Estadística en el Control
de Calidad
Annelisse Balsells de Martini
INTRODUCCIÓN:
La administración de la calidad total es un sistema de
conceptos y técnicas administrativas estadísticas y
tecnológicas. Vamos a concentrarnos en los
conceptos estadísticos.
Definición de CALIDAD:
La totalidad de características de un ente que cuenta
con la habilidad de satisfacer necesidades dadas o
implícitas (ANSI / ISO / ASQ 8402-1994).
A nivel producción, la calidad está enfocada en que
cada característica de calidad esté apuntada hacia un
valor especifico y tenga la menor variación posible.
PROCESOS UNIVERSALES PARA ADMINSTRACIÓN DE LA CALIDAD
PLANEAMIENTO DE
CALIDAD
Establecer el proyecto.
Id. clientes.
Descubrir las
necesidades de los
clientes.
Desarrollar el producto.
Desarrollar el proceso.
Desarrollar controles de
proceso y tranf. a
operaciones.
CONTROL DE
CALIDAD
Elegir objetos de control.
Establecer medida.
Establecer estándares de
performancia.
Medir performancia
actual.
Comparar con
estándares.
Tomar acción sobe
diferencia.
MEJORAMIENTO DE
LA CALIDAD
Probar la necesidad.
Id. proyectos.
Organizar equipo de
trabajo.
Diagnosticar las causas.
Proveer medios y probar
que son efectivos.
Manejar la resistencia al
cambio.
Controles para mantener
las ganancias.
En los tres campos de la administración de la calidad
se requiere de herramientas estadísticas entre las
cuales podemos mencionar algunas:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS E INFORMACIÓN
 Diagramas de dispersión.
 Histogramas
Pareto.
de
Frecuencia
 Gráfico de Probabilidad Normal.
 Gráfico de series de tiempo.
 Diagramas de causa y efecto.
y
ESTIMACIÓN PUNTUAL E INFERENCIA ESTADÍSTICA
POR INTERVALOS O PRUEBAS DE HIPÓTESIS
 Estimación puntual o medidas de tendencia
central.
 Estimación
dispersión.
puntual
o
medidas
de
 Inferencia estadística para 1, 2 ó más
poblaciones por intervalos de confianza,
pruebas de hipótesis.
CARACTERISTICAS DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
 Normal.
 Binomial.
 Poisson.
APLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICAS
Problemas esporádicos de calidad: se atacan
por medio del uso del control estadístico de
procesos o “Control Charts”. Acá se aplican los
conceptos de distribuciones de probabilidad
normal, binomial y Poisson, gráficos de series de
tiempo, medidas de tendencia central y
dispersión, intervalos de confianza, diagramas de
Pareto y diagramas de causa-efecto.
APLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICAS
Problemas crónicos de calidad: el abordaje
más efectivo para el mejoramiento de la calidad,
es el de proyecto por proyecto.
Se usan los diagramas de Pareto, diagramas de
causa-efecto,
diagramas
de
dispersión
histogramas de frecuencia, gráficos de prob.
normal, inferencia estadística por intervalo de
confianza, pruebas de hipótesis, ANOVA, Modelo
Lineal General, Análisis de Regresión Lineal
Múltiple y en ésta área de experimentación se
usan los experimentos diseñados.
OTRA HERRAMIENTA ESTADÍSTICA
En el ingreso de materia prima y a veces antes de enviar el
producto al cliente, se utilizan los planes de muestreo de
aceptación.
En el ingreso de materia prima los planes de muestro de
aceptación permiten estimar la calidad de la materia prima
entrante y escoger y aceptar los lotes con la calidad necesaria y
revisar los lotes con una calidad menor que la requerida. Esta
técnica nos ayuda a prevenir defectos o una baja calidad en el
proceso.
En el caso que se utilicen los planes de muestreo de aceptación
antes de enviar producto al cliente éstos previenen que el cliente
reciba lotes con una calidad menor de la que requiere y se evita la
perdida del cliente.
En ninguno de los casos se está mejorando la
calidad del producto que se muestrea.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
Diagrama de dispersión: se utiliza para observar el tipo de
relación estadística que hay entre dos variables. A una variable se
le llama Variable Independiente o de respuesta Y, y a la otra
variable se le llama variable independiente o predictora X. El
ploteo se hace Y versus X.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:
Histograma de Frecuencia: es la
representación gráfica de la información de una
tabla de frecuencias. Se puede observar la
forma, simetría, dispersión y localización de los
datos.
