El Método de los
Elementos Finitos
ANÁLISIS NUMÉRICO
Thomas Solano
Universidad de los Andes
ANÁLISIS NUMÉRICO - UNIANDES © Thomas Solano 2005-2
El Método de los Elementos Finitos
Solución de Ecuaciones Diferenciales
●En el caso del método de las diferencias
finitas, el dominio de la solución se divide en
una malla con puntos o nodos, en los cuales se
aplica la ecuación diferencial, donde las
derivadas parciales se reemplazan por
diferencias finitas.
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El Método de los Elementos Finitos
Solución de Ecuaciones Diferenciales
●En particular el método de las diferencias finitas es difícil
de aplicar en sistemas con una geometría irregular, con
condiciones de frontera no usuales o de composición
heterogénea.
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El Método de los Elementos Finitos
Solución de Ecuaciones Diferenciales
●La técnica del método de los elementos finitos
(MEF) divide el dominio de la solución en
regiones con formas sencillas o “elementos”.
●Se puede desarrollar una solucíón
aproximada de la ecuación diferencial para
cada uno de estos elementos.
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El Método de los Elementos Finitos
Solución de Ecuaciones Diferenciales
●La solución se genera, uniendo o “ensamblando” las
soluciones individuales, teniendo cuidado de asegurar la
continuidad de las fronteras entre los elementos.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Discretización
●Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en
elementos finitos. Los puntos de intersección de las líneas que
forman los lados de los elementos se conocen como nodos y
los lados se conocen como líneas nodales o planos nodales.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Es necesario desarrollar ecuaciones para aproximar
la solución de cada elemento.
●Primero, se debe elegir una función apropiada con
coeficientes desconocidos que aproximará la
solución.
●Segundo, se evalúan los coeficientes de modo que
la función aproxime la solución de manera óptima.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
Debido a su fácil manipulación matemática,
usualmente se usan polinomios. En el caso
unidimensional, la alternativa más sencilla es:
u ( x )  a 0  a1 x
(1)
donde u(x) es la variable dependiente, ao y a1 son
constantes y x es la variable independiente.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
Esta función seleccionada debe pasar a través de los
valores de u(x) en los puntos extremos del elemento
en x1 y x2. Por lo tanto:
u1
u1  a 0  a1 x1
u 2  a 0  a1 x 2
u2
(2)
x1
x2
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Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
Igualando y despejando los coeficientes, se obtiene:
a0 
u 1 x 2  u 2 x1
x 2  x1
a1 
u 2  u1
x 2  x1
(3)
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
Sustituyendo las expresiones anteriores en la
ecuación (1) y después de reagrupar, se obtiene:
u  N 1u 1  N 2 u 2
(4)
donde
N1 
x2  x
x 2  x1
N2 
x  x1
x 2  x1
(5)
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
La ecuación (4) se conoce como la función de
aproximación o de forma y las funciones N1 y N2 se
denominan las funciones de interpolación.
La función (4) es en realidad el polinomio de
interpolación de primer grado de Lagrange, y ofrece
un medio parpa predecir valores intermedios entre
valores dados u1 y u2 en los nodos.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Selección de la función de aproximación
La figura muestra la función de forma junto con las
funciones de interpolación. Una regla es que la suma
de las funciones de interpolación es igual a uno.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
Distribución cuadrática
de la variable
Aproximación Lineal
(Resultado pobre)
Curva cuadrática
real
Aproximación lineal
con varios elementos
(Mejores resultados)
Aproximación Cuadrática
(Resultados óptimos)
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Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Obtención de un ajuste óptimo de la función
Una vez elegida la función de interpolación, se debe
desarrollar la ecuación que rige el comportamiento
del elemento.
Existen varios métodos para este propósito, entre lo
cuales se encuentran el método directo, el método
de los residuos ponderados y el métodos variacional.
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Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Obtención de un ajuste óptimo de la función
El resultado de estos métodos es análogo al ajuste
curvas, sin embargo en lugar de ajustar funciones a
datos, estos métodos especifican relaciones entre las
incógnitas de la ecuación (4) que satisfacen de
manera óptima la ecuación diferencial.
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Enfoque General del Método
●Ecuaciones de los elementos
●Obtención de un ajuste óptimo de la función
Matemáticamente las ecuaciones del elemento
resultantes a menudo consisten en un sistema de
ecuaciones algebraicas lineales que puede
expresarse en forma matricial, por ejemplo:
 k  u    F 
(5)
donde [k] = una propiedad del elemento o matriz de
rigidez, {u} = vector columna de las incógnitas en los nodos
y {F}= vector columna determinado por el efecto de
cualquier influencia externa aplicada a los nodos.
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El Método de los Elementos Finitos
Enfoque General del Método
●Ensamble
●Las ecuaciones de los elementos individuales
deben unirse o ensamblarse para caracterizar el
comportamiento de todo el sistema.
●Este ensamblaje está regido por el concepto de
continuidad. Es decir, las soluciones de elementos
contiguos se acoplan de manera que los valores de
las incógnitas en sus nodos sean equivalentes. Así la
solución total será continua.
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Enfoque General del Método
●Ensamble
●De esta manera se expresa el sistema completo en
forma matricial, donde las matriz de rigidez [k] es la
matriz de propiedades ensamblada y los vectores {u}
y {F} contiene las incógnitas y las acciones sobre los
elementos individuales ya ensambladas.
1 2 3 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 4 5 6
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
1 2
x
x
x
x
0
0
3
4
5 6
x x
x 0 0
x x
x 0 0
x x+y x+y y y
x x+y x+y y y
0 y
y y y
0 y
y y y
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Enfoque General del Método
●Condiciones de frontera
●Antes de resolver el sistema de ecuaciones
ensamblado, debe modificarse para considerar las
condiciones de frontera del sistema.
 k  u    F 
 k 11

