Aproximación lineal y diferenciales
Aproximación lineal.
Diferenciales.
Polinomio de Taylor.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Define el proceso de linealización de una función.
2. Describe el concepto de diferencial de una
función.
3. Interpreta el concepto de diferencial usando un
gráfico.
4. Extiende la aproximación usando el polinomio de
Taylor.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Aproximación Lineal
Definición
Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)),
como una aproximación a la curva y = f(x),
cuando x está cerca de a.
Recta tangente:
y  f  a   f '  a  x  a 
Definimos la linealización de f en a como:
L  x   f  a   f '  a  x - a 
Aproximación lineal de f en a:
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
f x   L x 
cerca de a
3
Ejemplo
Encuentre la linealización de la función f  x   x
en a = 1 y úsela para aproximar 3 . 98 y 4 . 05
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 3
4
Diferencial de una función
Definición
Se utiliza
Δx
= h:
Definimos el diferencial de una función f en a, como:
df  a   f '  a  x
Aproximamos el cambio o incremento de
f en a, mediante el diferencial de f en a,
cuando x está cerca de a:
f(a+h) – f(a)
f(a + h) - f(a)
 f ’(a) h
f ’ (a) h
h
Es decir:
Δf  a   df  a 
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
a+h
5
Diferencial de una función
Teorema
Consideremos la función:
f x   x
luego:
df a   f  a  x
es decir:
df  a    x
Por lo que podemos escribir:
df  a   f  a  x
En forma general:
df  x   f   x dx
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
6
Polinomios de Taylor
Definición
Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f,
con centro en a, como la linealización de f en a:
T 1  x   f  a   f '  a  x - a 
Este polinomio tiene las siguientes
propiedades:
T 1 a   f
T 1' a  
1
a
a 
f ' a 
f x   T1 x 
cerca de a
x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
Polinomio de Taylor
Aproximación lineal
Aproximación cuadrática
Dado f(x).
Dado f(x).
Hallar una función lineal
p(x) que se aproxime a f(x)
cerca de x = a
Hallar una función cuadrática
p(x) que se aproxime a f(x)
cerca de x = a
Para ello:
Para ello:
p(a) = f(a)
p(a) = f(a)
p ( a )  f ( a )
p ( a )  f ( a )
P1  x   f  a   f '  a  x - a 
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
p ( a )  f ( a )
P2  x   f a   f ' a  x - a  
f ' ' a 
2!
 x - a 2
Polinomios de Taylor
Definición
Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f, .
con centro en a, como aquel polinomio que tiene
las siguientes propiedades:
T 2 a   f a 
T 2 ' a   f ' a 
T 2 ' ' a   f ' ' a 
Este polinomio resulta ser:
T 2  x   f a   f ' a  x  a  
f ' ' a 
2!
x
 a
2
f x   T 2 x 
a
cerca de a
x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
9
2
Polinomios de Taylor
Definición
Definimos el polinomio de Taylor de grado n de f,
con centro en a, como aquel polinomio que tiene
las siguientes propiedades:
T n a   f
T n ' a  
a 
f ' a 
. . .
Tn
n 
Teorema
Este polinomio resulta ser:
T n  x   f a   f ' a  x  a  
f ' ' a 
2!
x
a  
n 
a 
 a   ... 
f x   T n x 
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
f
2
f
n 
a 
n!
x
 a
n
cerca de a
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Ejemplo
Halle un polinomio de tercer grado que
aproxime a la función f(x) = sen x alrededor
de a = 0.
p3(x)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Ejemplo
Halle un polinomio de quinto grado que
aproxime a la función f(x) = sen x alrededor
de a = 0.
p5(x)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
p3(x)
Ejemplo
Halle un polinomio de tercer grado que aproxime
a la función f(x) = ex alrededor de a = 0.
p3(x)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Ejemplo
Halle un polinomio de tercer grado que aproxime
a la función f(x) = ex alrededor de a = 0.
p4(x)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
p3(x)
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Ejercicios 3.11 pág 264:
5 al 44, 48.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
15
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