Definición de derivada.
A la tasa de variación instantánea de una función en un punto se le llama
también derivada
La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el
siguiente límite, si existe:
f ( a  h)  f ( a )
TVI  f (a)  lím
h 0
h
Determina la función derivada de f(x) = 2– x2 y calcula su valor para x0 = -1, x0
= -2, x0 = 1/2
f ( x)  lím
h 0

 lím
h 0
f ( x  h)  f ( x )

h
 

h
Determina la función derivada de f(x) = 2x3–3x2 y calcula su valor para x0 = -1,
x0 = 0, x0 = 2
f ( x)  lím
h 0

 lím
h 0
f ( x  h)  f ( x )

h
 
h

Determina la función derivada de f(x) = 2x3–6x y calcula su valor para x0 = -1,
x0 = 0, x0 = 2
f ( x)  lím
h 0

 lím
h 0
f ( x  h)  f ( x )

h
 
h

Determina la función derivada de f(x) = 2x + 3 y calcula su valor para x0 = -1,
x0 = 2, x0 = 1
f ( x)  lím
h 0

 lím
h 0
f ( x  h)  f ( x )

h
 

h
Determina la función derivada de f(x) = 4 y calcula su valor para x0 = -1, x0 = 2,
x0 = 1
f ( x  h)  f ( x )

h 0
h




 lím

h 0
h
f ( x)  lím
Determina la función derivada de f(x) = 2x2+x-1 y calcula su valor para x0 = -1,
x0 = 0, x0 = 2
f ( x)  lím
h 0

 lím
h 0
f ( x  h)  f ( x )

h
 
h

Determina la función derivada de f(x) = senx y calcula su valor para x0 =0,
x0=π/2, x0 = π
f ( x  h)  f ( x )

h 0
h



 lím
h 0
h
f ( x)  lím
 A – B

sen ( A ) – sen ( B ) = 2 sen 
2


cos  A  B 
2



NOTACIÓN
df(x)
f '(x) 
 Dx f(x)
dx
En Física
REGLAS DE DERIVACIÓN
SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL
LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN
Si f(x)  nx , f'(x)  n
Si f(x)  n, f' (x)  0
Si f(x)  x, entonces: f' (x)  1
Si f(x)  5, entonces: f' (x)  0
Si f(x)  2x  6, entonces: f'(x)  2
Si f(x)  5x - 3, entonces: f'(x)  5
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  4x  3
b. f(x)  3
3
c. f(x)  x
7
REGLAS DE DERIVACIÓN
n 1
Si f(x)  x , f'(x)  nx
n
Si f(x)  x , ent onces: f' (x) 
4
Si f(x)  5x , ent onces: f' (x) 
3
Si f(x)  2x , entonces: f' (x) 
4 1
3
Si f(x)  3x - x  3 - , entonces: f' (x) 
x x
1/4
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  x 2  4x  1
5
3
b. f(x)  3 x  2x 
3 5
6
c. f(x)  x 
5
x
2
x2
Interpretación geométrica de la derivada.
ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
y  f(a)  f '(a)(x  a)
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola y=x2 en el punto (-2,4)
Si la derivada es nula en un punto (mtan=0), f(x)
presentará una tangente horizontal en ese punto. Si
f´(a) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=a
¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente
horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,2)
f(x) x3  3x
y  f(a)  f '(a)(x  a)
¿En qué puntos la función f(x) = 1/x tiene una recta tangente con pendiente
horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (2,1/2)
y  f(a)  f '(a)(x  a)
¿En qué puntos la función f(x) =senx tiene una recta tangente con pendiente
horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (π/3,√3/2)
y  f(a)  f '(a)(x  a)
Determina ¿En qué puntos la función f(x) =2-x2 tiene una recta tangente con
pendiente horizontal ? Encuentra la ecuación de la recta tangente en el
punto (1,1) y en el punto (-1,1)
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
Si f(x) = lnx, entonces f ´ (x) = 1/x
f ( x  h)  f ( x )
f ( x)  lím

