COMO SACAR JUGO AL
CUADRADO DE OPOSICION
Alejandro Herrera Ibáñez
[email protected]
CUANTIFICADORES
UNIVERSALES:
 Afirmativos:
 Toda(o).
Todas(os).

Negativos:
 Ningún, ninguna.


PARTICULARES:

Algún, alguna.

Algunas (os).
Ejemplos de proposiciones
categóricas
 sAp:
Todas la mujeres son filósofas.
(universal afirmativa)
 sEp: Ningún filósofo es boxeador.
(universal negativa)
 sIp: Algunos mamíferos son bellos.
(particular afirmativa)
 sOp: Algunas rolas no son buenas.
(particular negativa)
Ejercicio 1
 Reformular
con cuantificadores:
 2. Cualquier persona que pague
puede pasar.
 4. Vinieron pocos invitados.
 6. Nada me parece bello.
 7. La mayor parte de la gente se
abstuvo de votar.
EL CUADRADO
sAp
sEp
sIp
sOp
PROPOSICIONES
CATEGORICAS
 sAp
Todos los S son P
 sEp
Ningún S es P
 sIp
Algunos S son P
 sOp
Algunos S no son P
QUE SE PUEDE ENSEÑAR
Destreza en dobles negativos
 Negación interna y externa.
Elementos de metodología de la ciencia.
 Relación con varias lógicas.
 Más allá del cuadrado: cubo de oposición.

INFERENCIAS

INMEDIATAS:


OBVERSIÓN.



CONVERSIÓN
SIMPLE.
SUBALTERNACIÓN.
MEDIATAS:
CONVERSIÓN POR
ACCIDENTE.
 CONTRAPOSICIÓN.
LA OBVERSION

sAp = sE~p


sEp = sA~p


sIp = sO~p


sOp = sI~p
REGLA
(1) pasar a la letra
(sub)contraria
(2) negar la letra
del predicado
CONVERSIÓN SIMPLE

CON sEp:

CON sIp:

sEp = pEs.

sIp = pIs.

Ej.: ningún
terrícola es
marciano = ningún
marciano es
terrícola.

Ej.: algunos
cantantes son
mexicanos =
algunos mexicanos
son cantantes.
EQUIVALENCIAS
 sAp
= sE~p = ~pEs = ~pA~s
 sEp
= sA~p = pEs = pA~s
 sIp
= sO~p = pIs = pO~s
 sOp
= sI~p = ~pIs = ~pO~s
CUADRADO CON
EQUIVALENCIAS
sAp
sE~p
sEp
sA~p
~pA~s
~pEs
pEs
pA~s
sIp
sO~p
sOp
sI~p
pIs
pO~s
~pO~s
~pIs
NEGACION DE LA
CONTRADICTORIA

~(sAp) = sOp

~(sEp) = sIp

~(sIp) = sEp

~(sOp) =sAp
No todos* =
Algunos no
 No es cierto que
ninguno = Algunos
 No es cierto que
algunos = Ninguno
 No es cierto que
algunos no =
Todos

DOBLES NEGATIVOS 1
 ~(sA~p)
(no todos los hombres son
infieles) = sO~p (algunos hombres
no son infieles) = sIp (algunos
hombres son fieles).
 ~(sE~p)
(no es cierto que ningún
hijo es ingrato) = sI~p (algunos
hijos son ingratos) = sOp.
DOBLES NEGATIVOS 2


~(sI~p) (no es cierto que algunos
gobernantes no roban) = sE~p (*ningún
gobernante no roba) = sAp (todos los
gobernantes roban).
~(sO~p) (No es cierto que algunos
torturadores no son inclementes) = sA~p
(todos los torturadores son inclementes)
= sEp (ningún torturador es clemente).
NEGACION INTERNA Y
NEGACION EXTERNA 1
~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no
 ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no
 ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no
 ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No

