EL PROCESO PARA
CALCULAR EL
INCREMENTO DE UNA
MAGNITUD.
RECAPITULACIÓN

En el concepto problemático de determinar valores de una
magnitud de interés que depende de otra magnitud de referencia,
resultará productiva la idea que enseguida describiremos.
Se conoce “uno de los valores de cierta magnitud M, digamos el
valor de M(a), y se busca calcular, o predecir, otro valor de la
magnitud, digamos el valor de M(b), donde b es un número
mayor que a. Es natural considerar que:
M (b)  M (a)  [c]
Nuestro interés entonces, es idear un modo de calcular el cambio
acumulado el cual, como podrías notar, representa la diferencia
M (b)-M (a) entre 2 valores de la magnitud.
[c]  M (b)  M (a)
Realmente, hasta el momento contamos con 2 modos de abordar este
problema en el caso de que la razón de cambio r (x) de la magnitud
está dada de antemano, o se reconoce por el contexto del problema.
El primero de esos modos lo hemos hecho como el Método de Euler.
Mediante éste, podemos conseguir aproximaciones para la diferencia:
n
M (b)  M (a)   r ( xi )x
i 1


El segundo modo es por medio de la antiderivada, siempre y
cuando podamos obtener una antiderivada de la función r (x).
El tercer modo de abordar el problema es el que conocemos en
esta sesión, y lo dejaremos establecido explicitamente a través del
análisis de la siguiente situación problema.
SITUACION PROBLEMA 1
Supongamos que un automóvil viaja por una carretera recta y
que a partir de cierto momento (t=0) se empieza a medir la
distancia recorrida.
Sea s (t) la distancia recorrida al transcurrir t
unidades de tiempo.
La velocidad del automóvil en cualquier tiempo t está dada por la
función:

v (t)= 4+3t+2t²
Nos interesa calcular la distancia recorrida entre
t =5 y t=10.

ANÁLISIS 1
Podemos encontrar la distancia recorrida entre
t=5 y t=10 de la siguiente manera: calculamos la
Distancia que ha recorrido el automóvil hasta t=10
(o sea s(10)), y calculamos la distancia que ha
recorrido hasta t=5 ( o sea s(5)). Finalmente restamos el
segundo valor al primero, es decir, Calculamos el valor de la
diferencia:
s(10)-s(5)
Los valores de s (10) y s (5) los podemos obtener su deducimos
la fórmula para la función distancia s (t). Para lograrlo, partimos
de que conocemos la fórmula la velocidad:
v(t )  4  3t  2t
2
Esta función de la velocidad, es a su vez, la derivada de s (t).
Por lo tanto, si antiderivamos v (t) , obtendremos a s (t).
La familia de antiderivadas de v (t) es
3 2 2 3
s (t )  C  4t  t  t
2
3
Además, conocemos la condición inicial de s (0)=0, así
podemos precisar que:
3 2 2 3
s(t )  4t  t  t
2
3
Usemos esta fórmula para calcular:
3
2
2
s (10)  4(10)  (10)  (10)3  856.66
2
3
3
2
2
s (5)  4(5)  (5)  (5)3  140.83
2
3
y por lo tanto, la distancia recorrida desde t =5 hasta t=10 es:
s(10)-s(5)=715.82

ANALISIS 2
Después de este análisis que nos condujo a dar la respuesta a la
situación planteada, estamos en posibilidad de identificar el
segundo modo de abordar el problema que nos ocupa.
Arribaremos a su enunciado analizando la situación problema
desde una perspectiva más general.
En la situación problema conocíamos la fórmula de la
velocidad, es decir, de la razón de cambio de la distancia
recorrida con respecto al tiempo. Para efectos de generalizar,
nombremos como M (x) a la magnitud distancia en función del
tiempo, y nombremos r (x) a su razón de cambio.
Dentro del análisis de la situación, la estrategia que seguimos
fue encontrar la fórmula de la distancia interpretando a ésta
como una antiderivada de la velocidad.
En el contexto general, eso nos condiciona a tener la capacidad de
encontrar la familia de antiderivadas de r (x), la razón de cambio.
Por último, en la situación particular, habiendo encontrado una
antiderivada de v (t) , evaluamos la antiderivada s (t) en los 2 valores
del tiempo dados t=5 y t=10, de tal manera que la diferencia numérica
entre ellos es la distancia recorrida, o, en términos generales el cambio
acumulado de la distancia.
En analogía con la solución a la situación problema planteada, podemos
Inducir, ahora en forma general, que cuando se conoce la razón de
cambio r (x) de la magnitud M( x) y además se puede encontrar una
antiderivada R (x) para esa r (x) (esto es, ) es tal que R´ (x)=r(x)),
entonces, el cambio acumulado de la magnitud M se obtiene con la
diferencia entre los valores calculados con la antiderivada R(x). Es decir
M (b)  M (a)  R(b)  R(a)
Observa que en la expresión anterior, el valor de la derecha se
puede calcular por que contamos con la fórmula de la antiderivada
de r (x); sin embargo, el hecho de que éstas difieran entre sí por
una constante aditiva, provoca que la diferencia
R(b)-R(a) tenga siempre el mismo valor, independientemente de la
antiderivada que hayamos elegido para calcularla. Lo
comprobaremos enseguida.