k 21

 k 31
k 12
k 22
k 32
k 13   u1   F1 
   
k 23  u 2    0 

 0
k 33  
0
   
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Enfoque General del Método
●Solución
●El sistema se soluciona con las técnicas de solución
de sistemas de ecuaciones, tal como LU entre otros.
Si se organizan los elementos de manera que la
matriz de rigidez sea bandeada, se pueden utilizar
esquemas eficientes de solución.
 k 11

k 21

 0
k 12
k 22
k 32
0   u 1   F1 
   
k 23  u 2    0 

k 33   0   0 
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Aplicación en una dimensión
●El sistema de la figura puede modelarse mediante la forma
unidimensional de la ecuación de Poisson
●donde f(x) es una función que define una fuente de calor a lo
largo de la barra, y donde los extremos de la barra se
mantienen a temperaturas fijas.
2
d T
dx
2
  f ( x)
T (0, t )  T1
y
T ( L , t )  T2
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Aplicación en una dimensión
●Discretización
●Una configuración simple para modelar el sistema
consiste en una serie de elementos de igual longitud.
Así el sistema se trata de cuatro elementos de igual
longitud y cinco nodos.
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●La distribución de la temperatura para cada elemento se
representa por la siguiente función de aproximación, donde N1
y N2 son las funciones de interpolación lineales, por lo que la
aproximación corresponde a una interpolación lineal entre las
temperaturas nodales.
T  N 1T1  N 2 T2
N1 
x2  x
x 2  x1
N2 
x  x1
x 2  x1
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
La ecuación diferencial se reexpresa como
2
0
d T
 f ( x)
2
dx
Sustituyendo la solución aproximada en la ecuación
diferencial, el resido no será cero.
2
R
d T
dx
2
 f ( x)
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
El MRP consiste en encontrar un mínimo para el residuo, de
acuerdo con la forma general
 R W dD  0
i
i  1, 2, ..., m
D
donde D = dominio de la solución y Wi = funciones de
ponderación linealmente independientes.
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Se tienen múltiples opciones para las funciones de
ponderación. El MEF emplea las funciones de interpolación Ni
como las funciones de ponderación.
 RN
i
dD  0
i  1, 2, ..., m
D
en la barra unidimensional, se sustituye en esta formulación
para dar
x2
 d 2T

  dx 2  f ( x )  N i dx = 0 i  1, 2

x1 
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Si se reagrupa la expresión como
x2

x1
x2
2
d T
dx
2
N i ( x ) dx = -  f ( x ) N i ( x ) dx
i  1, 2
x1
aplicando la integración por partes se obtiene, para el lado
izquierdo
x2
N
x1
2
i
( x)
d T
dx
2
dx = N i ( x )
dT
dx
x2
x2

x1

x1
dT dN i
dx
i  1, 2
dx dx
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Se evalúa el primer término derecho de la ecuación obtenida
N i ( x)
dT
dx
x2
 N i ( x2 )
dT ( x 2 )
dx
x1
 N i ( x1 )
dT ( x1 )
dx
ya que N1(x2)=0 , N1(x1)=1, N2(x1)=0 y N2(x2)=1, se obtiene
N1( x)
N 2 ( x)
dT
dx
dT
dx
x2

i 1
dx
x1
x2

x1
dT ( x1 )
dT ( x 2 )
i2
dx
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
reemplazando el término calculado, se obtiene
x2

