
V
V
F
F
V
F
F
V F F
F
F
V
V
V
F
V
V
F F V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F F
F
F
F
V
V

La característica tabular de una fórmula lógica es la
columna de valores de verdad debajo del operador de
mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los
siguientes casos:
1.
Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el
esquema es una TAUTOLOGÍA.
2.
Cuando todos los valores de verdad son falsos, el
esquema es una CONTRADICCIÓN.
3.
Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y
otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q  r)  p es FALSA
Determinar el valor de verdad de: (r  p)  (p  r)
SOLUCIÓN
(q   r)  p
Primero analizamos la condición
V V V F
F
F
Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se
evalúa la fórmula planteada
(  r   p)
V
V V

F
(p   r)
F
F V
El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO
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Diapositiva 1