SUPERFICIES MINIMAS.
Daniel Barriga
Natalia Gaviria
Glosario básico
• Superficie - En matemática, es una variedad bidimensional, es
decir, un objeto topológico que, intuitivamente hablando, es
localmente "parecido" al plano cartesiano.[1]
• Geometría - estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas,
planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.
• Paraboloide - es una cuadrica, un tipo de superficie tridimensional.
• Hiperbólico paraboloide - Al paraboloide hiperbólico también se lo
denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de
contener rectas en su superficie.
• Parábolas – curva abierta simétrica respecto de un eje, con un solo
foco y que resulta de contar un cono circular recto por un plano
paralelo a una de sus generatrices.
• Hipérbolas – curva plana y simétrica respecto de dos planos
perpendiculares entre sí, y cuya distancia con respecto a dos
puntos o focos es constante.[2]
[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie
[2] http://www.wordreference.com/definicion/hip%E9rbola
• Superficies regladas - Superficie generada por el
movimiento de una recta, denominada generatriz,
manteniéndose en contacto con otra u otras líneas,
denominadas directrices, cumpliendo además en su
desplazamiento ciertas condiciones particulares.[3]
• Hiperboloide de revolución - Generatriz recta que gira
alrededor de una directriz no paralela y no concurrente a
ella, o también: generatriz recta que se apoya sobre dos
directrices circulares, concéntricas, planas y forma
ángulo constante con ellas.[4]
• Tensión - la fuerza interna que actúa por unidad de
superficie
[3]
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01aconceptos_geometricos/05-superficie.htm#supregala
[4] http://html.rincondelvago.com/geometria_13.html
IDEAS PRINCIPALES.
• “Toda creación arquitectónica es geométrica.”
• Una de las superficies mas aplicadas en la arquitectura ha sido el
paraboloide hiperbólico.
• El paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada se
puede construir con líneas rectas.
• Las superficies mínimas, aunque permite más grados de libertad
que el uso de los paraboloides hiperbólico, continúan teniendo
restricciones.
• Gaudí fue uno de los que la empleo, esto se puede ver en la
sagrada familia pero quien más la ha trabajado ha sido Félix
Candela.
• Feliz Candela mostro una maestría sublima en la utilización de la
paraboloides hiperbólicos, el mejor ejemplo de este es el
restaurante Los Manantiales, en la Ciudad de México.
. RELACION CON SISTEMAS
COMPLEJOS.
• La relación de las superficies mínimas con los sistemas
complejos, es muy grande como por ejemplo la relación
que existe entre las matemáticas y la arquitectura; los
arquitectos han aplicado superficies y las combinaban
claramente con sus diseños y todavía lo continúan
haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de
Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios
de la década de los 60 en empresas automovilísticas y
de construcción de aviones, ayuda al arquitecto a
diseñar superficies de manera absurda (ya que son
formas que para la gente del común es imposible de
fabricarse) con sencillez y elegancia.
• Las superficies mínimas que mas se emplea en la
arquitectura es el paraboloide hiperbólico Gaudí lo
empleo, pero Félix Candela es el que más lo ha utilizado.
Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la
hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres
lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas
superficies tienen que ver con las curvas que aparecen
como secciones con planos. En el paraboloide
hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas
secciones son parábolas y hipérbolas.
• Para Gaudi y Candela lo que mas los motivo a utilizar el
paraboloide hiperbólico es que es una superficie
curvada que se puede construir con líneas rectas, lo
único que toca hacer es variar el ángulo de inclinación
de una recta que se mueve encima de otra curva, a
estas superficies las hacen llamar superficies regladas, y
así fue que Gaudi pudo realizar el techo de la sagrada
familia a partir de un paraboloide hiperbólico en el año
de 1883.
RELACION MODELADO Y
SIMULACION.
• La relación de las superficies mínimas con el modelado
o están complicada como todo el mundo cree, para
poder modelar o construir una superficie, como un
paraboloide hiperbólico al haber encontrado los cuatro
puntos en el espacio que no estén en un mismo plano,
hay un único paraboloide hiperbólico que pasa
precisamente por estos cuatro puntos. Esta es la misma
propiedad que dice que dos puntos determinan una
única recta.
Como se construye
el paraboloide
hiperbólico a partir
de los 4 ptos como
una superficie
reglada.
• Lo que tenían que hacer los obreros era unir con rutas
de barras uno de los pares de puntos de una parte, y el
otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que
dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores
manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó muchas veces el paraboloide hiperbólico y
también otras superficies doblemente regladas como el
hiperboloide de revolución. El Arquitecto Félix Candela
fue el que se dedico a utilizar mucho las superficies su
mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los
Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la
ciudad de México. El techo está formado por ocho
paraboloides hiperbólicos.
• También el nuevo Oceanográfic (2002) de la Ciudad de las Artes y
de las Ciencias de Valencia su techo está formado por ocho
paraboloides hiperbólicos.
• Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas
definidas y estudiadas, con ecuaciones determinadas y una manera
de construirlas totalmente establecida. Esto implica una falta de
libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una
determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos
parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con
diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos
y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió
este defecto[1].
•
•[1] Modelos Matemáticos y Simulación Numérica en Arquitectura, Universidad de los Andes, Pág. 23
• Otro ejemplo sorprendente de la relación de los modelos
de las superficies mínimas es el estadio olímpico de
Munich, la cubierta de las gradas como la de la piscina
son ejemplos de las superficies mínimas. Estas
superficies, conocidas en geometría desde el tienen
área mínima. La propiedad de minimizar el área es la
que aprovechó el arquitecto Frei Otto, para levantar,
mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura
sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores
se anulaban, permitiendo a la vez una economía de
material y una forma sorprendente.
CONCLUSIONES.
• “Toda creación arquitectónica es geométrica” es de esta
forma en la cual el arquitecto se ha tomado muy enserio
el concepto de las superficies mínimas ya que se
apropian de este concepto diseñando cubiertas que
parezcan totalmente imposibles de construir.
• Las superficies mínimas, aunque tienen más facilidad de
manejarse y contienen más grados de libertad que los
paraboloides hiperbólicos, siguen teniendo algunas
restricciones. Estas restricciones aparecen por el hecho
de que, dada la frontera, la superficie mínima está
totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de
superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y tienen
que esperar que la superficie mínima que resulte de la
forma deseada.
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