x1
x2

x1
dT dN 1
dx  
dx dx
dT dN 2
dx dx
dT ( x1 )
x2

dx
dx 
dT ( x 2 )
dx

f ( x ) N 1 ( x ) dx
x1
x2


f ( x ) N 2 ( x ) dx
x1
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
La integración por partes permite
● Incorporar las condiciones de frontera directamente
dentro de las ecuaciones del elemento.
● Bajar la derivada de orden, lo que significa que la función
de aproximación necesita preservar continuidad de valor
pero no pendiente en los nodos.
Además se le puede dar significado físico a los términos
● El primer término del lado derecho de la ecuación,
representa las condiciones de frontera del elemento.
● El segundo término representa el efecto de la función de
fuerza del sistema, en este caso la fuente de calor.
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Evaluando el término izquierdo de la ecuación se obtiene
x2

x1
x2

x1
dT dN 1
x1
dx 
dx dx
dT dN 2
dx dx
 (x
x2
x1
dx 
T1  T2
2
 T1  T2
 (x
x2
 x1 )
dx 
2
2
 x1 )
2
dx 
1
x1  x 2
1
x1  x 2
(T1  T 2 )
(  T1  T2 )
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Reagrupando en forma matricial se obtiene
1

x 2  x1   1
1
 1   T1 
 
1  T2 
Por lo que el término izquierdo representa la matriz de propiedad
del elemento.
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Aplicación en una dimensión
●Ecuaciones de los elementos
●Método de los residuos ponderados (MRP)
Expresando en forma matricial las ecuaciones totales, se
obtiene
1

x 2  x1   1
1
 1
 T 
1 
M atriz de R igidez del E lem ento
 x2

 dT ( x1 )   f ( x ) N 1 ( x ) dx 






dx   x1
 
  x

2
 dT ( x 2 )  

f ( x ) N 2 ( x ) dx



dx

 
 x1

C ondición de frontera
E fectos externos
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Aplicación en una dimensión
●Planteamiento del problema
●Para una barra de 10 cmde longitud, con condiciones de frontera de
T(0,t)= 40 y T(10,t)=200 y una fuente de calor uniforme con f(x)=10, se
puede dividir el dominio en elementos del mismo tamaño con longitud
=2.5cm.
●El termino de la fuente de calor se evalúa de la siguiente manera
 x2
  2.5

2.5  x
f
(
x
)
N
(
x
)
dx
d x  12.5 

   10
1
2.5
 x1
 0

x
   2.5

2
x0

 

10
d
x

12.5
f
(
x
)
N
(
x
)
dx
2

  

2.5

 x1
  0
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El Método de los Elementos Finitos
Aplicación en una dimensión
●Planteamiento del problema
●Reemplazando en la ecuación total, los resultados de las integrales
anteriores y los parámetros del problema, se obtiene
1

x 2  x1   1
1
 1
 T 
1 
 x2

 d T ( x1 )   f ( x ) N 1 ( x ) d x 

  d x   x1



 x

2
d
T
(
x
)
2

 

f
(
x
)
N
(
x
)
d
x
2

dx

  
x
 1

0.4 T1  0.4 T 2  
dT
 0.4 T1  0.4 T 2 
dT
dx
dx
( x1 )  12.5
( x 2 )  12.5
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Aplicación en una dimensión
●Ensamble
●Antes de ensamblar las ecuaciones de los elementos, se debe
establecer un esquema de numeración global. Esto define la
conectividad de los elementos en la malla. En el caso unidimensional
el esquema parece trivial, pero en el caso de dos y tres y
dimensiones, el esquema es el único medio para especificar qué
nodos pertenecen a qué elementos.
Número de Nodos
Elemento
Local
Global
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
4
1
4
2
5
2
3
4
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El Método de los Elementos Finitos
Aplicación en una dimensión
●Ensamble
●Después de definir la numeración, se escriben
las ecuaciones de los elementos usando las
coordenadas del sistema
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El Método de los Elementos Finitos
Aplicación en una dimensión
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Aplicación en una dimensión
●Condiciones en la frontera
●Mediante se ensamblan las ecuaciones, se cancelan las
condiciones de fronteras internas. Así el resultado final de {F} tiene
condiciones de frontera sólo para el primer y el último nodo. Ya que
T1 y T5 están dados, dichas condiciones de frontera naturales en los
extremos de la barra, dT(x1)/dx y dT(x5)/dx, representan incógnitas.
dT
dx
(x 1)
 0 .4 T 2

 3 .5

41
0 .8T 2
 0 .4 T3
 0 .4 T 2
0 .8T3
 0 .4 T 4

25
 0 .4 T3
0 .8T 4

105

 6 7 .5
 0 .4 T 4

dT
dx
( x5 )
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Aplicación en una dimensión
●Solución
●Solucionando el sistema de ecuaciones se obtiene
dT
dx
( x1 )  66 , T 2 = 173.75 , T3 = 245
T4 = 253.75 ,
dT
dx
( x 5 )   34
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