FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS
De la misma forma que descomponemos un
número en factores primos:
30 = 2 . 3 . 5
Ahora descompondremos un polinomio en sus
factores primos:
Ejemplo:
x2 + x - 6 =
(x – 2) . (x + 3)
Son polinomios primos aquellos que sólo
son divisibles entre sí mismos y la unidad.
Ejemplos de polinomios primos:
• x
• x + 1
• x - 2
• 2x + 1
• x2 + 1
• x4 + 2
En general son primos
todos los polinomios
de la forma
(x – a)
Si tomamos el ejemplo inicial:
x2 + x - 6 =
(x – 2) . (x + 3)
x=2
x = -3
Observamos que si sustituimos la x por 2 se
anulará el primer factor.
Así mismo se anulará el segundo factor si la
sustituimos por -3.
En ambos casos se anulará el producto
resultante, es decir El VALOR NUMÉRICO DEL
POLINOMIO.
Estos números reales son las RAÍCES del
polinomio
Definición de RAÍZ de un polinomio:
Cada uno de los valores reales que sustituidos
por la x anulan el valor numérico del polinomio.
Si a1 , a2 , a3 , …son raíces de un polinomio,
se cumple que:
P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . …
Atención a
este factor k
Estos son los factores primos en
los que se descompone el polinomio
P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . …
¿Cómo podemos hallar las RAÍCES de un polinomio?
Como las raíces son los valores de la x que anulan el
polinomio, las hallaremos anulando dicho polinomio,
es decir:
Resolviendo
la ecuación
O tanteando que
valores de x anulan
el valor numérico
del polinomio
P(x) = 0
P(a) = 0
Veamos varios ejemplos:
Ejemplo 1
Si P(x) es un polinomio de segundo grado:
P(x) = x2 + x - 6
Sólo tenemos que
resolver la ecuación
x2 + x – 6 = 0
Si las soluciones de la ecuación son:
x = 2
x=-3
2 y - 3 son las RAÍCES del polinomio
por lo que ya podemos factorizarlo:
P(x) = (x -2) . (x +3)
Ejemplo 2
P(x) = 2x2 + 3x - 2
Sea
Resolvemos la ecuación:
Atención a este coeficiente
P(x) = 0
x = 1/2
Como las soluciones son
x = -2
Casi tenemos factorizado P(x):
P(x) = ? (x – 1/2) .(x+2)
Lo conseguiremos añadiendo el coeficiente del
término de mayor grado:
P(x) = 2 (x – 1/2) .(x+2)
Ejemplo 3
P(x) = x2 - 10x + 25
Sea
Si observamos con atención, vemos que es el
desarrollo de un producto notable:
P(x) = x2 - 10x + 25
En este
caso
(x)2
-2.x.5
P(x) = (x –
5)2
+52
Por lo que
a2 – 2ab + b2
(a – b)2
Nos ahorraremos mucho trabajo si sabemos
distinguir los PRODUCTOS NOTABLES.
Ejemplo 4
Sea
P(x) = x3 +2x2 –x- 2
Si queremos factorizar o hallar las raíces de un
polinomio de GRADO SUPERIOR A DOS,
siempre nos queda EL MÉTODO DE RUFFINI
SI conseguimos una división
exacta de P(x) entre un
binomio del tipo (x –a)
Es decir de
resto 0
Podremos factorizar el polinomio, aplicando:
Dividendo = Divisor × Cociente
P(x)
= (x –a) × Cociente (x)
En el caso de nuestro
polinomio ejemplo
P(x) = x3 +2x2 –x- 2
Conseguimos una división exacta entre (x –1)
1
1
1
2
-1
-2
1
3
2
3
2
0
P(x)
Así conseguimos
el primer factor
primo de P(x):
= (x – a) × Cociente (x)
x3 + 2x2 – x - 2 = (x – 1) . (x2 + 3x + 2)
P(x) = (x – a)

Cociente (x)
¿Como conseguimos encontrar esta raíz a ?
Siempre lo buscaremos entre los divisores enteros
del término independiente de P(x)
En el ejemplo:
P(x) =
x3
+2x2
-x-2
1
 1
Divisores de -2 

2
  2
 ( x  1)
 ( x  1)
 ( x  2)
 ( x  2)
Tantearemos por Ruffini cuales de estos
BINOMIOS son divisores de nuestro polinomio
P(x), es decir dan resto cero en la división.
Comenzaremos tanteando por las raíces más pequeñas:
Siempre podemos ahorrar tanteos
si antes comprobamos para que
valores de x se anula el valor
numérico de P(x)
Probamos con el 1
P(x) = x3 +2x2 - x - 2
1
1
1

⇒
P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)
-1
-2
1
3
2
3
2
0 = Resto
⇒
x = 1 es raíz del
polinomio
2
Como la división
es exacta
P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)
Seguimos DESCOMPONIENDO EN
FACTORES PRIMOS el polinomio cociente
obtenido
C(x) = x2 + 3x + 2
Como es un polinomio de grado 2
tenemos dos opciones a elegir:
OPCIÓN A
Resolver la ecuación
x2 + 3x + 2 = 0
OPCIÓN B
Seguir tanteando
por Ruffini
C(x) = x2 + 3x + 2
Seguir tanteando
por Ruffini
Si elegimos
la OPCIÓN B
Seguimos buscando
otra vez entre
TODOS los divisores
del término
independiente
1
 1
Divisores de 2 