Tabla de frecuencia: los datos se reparten en
clases o intervalos que se escogen de forma
razonable ( n =cantidad, entre 4 y 20, que
incluyan todos los datos).
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:
Histograma de Frecuencia
Tabla de Frecuencia:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:
Histograma de Frecuencia:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:
Histograma de Frecuencia:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
Diagrama de Pareto: Es un histograma de frecuencias en
el cual las clases están ordenadas por el número de
ocurrencias. No muestra las propiedades que muestra el
histograma de frecuencias, sino sirve para una
visualización clara e inmediata de las clases con mayor (o
menor) ocurrencias.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:
Gráficas de Probabilidad Normal:
Es un método
gráfico para observar si los datos aparentan estar distribuidos
normalmente.
1. Se ordenan los datos de menor a mayor y se numeran de 1 en
adelante.
2. Se calculan sus frecuencias acumuladas observadas (j-0.5)/n.
Donde j es la posición o número del dato en la muestra
ordenada y n el tamaño de la muestra.
3. Se calcula Z= Φ-1[(j-0.5)/n]
4. Se gráfica Z versus X.
5. Se analiza el gráfico. Si los datos están distribuidos en forma
normal deben quedar dispuestos alrededor de una línea recta.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
Gráfico de Probabilidad Normal:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
Gráfico de Series de Tiempo:
Es un representación de una serie de tiempo o secuencia
cronológica, que es un conjunto de datos en el que las
observaciones se registran en el orden en que ocurren. En
el gráfico de series de tiempo, el eje vertical denota el valor
observado de la variable y el eje horizontal denota el
tiempo u orden.
Se puede observar características no aleatorias como:
 Tendencias.
 Ciclos.
 Corrimientos.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS
Gráfico de Series de Tiempo:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE INFORMACIÓN
Diagramas de causa y efecto: Una vez se ha
identificado y aislado un defecto, error, o
problema para más estudio, se debe analizar
posibles causas del efecto indeseado. El
diagrama de causa-efecto, es una herramienta
formal frecuentemente utilizada para plantear las
causas potenciales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE INFORMACIÓN
Diagramas de causa y efecto:
Los pasos para construir un diagrama de causa-efecto son:
1. Definir el problema o efecto a analizar.
2. Formar el equipo para realizar el análisis. El equipo va a
descubrir las causas potenciales a través de una lluvia de
ideas.
3. Dibujar el cajón del efecto y la línea central.
4. Especificar las categorías mayores de causas potenciales y
júntelas como cajas conectadas a la línea central.
5. Identificar las posibles causas y clasificarlas en las categorías
del paso 4. Pueden aparecer nuevas categorías.
6. Jerarquizar orden de causas para identificar las que aparentan
tener más impacto en el problema.
7. Tomar acción correctiva.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE INFORMACIÓN
Diagramas de causa y efecto:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta Binomial:
Considere los siguientes experimentos aleatorios y variables aleatorias
1. El lanzamiento de una moneda 10 veces. Sea X = número de caras obtenidas.
2. Una máquina-herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas. Sea X =
número de piezas defectuosas en las siguientes 25 piezas producidas.
3. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara
particular. Sea X = número de muestras de aire que contiene la molécula rara en las
siguientes 18 muestras analizadas.
4. De todos los bits transmitidos a través de un canal de transmisión digital, 10% se
reciben con error. Sea X = número de bits con error en los siguientes 5 bits
transmitidos..
5. Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas, cada una con cuatro opciones, y
todas las preguntas se contestan adivinando. Sea X = número de preguntas
contestadas correctamente.
6. En los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = número de nacimientos de
niñas.
7. De todos los pacientes que padecen una enfermedad particular, 35% experimentan una
mejoría por un medicamento particular. En los siguientes 30 pacientes a los que se
administra el medicamento, sea X = número de pacientes que experimentan una
mejoría.
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta Binomial:
Donde:
n
x
n!
x!(n-x)!
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta Binomial:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta Binomial:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta Binomial:
Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga
que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la
probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contenga la molécula rara.
Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula rara en las siguientes 18 muestras
analizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con p = 0.1 y n = 18. Por lo tanto,
18
P(X=2)= 2 (0.1)2 (0.9)16
18
Ahora bien,
= (18!/[2! 16!]) = 18(17)/2=153. Por lo tanto,
2
2
16 =
P(X=2)= 153(0.1) (0.9)
0.284
Determine la probabilidad de que al menos cuatro muestras contengan la molécula rara. La
probabilidad pedida es
18
18
x
18-x
P(X ≥ 4)=
(0.1) (0.9)
x
Σ
X=4
Sin embargo, es más sencillo usar el evento complementario,
P(X ≥ 4)=1 -P(X < 4)
3
18
x
18-x
=1(0.1) (0.9)
x
Σ
X=0
= 1 – [0.150 + 0.300 + 0.284 + 0.168
= 0.098
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta de Poisson:
Una aplicación típica de la distribución de
Poisson en el control de calidad es un modelo
del número de ocurrencias (defectos o no
conformidades) en una unidad de producto. De
hecho, cualquier fenómeno aleatorio que ocurre
en una unidad (unidad de longitud, área volumen,
tiempo, etc.) es frecuentemente aproximada por
una distribución de Poisson.
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Distribución Discreta de Poisson:
Definición: La distribución de Poisson es
P(x)= e-l lx , x=0,1,…
x!
Donde el parámetro l>0. La media y varianza de la distribución
de Poisson son
E(X)= m = l
V(X) = s2 = l
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta de Poisson:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Discreta de Poisson:
Para el caso del alambre delgado de cobre, suponga que el número de imperfecciones sigue una
distribución de Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. Determine la probabilidad
de exactamente 2 imperfecciones en 1 milímetro de alambre.
Sea que X denote el número de imperfecciones en 1 milímetro de alambre. Entonces, E(X)= 2.3
imperfecciones y
P(X=2)= e-23 2.32 = 0.265
2!
Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. Sea que X denote el
número de imperfecciones en 5 milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson
con
E(X) = 5 mm x 2.3 imperfecciones/mm = 11.5 imperfecciones
Por lo tanto,
-115
P(X=10) = e
10
11.5 /10! = 0.113
Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre. Sea X denote el
número de imperfecciones en 2 milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson
con
E(X) = 2 mm x 2.3 imperfecciones/mm = 4.6 imperfecciones
Por lo tanto,
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
= 1 –e-4.6
= 0.9899
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Continua Normal:
La distribución normal es probablemente la distribución más importante tanto en la
teoría, como en la aplicación de la estadística.
Si X es una variable aleatoria normal, entonces la distribución de probabilidad de X
se define como sigue:
(x) = 1 e-1/2 ( x – m)2 , - < x < 
s 2P
s 2p
donde E (X) = m
y vV(X) = s2
(-<m<s >0
2
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Continua Normal:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Continua Normal:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Continua Normal Estándar:
Definición: A una variable aleatoria normal con m = 0 y s2 = 1 se le llama
variable aleatoria normal estándar. Una variable aleatoria normal estándar se
denota como Z. La función de distribución acumulada de una variable
aleatoria normal estándar se denota como F(Z) = P (Z  Z)
Nota: (Mostrar tabla F (Z) )
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Distribución Continua Normal:
1.
P(Z>1.26)=1 – P(Z  1.26) = 1 -0.89616 = 0.10384
2.
P(Z < - 0.86) = 0.19490
3.
P (Z > - 1.37) = P (Z < 1.37) = 0.91465
4.
P (-1.25 < Z < 0.37). Esta probabilidad puede encontrarse como la diferencia de dos áreas,
P(Z<0.37)- P(Z<-1.25). Ahora bien,
P (Z <-0.37)= 0.64431 y P (Z < -1.25) = 0.10565
Por lo tanto,
P (-1.25 < Z < 0.37) = 0.64431 - 0.10565 = 0.53866
5.
P(Z  - 4.6) no puede encontrarse de manera exacta en la tabla II. Sin embargo, puede usarse la
última entrada de la tabla para encontrar que P(Z  -3.99) = 0.00003.
Puesto que P(Z  - 4.6) < P(Z  3.99), P(Z  -4.6) es prácticamente cero.
6.
Encuentre el valor de z tal que P(Z  z) = 0.05. Esta expresión de probabilidad puede escribirse
como P(Z  z)= 0.95. Ahora se usa la tabla II en sentido inverso. Se busca en las probabilidades
hasta encontrar el valor que corresponda a 0.95. La solución se ilustra en la figura 5-14. No se
encuentra 0.95 exactamente; el valor más próximo es 0.95053, que corresponde a z = 1.65.
7.
Encuentre el valor de z tal que P(-z<Z<z) = 0.99. Debido a la simetría de la distribución normal, si
el área de la región sombreada en la figura 5-14 (7) es igual a 0.99, entonces el área en cada cola
de la distribución debe ser igual a 0.005. Por lo tanto, el valor de z corresponde a una probabilidad
de 0.995 en la tabla II. La probabilidad más próxima en la tabal II es 0.99506, cuando z = 2.58.
