Superficies
INGENIERÍA INDUSTRIAL
OCTUBRE 2010
Tema
Cilindros, superficies cuadráticas y
superficies de revolución.
Objetivo:
Identificar y graficar superficies
cilíndricas, cuadráticas y de revolución.
Clasificación de las superficies en
el espacio:
Esfera
Plano
Superficies cilíndricas o cilindros
Superficies cuadráticas
Superficies de Revolución
Esfera
Una esfera con centro en
(x0, y0, z0) y radio r se
define como el conjunto de
puntos (x,y,z) cuya distancia
a (x0, y0, z0) es r.
La ecuación canónica de una esfera es:
(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.
Plano
Un plano que contiene el punto
P(x1, y1, z1) es el conjunto de
todos los puntos Q(x, y, z) para
los que el vector PQ es
perpendicular a un vector
n = (a, b, c)
La ecuación de un plano en el espacio es:
a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0
(forma canónica)
a x + by + cz + d = 0
(ecuación general)
Superficies Cilíndricas
(Cilindros)
El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a
una curva C se llama cilindro de curva directriz C.
Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta
generatriz del cilindro.
Si la generatriz es
perpendicular al plano que
contiene la directriz, se
dice que es un cilindro
recto.
Cilindro Circular Recto
x2 + y2 = 4
Cilindros (cont.)
La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son
paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene
solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.
z 
1
y2
x2
16

z2
64
1
y  2 sen x
Superficies cuadráticas
Su ecuación es de la forma:
Ax2 + By2 + Cz2 +
Dxy + Exz + Fyz+
+ Gx + Hy + Iz + J = 0
Existen 6 tipos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elipsoide
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
Elipsoide
x2 y2 z2
 2  2 1
2
a
b
c
Trazas
xy: Elipse
xz: Elipse
yz: Elipse
x2 y2
 2 1
2
a
b
x2 z2
 2 1
2
a
c
y2 z2
 2 1
2
b
c
Hiperboloide
de una hoja
x2 y2 z2
 2  2 1
2
a
b
c
Trazas
xy: Elipse
xz: Hipérbola
yz: Hipérbola
x2 y2
 2 1
2
a
b
x2 z2
 2 1
2
a
c
y2 z2
 2 1
2
b
c
Hiperboloide
de dos hojas
x2 y2 z2
 2  2 1
2
a
b
c
Trazas
xy: Hipérbola
xz: Hipérbola
x2 y2
 2 1
2
a
b
x2 z2
 2 1
2
a
c
yz: (x=0) No existe
2
2
y
z
(|x|>0) Elipse
 2 k
2
b
c
Cono Elíptico
x2 y2 z2
 2  2 0
2
a
b
c
Trazas
xy: (z=0) Punto
(|z|>0) Elipse
xz: (y=0) Rectas
(|y|>0) Hipérbola
yz: (x=0) Rectas
(|x|>0) Hipérbola
x2 y2

k
a 2 b2
az
c
2
x
z2
 2  2 k
a
c
bz
y 
c2
2
y
z
 2  2 k
b
c
x 
Paraboloide
Elíptico
x2 y2
 2 z  0
2
a
b
Trazas
xy: (z=0) Punto
(z>0) Elipse
xz: Parábola
yz: Parábola
x2 y2
 2 k
2
a
b
x2
z  2
a
y2
z  2
b
Paraboloide
Hiperbólico
y2 x2
 2 z  0
2
b
a
Trazas
xy: (z=0) Recta
b
y 
x
a
2
2
y
x
(|z|>0) Hipérbola
 2 k
2
b
a
x2
z  2
xz: Parábola
a
yz: Parábola
y2
z  2
b
Superficies de Revolución
Si la gráfica de una función con radio r gira en
torno a uno de los ejes de coordenadas, la
ecuación de la superficie resultante tiene una de las
siguientes formas:
1. En torno al eje x:
y2 + z2 = [r(x)]2
2. En torno al eje y:
x2 + z2 = [r(y)]2
3. En torno al eje z:
x2 + y2 = [r(z)]2
Ejemplo de Superficies de
Revolución
Al girar la gráfica de la
función f(x) = x2+1 en
torno al eje x
radio
se genera la gráfica
de la función
y2 + z2 = (x2 + 1)2.
Resumes
de
superficies
Conos:
El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen
una relación de la forma
x2
y2
+
a2
z2
+
b2
x2
= 0,
c2
y2
+
a2
z2
+
c2
x2
= 0,
b2
y2
+
b2
z2
+
c2
=0
a2
z
x
y
Cono Elíptico
Paraboloide Eliptico
El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los
puntos que satisfacen una relación de la forma.
x2 y2
2z ,
+
=
c
a2 b2
x2 z2
2y ,
+
=
b
a2 c2
z
x
y
y2 z2
2x
+
=
a
b2 c2
La ecuación general del Paraboloide
elíptico en el espacio tiene la forma:
( x – h )2
a2
+
( y – k )2
= c2 ( z – j )
b2
Si a = b , se tiene un paraboloide de
revolución, que se obtiene haciendo
girar la traza xz alrededor del eje z.
Paraboloide Hiperbólico
El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los
puntos que satisfacen una relación de la forma.
x2 y2
2z ,
=
c
a2 b2
x2 z2
2y ,
=
b
a2 c2
z
y
x
y2 z2
2x
=
a
b2 c2
La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el
espacio tiene la forma
( x – h )2
a2
-
( y – k )2
b2
= c2 ( z – j )
Hiperboloide de una Hoja
El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de
todos los puntos que satisfacen una relación de la forma
x2 y2 z2
+ 2 - 2 = 1,
2
a
b
c
x2 y2 z2
x2
y2
z2
- 2 + 2 = 1, - 2 + 2 + 2 = 1
2
a
b
c
a
b
c
z
y
x
La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el
espacio es
( x – h )2
+
a2
( y – k )2
-
b2
(z – j)2
= 1
c2
Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la
traza xz alrededor del eje z.
( x – h )2
a2
-
( y – k )2
b2
+
(z – j)2
c2
= 1
Hiperboloide de dos Hojas
La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el
espacio es
( x – h )2
-
a2
( y – k )2
-
(z – j)2
b2
= 1
c2
Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la
traza xz alrededor del eje z.
z
y
x
El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de
todos los puntos que satisfacen una relación de la forma
x2
a2
-
y2
b2
-
z2
c2
= 1, -
x2
a2
+
y2
b2
-
z2
c2
= 1, -
x2
a2
-
y2
b2
+
z2
c2
=1
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