No
 No
 No
 No

todos = algunos no.
ninguno = algunos.
algunos = ninguno.
algunos no = Todos.
NEGACION INTERNA Y
NEGACION EXTERNA 2
 No
todos los que se adelanten serán
registrados = algunos que se
adelanten no serán registrados.
 O sea, ~(sAp) = sOp.
 Todos
los que se adelanten no serán
registrados = Ninguno que se
adelante será registrado.
 O sea, sA~p = sEp.*
NEGACION INTERNA Y
NEGACION EXTERNA 3
 No
es cierto que ningún soldado sea
inteligente = algunos soldados son
inteligentes.
 O sea, ~(sEp) = sIp.
 *Ningún
soldado es no inteligente =
todos los soldados son inteligentes.
 O sea, sE~p = sAp.
NEGACION INTERNA Y
NEGACION EXTERNA 4
 No
es cierto que algunos astronautas
sean alcohólicos = ningún astronauta
es alcohólico.
 O sea, ~(sIp) = sEp.
 Algunos
astronautas son no
alcohólicos = Algunos astronautas no
son alcohólicos.
 O sea, sI~p = sOp.*
NEGACION INTERNA Y
NEGACION EXTERNA 5
 No
es cierto que algunos líderes no
son valientes = todos los líderes son
valientes.
 O sea, ~(sOp) = sAp.
 *Algunos
líderes no son no valientes
= algunos líderes son valientes.
 O sea, sO~p = sIp.*
RESUMIENDO





AL NEGAR
EXTERNAMENTE, SE
OBTIENE LA
CONTRADICTORIA
AL NEGAR
INTERNAMENTE, SE
OBTIENE LA
(SUB)CONTRARIA
A no es no B = A es B
No(A es B)≠A no es B
A no es B =A es no B*
Ejercicio 2
 Usa
los cuantificadores para escribir
la contradictoria y la contraria de:
4. No es cierto que nadie quiere sufrir.
 6. No es cierto que alguien robó el banco.
 7. Algunos prestamistas son
desinteresados.
 10. No hay mal que por bien no venga.

Ejercicio 3
Di si son: contradictorias, (sub)contrarias,
equivalentes, inversas, compatibles, y
dónde hay implicación.
 1. No todos los tenores son cantantes
excepcionales / El tenor Plácido Domingo
es un cantante excepcional.
 4. Todos los perros son canes / Todos los
canes son perros.
 5. Algunos pacifistas son militares /
Ningún militar es pacifista.

Ejercicio 3 (cont.)
10. Ninguna persona es totalmente
virtuosa / Algunas personas no son
totalmente virtuosas.
 Ejercicio 4:
 3. Todas las ballenas son mamíferos /
Ningún pez es mamífero.
 7. Todos los torturadores son inmorales /
No es cierto que algunos torturadores son
inmorales.
 8. Níngún felino tiene plumas /El gato que
adoptaré no tiene plumas.

Ejercicio 5: relaciones en el
cuadrado de oposición
Si las siguientes oraciones son
verdaderas, ¿qué se sigue de cada una de
ellas?
 1. Toda la música me gusta. (a) ninguna
música me gusta, (b) alguna música me
gusta, (c) cualquier música me gusta.
 4. Algunos poetas no son buenos. (a)
algunos poetas son buenos, (b) ningún
poeta es bueno, (c) no se siguen ni (a) ni
(b), y (d) No todos los poetas son buenos.

Ejercicio 5 (cont.)
 Si
las siguientes oraciones son falsas,
¿qué se sigue de cada una de ellas?
6. Todos los ríos son caudalosos. (a)
ningún río es caudaloso, (b) algunos ríos
son caudalosos, (c) algunos ríos no son
caudalosos.
 8. Algunas personas son clonadas. (a)
Ninguna persona es clonada, (b) Todas las
personas son clonadas, (c) Algunas
personas no son clonadas.

Ejercicio 6: relaciones veritativas en el
cuadrado de oposición
2. Si ningún condenado a muerte es feliz
es V, ¿qué valores V ó F ó i tienen?:
 (a) todos los condenados a muerte son
felices, (b) algunos condenados a muerte
son felices.
 3. Si algunos hombres son valientes es V,
¿qué valores V ó F ó i tienen?:
 (a) algunos hombres no son valientes, (b)
ningún hombre es valiente.