Denotemos esta diferencia como:
R(b)  R(a)  R( x)]
b
a
Calculemos este valor al abordar nuestra situación problema:
v(t )  4  3t  2t 2
La razón de cambio:
3 2 2 3
La antiderivada de ella s(t )  C  4t  t  t
2
3
Aún si dejamos la constante C sin determinar, podemos calcular
s (10)  s (5)  s (t )]10
5
3
2
(10) 2 
(10)3 ]  [C  4(5) 
2
3
3
2
3
 [4(10) 
(10) 2 
(10)3 ]  [4(5) 
(5) 2 
2
3
2
 715.82
 [C  4(10) 
3
2
(5) 2 
(5) 3 ]
2
3
2
(5) 3 ]
3
Este cálculo puede hacerse sin importar el valor de C ya que, como
pudistes observar, al restar los valores de la expresión en 10 y en 5, la
constante C se cancela en el proceso algebraico.
Análisis 3
Daremos ahora un argumento geométrico que también apoya el
hecho de que el cambio acumulado calculado con R (b)-R (a) es
igual para cualquier antiderivada que sea considerada.
El argumento consiste en lo siguiente: todas las antiderivadas de
una función r (x) poseen la misma derivada, puesto que esa
derivada es precisamente la función r (x). Eso nos asegura que, para
cada una de las curvas de las antiderivadas, en los puntos de ellas
correspondientes a la misma coordenada x, las pendientes toman el
mismo valor numérico. En otras palabras, estas antiderivadas
manifiestan inclinaciones en cada uno de sus puntos
correspondientes (mismo valor de x).
Esto obliga a que si tomamos la gráfica de una de las antiderivadas,
las demás gráficas pueden verse como traslaciones verticales de
aquélla.
La situación problema que hemos resuelto da cabida a un análisis
adicional que nos permitirá presentar un tercer modo de abordar
la problemática general de obtener el cambio acumulado
M (b)-M (a) cuando se conoce la razón de cambio r (x) de la
magnitud M (x). Obtendremos por este tercer modo por via del
uso de los diferenciales en el siguiente apartado.
ANALISIS 4
Consideremos una porción infinitesimal de la gráfica de la magnitud
M (x). De acuerdo con el triángulo característico, podemos decir que
el incremento infinitesimal de la magnitud M es un diferencial d M
tal que: d M = r (x) dx
donde r (x) es la razón de cambio de la magnitud M (x).
Fijemos un intervalo [a, b] y ubiquemos los valores de M (a) y
M (b) sobre la gráfica. Con algo de imaginación, concebimos en la
gráfica triángulos característicos consecutivos y con cada uno de
Ellos ubicamos los incrementos diferenciales d M
correspondientes.
Podemos asumir que, al sumar estos incrementos
infinitesimalmente d M se obtendrá M (b) - M (a) , como se
observa en la siguiente figura:
La suma de los diferenciales se representa mediante el simbolo:
 dM
b
O
 r ( x)dx
a
El primer simbolo se lee como: “La integral del diferencial dM”
y la segunda expresión se lee como:
“La integral desde a hasta b de r(x)dx”.
Con esta representación podemos escribir el cambio acumulado:
M (b)  M (a) 
 dM
b

 r ( x)dx
a
HACIA LA GENERALIZACION
Observa el siguiente resumen que contiene los tres modos
diferentes que hemos analizado para calcular el cambio
acumulado de la magnitud M, de la cual conocemos su razón
de cambio r (x).
Resumen
M (x) la magnitud; r (x) su razón de cambio
Primer modo:
M (b)  M (a) 
n
 r ( x )x
i 1
1
Segundo modo: M (b)  M (a)  R(b)  R(a)
Donde R (x) antiderivada de r (x), esto es, R´( x)  r ( x)
Tercer modo:
b
M (b)  M (a)   dM   r ( x)dx
a
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
b
b
r
(
x
)
dx

R
(
b
)

R
(
a
)

R
(
x
)]
a

a
Donde R (x) es la antiderivada de r (x), esto es,
R´( x)  r ( x)
Este teorema nos plantea que la integral puede calcularse conociendo una
antiderivada R (x) de r (x); sólo habra que evaluar esta función como lo
indica la notación dada:
R( x)]  R(b)  R(a)
b
a

Al principio de esta sesión nos planteamos la siguiente idea: si se conoce un valor
de una magnitud M, M (a) se puede calcular o predecir el valor de M (b), siendo
b mayor que a. Para ello , habíamos considerado que:
M (b) = M (a)+[ el cambio acumulado de la magnitud M en el intervalo a a b]
Con el conocimiento que hemos construido durante esta sesión, podemos ahora
escribir :
b
M (b)  M (a)   r ( x)dx
a
Y en forma general, considerando en vez de b el valor fijo pero arbitrario x
x
M (b)  M (a) 
 r ( x)dx
a
Esta última expresión matemática manifiesta la manera de predecir el
valor de la magnitud M en términos de un valor conocido de ella y del
comportamiento de su razón de cambio.
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