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Distribución Continua Normal:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Distribución Continua Normal:
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Distribución Continua Normal:
Suponga que las mediciones de la corriente en una tira de alambre siguen una
distribución normal con una media de 10 miliamperes y una varianza de 4
2
(miliamperes) . ¿Cuál es la probabilidad de que una medición exceda 13 miliamperes?
Sea que X denote la corriente en miliamperes. La probabilidad pedida puede
representarse como P(X >13). Sea Z (X -10)/2. La relación entre los diferentes valores
de X y los valores transformados de Z se muestran en la figura 5-15. Se observa que
X> 13 corresponde a Z>1.5.
Por lo tanto, por la tabla II,
P (X > 13)= P (Z < 1.5) = 1 - P (Z  1.5)= 1 - 0.93319 = 0.06681
En lugar de utilizar la figura 5-15, la probabilidad también pudo haberse
calculado a partir de la desigualdad X>13. Es decir,
P (X > 13)= P ((X -10)/2 > (13 - 10) /2) = P (Z>1.5) = 0.06681
CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Distribución Continua Normal:
Inferencia Estadística para 1 población
Estimación Puntual de la localización o Medidas de tendencia
central. Hay 3 principales que son media, mediana y moda.
(Es un buen estimador puntual de m
A. Media:
cuando x  N m,s2
B. Mediana: Se ordena la muestra de menor a mayor y
x
[n+1]; si n impar
2
~
X=
x
(n/2) + x(n/2+1); si n par
2
C. Moda: Es la observación más frecuente. (A veces puede
haber varias modas o ninguna si no se repiten los datos).
Inferencia Estadística para 1 población
Medidas de dispersión: También hay 3 principales que son
varianza, rango semiintercuartil, rango intercuartil y rango.
A. Varianza:
S2 = S(Xi – X)2 (Es un buen estimador de s2
n-1
cuando X  N (m,s2)
B. Rango intercuartil o semiintercuartil: Se ordena la muestra
de menor a mayor y Q1 = c-ésima observación más pequeña
y Q2 = c-ésima observación más grande. Donde c:
c=
[n+3]; n impar
4
Rango Intercurtil = Q3 – Q1
[n+2]; n par
4
Rango Semi-intercuartil = Q3 – Q1
2
C. Rango: Rango = Xmax - Xmin
Inferencia Estadística para 1 población
Intervalo de confianza:
Área = 
q
L
U
parámetro
P[L  q  U) = 1 - ,donde
(1- ) Coeficiente de confianza, 100 (1- ) nivel de confianza
y  es la significancia.
Inferencia Estadística para 1 población
Intervalo de confianza sobre parámetros de 1 población:
Si x  N (m,s2) entonces X  N (m,s2)
n
i.
X – Z 2 s /√n  m  X + Z 2 s /√n
Es un intervalo bilateral de 100 (1- α) de confianza sobre la media
de la población m (varianza conocida).


2
2
n
ii. m  X + Z  s /√n
X

X
Es un intervalo unilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la
media de la población m (varianza conocida).
Inferencia Estadística para 1 población
Intervalo de confianza sobre parámetros de 1 población:
Si X  N (m,s2) entonces X  N (m ,s2), pero si no conocemos s2 y
n
la estimamos con la varianza muestral s2, entonces X  tn-1.
Intervalo bilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la media m:
X – t  , n-1 s ≤ m ≤ X + t  , n-1 s
2
2
√n
√n
Intervalo unilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la media m:
m ≥ X - t,n-1 s
√n

X
Inferencia Estadística para 1 población
Intervalo de confianza sobre parámetros de 1 población:
Dado co2 = (n-1) S2  c2 n-1
s2
Intervalo de 100 (1- ) de confianza sobre la varianza de la
población
(n-1) S2
c2  , n-1
≤ s2 ≤ (n-1) S2
c2 (1-  , n-1
2
2

2

2
Inferencia Estadística para 1 población
Intervalo de confianza sobre parámetros de 1 población:
Intervalo de 100 (1- ) de confianza sobre la proporción r de
1 población:
Dado Zo = X-npo  N (0,1) donde X  binomial
√ np (1-p )
o
o
r - Z  √ r (1-r) ≤ r ≤ r + Z  √ r (1-r)
2
n
2
n
Inferencia Estadística para 1 población
Si el parámetro q que se está estimando por intervalo sigue una distribución
normal o aproximadamente, entonces:
q^ - 3 sq^ ≤ q ≤ q^ + 3 sq^
1-   99%
^
q-3s
q
q^
6 s^q
^
q+3s
^q
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