CÓMO SACAR JUGO AL
CUADRADO DE OPOSICION
Alejandro Herrera Ibáñez
[email protected]
EL CUADRADO
sAp
sEp
sIp
sOp
PROPOSICIONES
CATEGORICAS
 sAp
Todos los S son P
 sEp
Ningún S es P
 sIp
Algunos S son P
 sOp
Algunos S no son P
QUE SE PUEDE ENSEÑAR
Destreza en dobles negativos.
 Negación interna y externa.
 Modus Ponens y Modus Tollens.
 Falacia de negación del antecedente.
 Fal. de afirmación del consecuente.
 Metodología de la ciencia.
 Relación con varias lógicas.
 Más allá del cuadrado: cubo de oposición.

LA OBVERSION

sAp = sE~p


sEp = sA~p


sIp = sO~p


sOp = sI~p
REGLA
(1) pasar a la letra
(sub)contraria
(2) negar la letra
del predicado
EQUIVALENCIAS
 sAp
= sE~p = ~pEs = ~pA~s
 sEp
= sA~p = pEs = pA~s
 sIp
= sO~p = pIs = pO~s
 sOp
= sI~p = ~pIs = ~pO~s
CUADRADO CON
EQUIVALENCIAS
sAp
sE~p
sEp
sA~p
~pA~s
~pEs
pEs
pA~s
sIp
sO~p
sOp
sI~p
pIs
pO~s
~pO~s
~pIs
NEGACIÓN DE LA
CONTRADICTORIA

~(sAp) = sOp

~(sEp) = sIp

~(sIp) = sEp

~(sOp) =sAp
No todos* =
Algunos no
 No es cierto que
ninguno = Algunos
 No es cierto que
algunos = Ninguno
 No es cierto que
algunos no =
Todos

DOBLES NEGATIVOS 1
 ~(sA~p)
(no todos los hombres son
infieles) = sO~p (algunos hombres
no son infieles) = sIp (algunos
hombres son fieles).
 ~(sE~p)
(no es cierto que ningún
hijo es ingrato) = sI~p (algunos
hijos son ingratos) = sOp.
DOBLES NEGATIVOS 2


~(sI~p) (no es cierto que algunos
gobernantes no roban) = sE~p (*ningún
gobernante no roba) = sAp (todos los
gobernantes roban).
~(sO~p) (No es cierto que algunos
torturadores no son inclementes) = sA~p
(todos los torturadores son inclementes)
= sEp (ningún torturador es clemente).
NEGACIÓN INTERNA Y
NEGACIÓN EXTERNA 1
~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no
 ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no
 ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no
 ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No

No
 No
 No
 No

todos = algunos no.
ninguno = algunos.
algunos = ninguno.
algunos no = Todos.
NEGACIÓN INTERNA Y
NEGACIÓN EXTERNA 2
 No
todos los que se adelanten serán
registrados = algunos que se
adelanten no serán registrados.
 O sea, ~(sAp) = sOp.
 Todos
los que se adelanten no serán
registrados = Ninguno que se
adelante será registrado.
 O sea, sA~p = sEp.*
NEGACIÓN INTERNA Y
NEGACIÓN EXTERNA 3
 No
es cierto que ningún soldado sea
inteligente = algunos soldados son
inteligentes.
 O sea, ~(sEp) = sIp.
 *Ningún
soldado es no inteligente =
todos los soldados son inteligentes.
 O sea, sE~p = sAp.
NEGACIÓN INTERNA Y
NEGACIÓN EXTERNA 4
 No
es cierto que algunos astronautas
sean alcohólicos = ningún astronauta
es alcohólico.
 O sea, ~(sIp) = sEp.
 Algunos
astronautas son no
alcohólicos = Algunos astronautas no
son alcohólicos.
 O sea, sI~p = sOp.*
NEGACIÓN INTERNA Y
NEGACIÓN EXTERNA 5
 No
es cierto que algunos líderes no
son valientes = todos los líderes son
valientes.
 O sea, ~(sOp) = sAp.
 *Algunos
líderes no son no valientes
= algunos líderes son valientes.
 O sea, sO~p = sIp.*
RESUMIENDO





