Superficies
Mínimas
U n a
M i r a d a
C u r v a
d e
l a
A r q u i t e c t u r a
Alfonso Ordosgoitia
Maria Juliana Poveda
Diseño Industrial
Pontificia Universidad Javeriana
Sistemas Complejos
Glosario
•
Geometría descriptiva: Es un conjunto de técnicas de
carácter geométrico que permite representar el espacio
tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto,
resolver en dos dimensiones los problemas espaciales,
garantizando la reversibilidad del proceso a través de la
adecuada lectura.
•
Paraboloide hiperbólico: El paraboloide hiperbólico también
se lo denomina silla de montar por su gráfica.. Tiene la
peculiaridad de contener rectas en su superficie.
•
Línea recta: es un lugar geométrico de sucesión alineada de
puntos en una misma dirección sin desviarse.
•
Plano: Superficie reglada generada por el movimiento de una
generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz
(d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la
generatriz.
•
Superficie: Configuración geométrica que posee solo dos
dimensiones.
•
Parábolas: son las curvas que se forman al cortar un cono
con un plano paralelo a una de sus aristas.
Estas superficies,
conocidas en
geometría desde el
siglo XVII, tienen la
propi ed ad d e se r,
entre todas las que
tienen la misma
fronter a, las que
tienen área mínima.
La propiedad de
minimizar el área es
la que aprovechó su
arquitecto, el
alemán Frei Otto,
p a r a l e va n ta r ,
mediante un sistema
de apoyos y cables,
una estructura
sorprendentemente
liger a donde las
tensiones interiores
se anulaban,
permitiendo a la vez
una economía de
material y una
forma atrevida.
paraboloide
hiperbólico.
U n a
d e
l a s
superficies que más
se han aplicado en
arquitectura es el
par ab olo i de
hiperbólico. Gaudí
fue uno de los que
la emplearon, pero
quien más la ha
trabajado ha sido
Félix Candela. Lo
q u e l a s c u r va s
cónicas (la elipse,
la parábola y la
hipérbole) son
para la dimensión
dos, en dimensión
tres lo son las
s u p e r f i c i e s
cuádricas. Los
nombres de estas
superficies tienen
qu e v e r c on l a s
c u r v a s
q u e
aparecen como
secciones con
p l a n o s .
Sin embargo la
p r o p i e d a d
r e a l m e n t e
importante, la que
motivó el interés
ta n t o d e G a u d í
como de Candela,
es el hecho de que
el paraboloide
hiperbólico, aun
siendo una
s u p e r f i c i e
curvada, se puede
construir con
líneas rectas. Lo
único que se tiene
que hacer es ir
variando el
á n g u l o
d e
inclinación de una
recta que se
mueve encima de
otra curva. Este
tipo de superficies
son denominadas
s u p e r f i c i e s
r e g l a d a s .
Gaudí
Veamos ex actamente
cómo construir un
p a r a b o l o i d e
hiperbólico. Dados
cuatro puntos en el
espacio que no estén
en un mismo plano, hay
un único paraboloide
hiperbólico que pasa
precisamente por
estos cuatro puntos.
É s ta e s l a m i s m a
propiedad que dice que
dos puntos determinan
una única recta. Lo
que tenían que hacer
los obreros era unir
c
o
n
sendas barras uno de
los pares de puntos de
una parte, y el otro
par opue s to por la
o
t
r
a
.
Después sólo se tiene
que dejar resbalar
otra barra sobre las
dos anteriores
manteniendo una
velocidad constante
en los extremos.
Tipos de
paraboloide hiperbólico
restaurante Los Manantiales
en la ciudad de México.
L’Oceanográfic, fotografiado durante su
construcción, muestra su estructura.
Comprobación Matemática
Hiperboloide hiperbólico
(a
a>0)
Cortes
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de
la matriz A00 son dos positivos y uno negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos
a los coordenados son curvas cónicas (en lo
siguiente se supone que el hiperboloide esta
centrado en el origen de coordenadas y tiene la
pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):
Cortes por planos z = a
(a>0)
La curva de corte es una elipse de
ecuación
donde
( a = 0, elipse de garganta )
Superficies Mínimas
retrato de un sistema
las superficies mínimas
funcionan como un sistema
complejo, en cuanto que es por
medio de la relación e
interacción de varios elementos
(líneas rectas), que todas en su
unión y distribución organizada
logran componer una superficie
que denota curvas y un estilo
orgánico, pero en realidad están
construidas a partir de un
entramado de líneas rectas, las
cuales llamamos superficies
regladas. De la misma manera
que observábamos como el motor
de un carro funciona a partir de
la colaboración interactiva de
t o d o s s us c o mp o n e n t es , l a s
superficies mínimas necesitan de
una gr an cantidad de líneas
r e c ta s o r g a n i z a d a s
( c o m p o n e n t e s ) p a r a
materializarse como superficie,
formando en su sucesión la idea
de curva, un modelo funcional
que podrá ser utilizado como una
silla para montar a caballo, o
para cubrirse de la intemperie
p o r m e d i o d e u n t e ch o , u n a
m a t e r i a l i d a d q u e s a t i s fa c e
necesidades humanas a partir de
lógicas y estructuras
g e o m é t r i c a s .
El modelado de una Superficie
Modelado
Desde un punto de vista
a rq u i t e c t ó n i c o ,
podríamos observar que
para generar este tipo de
superficies, inicialmente
el arquitecto genera un
b o c e t o
q u e
posteriormente será
reproducido a menor
escala por medio de una
m a q u e ta g e n e r a d a a
partir de líneas rectas.
Este primer acercamiento
a la materialización de la
s u p e r f i c i e ,
e s
desarrollado a partir de
un proceso de modelado
(construir dentro) , que
paralelo a este proceso
ta m b i é n p o d r í a s e r
ge n e r a d o a p a r t i r d e
programas interactivos
de 3D. Este proceso de
modelado servirá en la
creación de la superficie,
como una oportunidad de
gener ar correcciones
sobre la misma, al igual
q u e e n t r e ga r c i e r ta s
pautas sobre el modelo
f
i
n
a
l
.
Materialización
El lado creativo de la Geometría
las superficies mínimas funcionan como un sistema complejo, en cuanto que es por medio de
la relación e interacción de varios elementos (líneas rectas), que todas en su unión y
distribución organizada logran componer una superficie que denota curvas y un estilo
orgánico, pero en realidad están construidas a partir de un entramado de líneas rectas,
las cuales llamamos superficies regladas. De la misma manera que observábamos como el
motor de un carro funciona a partir de la colaboración interactiva de todos sus
componentes, las superficies mínimas necesitan de una gran cantidad de líneas rectas
organizadas (componentes) para materializarse como superficie, formando en su sucesión
la idea de curva, un modelo funcional que podrá ser utilizado como una silla para montar
a caballo, o para cubrirse de la intemperie por medio de un techo, una materialidad que
satisface necesidades humanas a partir de lógicas y estructuras geométricas.
Bibliografía
•
laboratoriomatematicas.uniandes.edu.co/bioing/cuadernillo.pdf
•
www.upc.es/
•
www.fi.uba.ar/
•
cursandomatematicas.galeon.com/
•
es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
•
www.uv.es/metode/
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Diapositiva 1 - Alfonso Ordosgoitia