Ejercicio 6 (cont.)
6. Si algunos funcionarios no son
corruptos es F, ¿qué valores V ó F ó i
tienen?: (a) todos los funcionarios son
corruptos, (b) algunos funcionarios son
corruptos.
 Si todas las mujeres son miedosas es F,
¿qué valores V ó F ó i tienen?: (a) ninguna
mujer es miedosa, (b) algunas mujeres no
son miedosas.

METODOLOGIA DE LA CIENCIA
CONFIRMACIONES

Para probar que todos los A son B, hay
que probar que cada miembro de A es B.

Para probar que ningún A es B, hay que
probar que cada miembro de A no es B.

Para probar que algún A es B, basta
encontrar un caso de A que sea B.

Para probar qe algún A no es B, basta
probar que un caso de A no es B.
METODOLOGIA DE LA CIENCIA
REFUTACIONES
Para refutar que todos los A son B, basta
encontrar un caso de A que no sea B.
 Para refutar que ningún A es B, basta
encontrar un caso de A que sea B.

Para refutar que algunos A son B, hay que
probar que ningún A es B.
 Para refutar que algunos A no son B, hay
que probar que todos los A son B.

PRUEBAS Y REFUTACIONES
 Para
probar las universales, hay que
ir caso por caso.
 Para probar las particulares, basta un
caso.
 Para refutar las universales, basta un
caso.
 Para refutar las particulares, hay que
ir caso por caso.
RESUMIENDO




Es más fácil probar las
particulares.
Es más fácil refutar las
universales.
Es más difícil refutar
las particulares.
Es más difícil probar
las universales.
RELACION CON VARIAS
LOGICAS
 Aristotélica.
 Cuantificacional.
 Modal.
 Deóntica.
 Temporal.
 Probabilística.
 Epistémica.
T,A
(X), E
□,◊
O,P
S,V
C,P
K,B
CUADRADOS ISOMORFICOS
Arist.
Cuan
tif.
Mod.
Deónt Temp
Prob.
Epist.
sAp
(x)
□p
Op
Sp
Cp
aKp
sEp
(x)~
□~p
O~p
S~p
C~p
aK~p
sIp
Ex
◊p
Pp
Vp
Pp
aBp
sOp
Ex~
◊~p
P~p
V~p
P~p
aB~p
REGLA DE EQUIVALENCIA DE
OPERADORES
 Sustitúyase
el operador por su par.
 Niéguese
a la izquierda.
 Niéguese
a la derecha.
 Aplique
el caso.
doble negación, cuando sea
EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS
DE OPERADORES
T=
~A~
(x)=
~E~
□=
~◊~
O=
~P~
S=
~V~
C=
~P~
K=
~B~
A=
~T~
E=
~(x)~
◊=
~□~
P=
~O~
V=
~S~
P=
~C~
B=
~K~
~A=
T~
~(x)
=E~
~□=
◊~
~O=
P~
~S=
V~
~P=
C~
~K=
B~
~T=
A~
~E=
(x)~
~◊=
□~
~P=
O~
~V=
S~
~C=
P~
~B=
K~
UNIVERSAL NEGATIVA E
ISOMORFICOS
 T~
, todos no , ninguno, nadie, nada
 □~
, necesario que no, imposible
 O~
, obligatorio que no, prohibido
 Pero:
K~, saber que no ≠ ignorar,
pues ignorar es no saber: ~K.
SOBRE EL CUADRADO
DEONTICO
 “LO
QUE NO ESTÁ PROHIBIDO
ESTÁ PERMITIDO”
Prohibido = Obligatorio que no = O~
No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!
REDUCCION A UN OPERADOR
POR CUADRADO
 Sea
O cualquier operador isomórfico.
O
~O~
O~
~O
DEL CUADRADO AL CUBO DE
OPOSICION
CUADRADO COMPLEMENTARIO
~sA~p
~sE~p
~sI~p
~sO~p
EQUIVALENCIAS
 ~sA~p
= ~sEp = pE~s = pAs
 ~sE~p
= ~sAp = ~pE~s = ~pAs
 ~sI~p
= ~sOp = ~pI~s = ~pOs
 ~sO~p
= ~sIp = pI~s = pOs
EL CUBO DE OPOSICION
~sA~p
~sE~p
sAp
~sI~p
sEp
~sO~p
sIp
sOp
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Cómo sacar jugo al cuadrado de oposición