AL NEGAR
EXTERNAMENTE, SE
OBTIENE LA
CONTRADICTORIA
AL NEGAR
INTERNAMENTE, SE
OBTIENE LA
(SUB)CONTRARIA
A no es no B = A es B
No(A es B)≠A no es B
A no es B =A es no B*
MODUS PONENS
 sAp
 Si
→ sIp, sAp / sIp.
todos los aquí presentes van, entonces
algunos aquí presentes van, y es el caso que
todos los aquí presentes van. Por tanto,
algunos aquí presentes van.
MODUS TOLLENS
 sAp
→ sIp, ~(sIp) / ~(sAp).
 ~(sIp)
O
= sEp, sEp → sOp, sOp = ~(sAp).
también: Si I es falsa (~I), E es verdadera; y
si E es verdadera, A es falsa (~A).
FALACIA DE NEGACIÓN DEL
ANTECEDENTE
 sAp
→ sIp, ~(sAp) / ~(sIp).
 ~(sAp)
= sOp=sI~p, y sI~p no implica ~(sIp).
 ~(sIp)=sEp,
sOp.
y sEp no se obtiene ni de sIp ni de
FALACIA DE AFIRMACIÓN DEL
CONSECUENTE
 sAp
→ sIp, sIp / sAp.
 sIp=~(sEp).
 Cuando
sIp es verdadera o sEp es
falsa, sAp es indeterminada.
METODOLOGÍA DE LA CIENCIA
CONFIRMACIONES

Para probar que todos los A son B, hay
que probar que cada miembro de A es B.

Para probar que ningún A es B, hay que
probar que cada miembro de A no es B.

Para probar que algún A es B, basta
encontrar un caso de A que sea B.

Para probar que algún A no es B, basta
probar que un caso de A no es B.
METODOLOGÍA DE LA CIENCIA
REFUTACIONES
Para refutar que todos los A son B, basta
encontrar un caso de A que no sea B.
 Para refutar que ningún A es B, basta
encontrar un caso de A que sea B.

Para refutar que algunos A son B, hay que
probar que ningún A es B.
 Para refutar que algunos A no son B, hay
que probar que todos los A son B.

PRUEBAS Y REFUTACIONES
 Para
probar las universales, hay que
ir caso por caso.
 Para probar las particulares, basta un
caso.
 Para refutar las universales, basta un
caso.
 Para refutar las particulares, hay que
ir caso por caso.
RESUMIENDO




Es más fácil probar las
particulares.
Es más fácil refutar las
universales.
Es más difícil refutar
las particulares.
Es más difícil probar
las universales.
RELACION CON VARIAS
LOGICAS
 Aristotélica.
 Cuantificacional.
 Modal.
 Deóntica.
 Temporal.
 Probabilística.
 Epistémica.
T,A
(X), E
□,◊
O,P
S,V
C,P
K,B
CUADRADOS ISOMORFICOS
Arist.
Cuan
tif.
Mod.
Deónt Temp
Prob.
Epist.
sAp
(x)
□p
Op
Sp
Cp
aKp
sEp
(x)~
□~p
O~p
S~p
C~p
aK~p
sIp
Ex
◊p
Pp
Vp
Pp
aBp
sOp
Ex~
◊~p
P~p
V~p
P~p
aB~p
REGLA DE EQUIVALENCIA DE
OPERADORES
 Sustitúyase
el operador por su par.
 Niéguese
a la izquierda.
 Niéguese
a la derecha.
 Aplique
el caso.
doble negación, cuando sea
EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS
DE OPERADORES
T=
~A~
(x)=
~E~
□=
~◊~
O=
~P~
S=
~V~
C=
~P~
K=
~B~
A=
~T~
E=
~(x)~
◊=
~□~
P=
~O~
V=
~S~
P=
~C~
B=
~K~
~A=
T~
~(x)
=E~
~□=
◊~
~O=
P~
~S=
V~
~P=
C~
~K=
B~
~T=
A~
~E=
(x)~
~◊=
□~
~P=
O~
~V=
S~
~C=
P~
~B=
K~
UNIVERSAL NEGATIVA E
ISOMORFICOS
 T~
, todos no , ninguno, nadie, nada
 □~
, necesario que no, imposible
 O~
, obligatorio que no, prohibido
 Pero:
K~, saber que no ≠ ignorar,
pues ignorar es no saber: ~K.
SOBRE EL CUADRADO
DEONTICO
 “LO
QUE NO ESTÁ PROHIBIDO
ESTÁ PERMITIDO”
Prohibido = Obligatorio que no = O~
No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!
REDUCCIÓN A UN OPERADOR
POR CUADRADO
 Sea
O cualquier operador isomórfico.
O
~O~
O~
~O
DEL CUADRADO AL CUBO DE
OPOSICIÓN
CUADRADO COMPLEMENTARIO
~sA~p
~sE~p
~sI~p
~sO~p
EQUIVALENCIAS
 ~sA~p
= ~sEp = pE~s = pAs
 ~sE~p
= ~sAp = ~pE~s = ~pAs
 ~sI~p
= ~sOp = ~pI~s = ~pOs
 ~sO~p
= ~sIp = pI~s = pOs
EL CUBO DE OPOSICIÓN
~sA~p
~sE~p
sAp
~sI~p
sEp
~sO~p
sIp
sOp
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