2
  2
1
Probamos
con el 1
1
1
3
2
1
4
4
6
⇒
 ( x  1)
 ( x  1)
 ( x  2)
 ( x  2)
(x-1) NO es
divisor de
C(x)
C(x) = x2 + 3x + 2
1
Probamos
con el -1
-1
1
3
2
-1
-2
2
0
⇒
(x+1) es
divisor de
C(x)
Volvemos a aplicar la regla:
Dividendo = Divisor × Cociente
C(x) = x2 + 3x + 2
= ( x + 1) . (x +2)
Las raíces del polinomio C(x) son:
x = -1
x = -2
Resumiendo todo el Ejemplo 4:
P(x) = x3 +2x2 –x- 2
Partíamos del polinomio
Dividiendo entre (x – 1):
P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2)
Como acabamos de comprobar:
C(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2)
Finalmente
P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)
También podemos resumirlo así:
1
1
1
-1
1
2
-1
-2
1
3
2
3
2
0
-1
-2
2
0
P(x) = x3 +2x2 –x- 2
P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2)
P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)
Las raíces de P(x) son 1 , -1 y -2.
EJEMPLOS DE FACTORIZACIONES
Vamos a factorizar
P(x) = x3 - 3x - 2
Recordemos los pasos a seguir:
1. ¿Podemos sacar factor común?
2. ¿Es identidad notable?
No
No
3. ¿Es ecuación de segundo grado?
No
4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini
Los divisores del término independiente, - 2
P(x) = x3 - 3x - 2
son:
1
1
0
1
+
-3
-2
1
-2
-2
-4
.
1
1
-1
1
-1
1
1
0
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
0
-1
2
-2
0
1, - 1, 2, - 2.
Probemos con el 1
Como no nos da 0, el 1 no es raíz
y tendremos que probar con otro
número. Probemos con el -1.
En este caso como nos da 0,
el -1 es raíz del polinomio
x+1
Continuamos probando con
el -1.
Luego el -1 sale de
nuevo raíz.
x-2
Además tenemos
x+1
Recopilando los datos obtenidos nos han salido como polinomios
divisores de P(x):
x + 1,
x–2=0
x + 1,
x-2
x=2
El -1 ya había salido como
raíz al aplicar Ruffini pero
podemos tener alguna
más igualando a 0 los
demás polinomios
divisores
Así P(x) quedará factorizado como:
P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2)
Sus raíces son:
-1,
-1,
2
Esta es una de las formas de factorizar este polinomio, mediante Ruffini.
Otra sería:
P(x) = x3 - 3x - 2
1
-1
1
1. Aplicaríamos Ruffini:
0
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
0
2. Resolvemos la ecuación
de segundo grado.
x = -1
x2
–x–2=0
Raíces:
x= 2
Polinomios divisores
de P(x):
-1
x+1
-1
x+1
2
x-2
El conjunto de todas las
raíces son: -1, -1, 2.
Así P(x) queda factorizado:
x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2)
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x
Comenzamos a factorizar
siempre haciéndonos las
mismas preguntas
1. ¿Podemos sacar factor común?
Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x).
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6)
Ahora nos centraremos en factorizar…
2. ¿Es identidad notable? No
3. ¿Es ecuación de segundo grado? No
4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.
2x3 – 3x2 – 11x +6
2
1
-2
21
Los divisores del término independiente, 6,
son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.
-3
-11
+6
1
-4
-2
14
-13
-6
-2
-7
-13
3
-7
0
Luego si -2 es raíz, un divisor
de P(x) es: x + 2
Comenzaríamos probando con el 1.
Como no da cero borraríamos y
probaríamos con otro divisor de 6.
Probaríamos con el -1 y el 2 y
comprobaríamos que el resto no
es 0. Sin embargo con el -2 da 0.
Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es:
Por lo tanto:
x2 - 7x + 3
(2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3)
Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =
= 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)
Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus
raíces.
Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la
ecuación:
x1 = 3
Las soluciones obtenidas
1
x2 = 2
serán:
Por lo tanto 2x2 -7x +3 =
·
2x2 -7x +3 = 0
(x
x -–33)
(x
½)
x – 1/2
·2
¿Por qué ponemos el 2?
Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de
mayor grado no quedaría 2x2, sino x2.
Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =
= 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2
Recopilemos toda la información obtenida:
P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2
Raíces:
Polinomios
divisores de P(x):
-2
x+2
3
x-3
1/2
x – 1/2
0
x
¡Pero falta otra raíz!
Como tenemos la x como factor, si
igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0
P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 - 12x2
Hagámonos las preguntas:
1. ¿Podemos sacar factor común?
Sí, x2.
P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 =
= x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12)
Ahora factorizamos:
2. ¿Es identidad notable? No
3. ¿Es ecuación de segundo grado?
No
4. Luego como es un polinomio de grado cuatro, utilizaremos Ruffini.
x4
+
2x3
+
1
1
1
-3
1
x2
Los divisores del término
independiente, 12, son:
+ 8x - 12
2
1
8
-12
1
3
4
12
3
4
12
0
-3
0
-12
0
4
0
Luego si -3 es raíz, otro divisor
de P(x) es:
x+3
1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6,
12, -12.
Comenzamos probando
con el 1.
Luego el 1 es raíz del
polinomio, y así un divisor de
P(x) es
.
x-1
Probaríamos con el 1, -1, 2, -2, 3 y
comprobaríamos que el resto no
es 0. Sin embargo con el -3 da 0.
Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es:
Por lo tanto:
x2 + 4
(x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = (x -1)·(x +3)·(x2 + 4)
Para acabar de factorizar tomaremos x2 + 4 y hallaremos sus
raíces, resolviendo la ecuación:
x2 + 4 = 0
Dicha ecuación no tiene soluciones reales, luego el polinomio
queda factorizado:
P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 =
= x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) =
= x2 · (x -1) · (x +3) · (x2 + 4)
Sus raíces son:
0,
1,
-3,
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