h 0
h




 lím

h 0
h
Si f(x) = lng(x), entonces f ´ (x) = g´(x)/g(x)
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  ln(x  4x)
2
b. f(x)  ln x
5
6
c. f(x)  ln( )
x
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  ln(3x  4x  6)
b. f(x)  ln(lnx)
c. f(x)  ln(6 x)
3
2
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = eg(x), entonces f ´ (x) = g´(x)eg(x)
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  4e
-4x
b. f(x)  3e
x
c. f(x) 
e
x2 2
7
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  e
4/x
b. f(x)  e
x
c. f(x)  e
x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE A
Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axlna
a. f(x)  4
x
b. f(x)  3
x
c. f(x)  6
x
Si f(x) = ag(x), entonces f ´ (x) = g´(x)ag(x)lna
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  4
-4x
b. f(x)  3
c. f(x)  6
x2
6x
Regla del producto de funciones:
Sea m(x) f (x)xg(x) :
(m(x))' f' (x) g(x)  f(x) g' (x)
Ejemplos:
f(x)=x3ln(x)
f(x)=x.ex
Sea m(x) f(x) g(x)
m( x  h)  m( x) lím 
m´(x)  lím
 h 0
h 0
h
 
h

Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  e ln x
4x
b. f(x)  xe
x
c. f(x)  ( x  3) ln(x  3)
Regla del cociente de funciones:
Sea m(x)  f(x)/g(x):
'
 f(x) 
f' (x) g(x)  f(x) g' (x)
 
m´(x)  
2
g(x)
g(x)


Ejemplos:
f(x)=x2 /(x+2)
f(x)=3ex/(x3)
Sea m(x) f(x)/g(x) f(x).(g(x))-1
m´(x) 
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  e / x
x2
b. f(x)  x /e
c. f(x)  ( x  3) /( x  3)
x
Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x)  e
(4  x)/x
b. f(x)  x /( x  5)e
c. f(x)  ln x / x
2
x/(x  5)
Potencia de una función:
Si f(x)  g ( x) , f'(x)  ng(x)
n 1
n
Si f(x)  (3x  2) ,
4
ent onces: f' (x) 
Si f(x)  5ln x  5(lnx)
3
ent onces: f' (x) 
3
g´(x)
Si f(x)  2( xe ) ,
x/2 1/4
entonces: f' (x) 
3
 x 2
 ,
Si f(x)  3 2
 x 2
entonces: f' (x) 
2
Si f(x)  g ( x) , f'(x)  g(x)g ( x)
2
Si f(x)  g ( x) , f'(x)  g(x) g ( x)
3
2
Si f(x)  g ( x) , f'(x)  g(x) g ( x)
4
3
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  cosx
a. f(x)  e
f'(x)   senx
cosx
b. f(x)  x / cos x
2
c. f(x)  x ln cos x
f(x)  cosg(x)
a. f(x)  cos(e
cosx
f'(x)   g´(x)seng(x)
)
b. f(x)  cos(1 / x)
c. f(x)  x cos(ln x )
a. f(x)  cos (3 )
3
3x
x2
b. f(x)  cos (
)
x
1/ 4
c. f(x)  cos(cos2 x )
2
Sea f(x)  cosx

f ( x  h)  f ( x )
f ´(x)  lím
 lím
h 0
h 0
h
cos ( A ) – cos ( B ) = – 2 sen
 A  B
 A – B

