DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS
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UNIDAD V :DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
BIDIMENSIONALES
Competencia:
-El estudiante debe extender correctamente las definiciones
,características de una variable aleatoria unidimensional a variables
aleatorias bidimensionales
Objetivos.
-Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria
bidimensional ,función de probabilidad conjunta, función de
probabilidad marginal ,las características o medidas descriptivas
tanto conjuntas como marginales a problemas inherentes a
experimentos aleatorios con dos características al mismo tiempo.
Descripción general de la unidad:
-Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones
:Variable Aleatoria Bidimensional, Función de probabilidad Conjunta
,Función de probabilidad marginal ; la determinación de las medidas
descriptivas: de tendencia central, de dispersión tanto conjuntas
como marginales ,los coeficientes de correlación y la aplicación en la
resolución de problemas dentro al Ingeniería con variables aleatorias
bidimensionales
Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e
Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags 373 al 400
Referencia electrónica:
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo de probabilidades
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Unidad V DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
Todos los conceptos analizados en base a una v.a. X
unidimensional,se pueden extender a 2 ó más variables,en nuestro
caso particular a una bidimensional.
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL (XY)
Se dice (XY) es una v.a.b.cuando en un  ,se está interesado en
estudiar 2 características numéricas simultanemanente.
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS
Las distribuciones de probabilidad conjunta surgen al cuantificar
cada par (xy) simultaneamente.Pudiendo obtenerse algunas medidas
descriptivas
DISTRIBUCUIONES MARGINALES
Estas distribuciones surgen cuando la v.a.b. (XY) se analiza por
separado X e Y;pudiéndose obtener todas las medidas descriptivas
marginales
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA DE UNA V.A.B. DISCRETA
p(x,y)
Sea una v.ab.d. (XY) con Rango Rxxy A cada posible resultado (x,y) le
asociamos un nº p(x,y) = P[ X=x ; Y=y] llamado función de
probabilidad conjunta siempre que cumpla los siguientes requisistos:
a) p(x,y)  0  (x,y)
b)
Rxxy; b)   p(x,y) = 1 ; donde
Si se define un evento A en el  P(A) =  P[(xy) A];cuya
representación:
Tabular:
x
y
y1
y2
....
ym
Marginales
x1
p(x1,y1) p(x1 y2) p(x1, ym )
x2
p(x2 ,y2) p(x2 y2 ) p(x2 ym )
xn
p(xn ,y1) p(xn y2 ) p(xn ym ) p1(xn )
p1(y1)
p2(y2 )
p1(ym )
p1(x1)
p2(x2 )
1
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(X,Y)
F(X,Y) = P [ X  x ; Y  y ] = p(x,y)
DISTRIBUCIONES MARGINALES DISCRETAS
a)FUNCIÓN DE PROBABILIDAD MARGINAL DE X
px(x) = P( X = x) = p(x,y) en el Ry / x=cte
b)FUNCIÓN DE PROBABILIDAD MARGINAL DE Y
py( y) = P(Y=y) =  p(x,y) en el Rx / y=cte
MEDIA CONJUNTA E(XY)= xy p(x,y)
MEDIA MARGINAL DE X = E(X)= X= x px(x)
MEDIA MARGINAL DE Y = E(Y)= Y= Y py( y)
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Variables aleatorias independientes y dependientes
Definicion.- Sea una v.a.b.d.(XY) con p(xy) ; px(x) , py(y) V(xy)
Entonces se dice que Xe Y son independientes sii
p(xy) = px(x) * py(y) ; V(xy) caso contrario se dice
que no son
independientes
Probabilidad condicional.Sean dos eventos A y B definidos en el Ω
Sabemos que P(A/B) =P(A∩B) / P(B) → P(X=x /Y=y) = p(x,y)/py(Y)
P(B/A)=P(A∩B) / P(A) →P(Y=y /X=x) = p(x,y) /px(X)
Ej.-Sea una v.a.b.d (XY) cuya funcion de probabilidad
p(xy) = (x+y)/ 32 ; x= 1,2; y=1,2,3,4 Hallar
a)
La funcion de porbabilidad condicional de X dado Y=y
b)
La funcion de porbabilidad condicional de Y dado X=x
Sol.-px(X)= (2x+5)/16 x=1,2 py(Y)=( 2y +3)/32 , y=1,2,3,4
P(X=x /Y=y) = p(x,y)/py(Y) = (x+y)/ (2y+3) . x=1,2
P(Y=y /X=x) = p(x,y) /px(X)= (x+y)/ (4x+10) , y= 1,2,3,4
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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES CONTINUAS
Se llaman bidimensionales continuas cuando el
rango de la v.a.b.c. solo se puede medir,entre sus
caracteristicas tenemos:
Funcion de probabilidad conjunta f(xy) ,es aquella
funcion que cumple dos requisitos: a)f(xy) > 0 b) ∫∫
f(xy) dxdy =1
Funcion de probabilidad marginal de x.- f x(x)= ∫ f(xy) dy
Funcion de probabilida marginal de y .- fy (y) = ∫ f(xy) dx
Esperanza conjunta de XY , E(xy)= ∫∫xy f(xy) dxdy
Esperanza marginal de x , E(x) = ∫x f x(x) dx
Esperanza marginal de y ,E(Y) = ∫y fy (y) dy
Varianza marginal de x
V(x)= ∫(x-μx )² f x(x) dx = E(x²) –
μx ²
Varianza marginal de y V(y)= ∫(y-μy )² f y(y) dy = E(y²) –μy ²
Probabilidad de un un evento A.P[(xy)€A] = ∫∫ f(xy) dxdy
A
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• Ej. Sea una v.a.c. XY cuya:
• f(xy) =
1/500 ; 0< x<2.5 ; 0<y<200
•
0
; e.o.c.
Calcular:
• a) P(1.0 < x< 2.0) ; b) f x(x) ; fy (y) ; c) E(x) ;d) V(x)
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Sol.A) P(1.0 < x< 2.0) = ∫ ∫ 1/500 dxdy = 1/5
Rx Ry
B) f x(x)= ∫ 1/500 dy = 2/5 , 0<x< 2.5
fy (y) = ∫ 1/500 dy= 1/200 , 0<y<200
C)E(x) =∫x 2/5 dx= 1.25
d) V(x)= ∫(x-μx )² f x(x) dx = E(x²) –μ
²
•
V(X) = ∫ x² 2/5 dx – (1.25)² =1.5625
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