 sen 

2
2




 
h

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  senx
a. f(x)  4
f' (x)  cosx
senx
b. f(x)  senx / cos x
c. f(x)  senx ln senx
f(x)  seng(x)
f'(x)  g´(x)cosg(x)
a. f(x)  sen (2 x)
2
x
1  sen(e )
b. f(x) 
1  sen(e  x )
c. f(x)  sen(ln x) ln(senx)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  tgx
f'(x)  sec x
2
a. f(x)  3xt gx
b. f(x)  tg ( x )
3
c. f(x)  x ln tgx
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  tgg(x)
f'(x)  g´(x)sec g(x)
2
a. f(x)  x tgx
3
3
b. f(x)  tg ( x  2)
2
2
c. f(x)  xtg ( 2 / x )
seng( x)
f(x)  tgg(x)
cos g ( x)
f' (x) 
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  cosecx f'(x)   cos xcosec2 x  -cotgxcosecx
a. f(x)  (cosecx)
3
b. f(x)  cosecx
3
c. f(x)  7
cos x
cosecx
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  cosecg(x) f'(x)   g´(x) cos g ( x)cosec2g(x) 
- g´(x)cotgg(x)cosecg(x)
a. f(x)  cosecx3
b. f(x)  cos ec x
3
c. f(x)  7
3
cos 4 x
cos ec4 x
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  secx f'(x)  senxsec x  tgxsecx
2
a. f(x)  ( x/secx)3
b. f(x)  sec x
c. f(x)  7 sec x
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  secg(x) f'(x)  g´(x)seng( x)sec2g(x) 
g´(x)tgg(x)secg(x)
a. f(x)  x/secx
3
b. f(x)  sec e
3
c. f(x)  7 sec 4 x
3
x
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  cotgx
f'(x)   cosec x
2
a. f(x)  x(cotgx)
3
b. f(x)  3 cot g( x)
c. f(x)  7
cot gx
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  cotgg(x)
f'(x)   g´(x)cosec2g(x)
a. f(x)  (cot g(lnx))
2
b. f(x)  cot g (3 x)
c. f(x)  cot g (7
sen 7 x
)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES POTENCIALES EXPONENCIALES
f(x) (g(x))m(x)
m(x)
lnf(x) ln(g(x))
lnf(x) m( x) ln(g(x))
a. f(x)  (x)
2x
b. f(x)  (cos(3 x))
c. f(x)  ( x )
x
senx
a. f(x)  (lnx)
x
b. f(x)  (sen( x ))
1/ x
c. f(x)  ( x )
tgx
f ( x)  3x 3 
2 2
x  x  33 x
3
x 4 3x 2
3 6
f ( x) 

2  3
4
2
x x
f ( x)  x x 
1
x
2
x

3
x3 x 2
f ( x)  x 2 ln x  xe 3x
f ( x)  x 3 ln x 
1
x
41 / x
f ( x)  e x x  e  x x1/ 2
f ( x)  4 x / x 4
f ( x)  x /( x  2)
5x  2
f ( x)  2
4x  1
x  ex
f ( x) 
x  ex
y  xtgx

y  ln sen x

y  sen 1  x 2
y  tg
1 x
1 x
yx
x2
y  x ln x
1
y  
 x
1
senx
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arctgg(x)
f'(x)  g´(x) /(1  g 2 (x))
a. f(x)  arctgx
3
b. f(x)  arctg ( x  2)
2
c. f(x)  arctg( x )
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arctg(x)
f'(x) 1/(1  x 2 )
a. f(x)  1  x arctgx
2
b. f(x)  x / arctg( x)
c. f(x)  e
arctgx
tg ( x)
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arcseng(x)
f' (x)  g´(x) / 1  g ( x)
2
a. f(x)  arcsen(ln3x)
b. f(x)  arcsen ( x )
1/ 2
1/ 2
c. f(x)  x arcsen( x )
4
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arcsen(x)
a. f(x)  arcsen(x)/x
b. f(x)  arcsen ( x)
2
c. f(x)  xarcsen( x)
f'(x) 1 / 1  x 2
2
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arc cosg(x)
f' (x)   g´(x) / 1  g ( x)
2
a. f(x)  arccos(t ag2x)
b. f(x)  x
1/ 2
1/ 2
arccos(x )
c. f(x)  e / arccos(e )
2x
2x
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x)  arccos(x)
f'(x)   1 / 1  x 2
a. f(x)  (arccos(x))
cosx
b. f(x)  ln(arccos(x))
c. f(x)  e
2 arccos x
Determina la
TVI de f(x) = x – 2x en el punto x =2, x = 1, x = 0
2
0
0
0
∆x
∆y
∆y
∆x
Determina la TVI de f(x) = 4 – 2x en el punto x0 =-2, x0 =0, x0 =0´3
∆x
∆y
∆x
∆y
Determina la TVI de f(x) = 4x – 2 en el punto x0 =-1, x0 =0, x0 =-3
Determina la TVI de f(x) = x2 – 2 en el punto x0 = -1, x0 = -2, x0 = 1/2
Determina la TVI de f(x) = 1/x en el punto x0 =2, x0 =1/4, x0 =-3
∆x
∆x
∆y
∆y
Determina la TVI de f(x) = senx en el punto x0 =0, x0 =π/2, x0 = π
∆x
∆y
∆x
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