Capítulo 3: EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
1. Los conductores, los semiconductores y los dieléctricos
2. Los sólidos cristalinos, los policristalinos y los amorfos
3. El dipolo eléctrico
4. La polarización
5. La generalización de la ley de Gauss
6. Los dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
7. Las condiciones de frontera para D y E
8. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática en medios
materiales
9. La densidad de energía del campo eléctrico
E 

0
E 0
•Las cargas eléctricas son “libres”. Las podemos
poner y quitar; tenemos control sobre ellas.
•Los conductores son sencillos. Sus propiedades
hacen que solo aparezcan como condiciones a la
frontera.
La polarización es el campo vectorial
que resulta de los momentos dipolares
eléctricos permanentes o inducidos en
un material dieléctrico.
El Vector de Polarización P se define
como el momento dipolar eléctrico por
unidad de volumen.
 (r ) 
1
4  0

S (V )
 (r ) 
4  0
r  r
dS  
1
4  0

V
   P 
r  r
dV 
 P    P
 P  P  nˆ
1
P  nˆ

S (V )
 P ( r )
r  r
dS  
1
4  0

V
 P ( r )
r  r
dV 
E ( r )     r 
E (r ) 
1
4  0

S (V )
 P ( r ) r  r 
r  r
2
r  r
dS  
1
4  0

V
 P ( r ) r  r 
r  r
2
r  r
dV 
 P  P  nˆ
 P    P
QP  0

D  dS  Q libre
S
  D r
   libre  r 
D  0E  P
  D   libre
E 0
R e laciones constitutivas
D  0E  P
P  P(E )
•Ferroeléctricos
Son los materiales que tienen una
polarización neta (Electretos) o que
cuando los pones en un campo mantienen
la polarización, una vez retirado el campo
•No-ferroeléctricos
Cuando se retira el campo la polarización
vuelve a cero
D  0E  P
P  P(E)
1. M ateriales N o-ferroelectricos
P ( E )   0 χ ( E , r ) E ; χ ( E , r ) en general es una m a tri z
(E n los m aterial es fer r oelectricos P  0 cuando E  0)
D  0E  P
P  P( E )
2. M ateriales isotrópicos
P(E )    (E ,r )E
0
;  ( E , r ) es un escalar
N o hay una dirección prefe rencial.
E l cam po E establece una
D  0E  P
P  P(E )
3. M ateriales lineales
P ( E )    (r ) E
0
 ( r ) es un escal a r
P   0  (r ) E
E cuaciones de M axw ell para m edios m ateriales
  D   li bre
E 0
R e laciones constitutivas
D r    r  E r 
   0 1    r  
P   0 E
   0 1   
D (r )   E (r )
  E (r ) 
l

 es una constante
2
1
 libre
E1, T  E 2 , T
Las componentes tangenciales del campo
eléctrico son continuas
2
1
D
2
 libre

 D1  nˆ 2   libre
La componente normal del vector de
desplazamiento eléctrico tiene una
discontinuidad igual a la carga superficie libre
 D  D   nˆ  
  E   E   nˆ  
2
2
Si
1
2
2
1
1
 lib re  0
lib re
2
lib re
  1 E 1, n   2 E 2 , n  0
co m o
E 1, n
E 2,n

2
1
  D   lib re
E  0
D  0E  P
E0
P

a

E0
r
  0
2
 
 
1
 
0
 r   2
 sin 
 2
2
2
2
r r
r sin    
   r sin   
1 
2
1
2
  r , ,   

l

l 0 m  l
Ylm   ,   
 A r l  B r   l  1  Y   ,  
lm
 lm
 lm
2l  1  l  m !
4
 l  m !
Pl
m
 cos   exp  im 
Ylm   ,   
2l  1  l  m !
4
 l  m !
Pl
m
 cos   exp  im 
S i el problem a tiene sim etría azim utal, es decir,
la solución no debe depender de  , entonc es
sólo podem os tener los térm inos con m  0
Yl 0   ,   
2l  1  l  0 !
4
 l  0 !
Pl
0
 cos   exp  0 
m  0
Yl 0   ,   
  r ,  


l0
1
4
Pl
0
 co s  
 A r l  B r   l  1  P  cos 
l
 l
 l

E0
P

a

E0
r
E0
 out
 in
E0
  r ,  


l0
 A r l  B r   l  1  P  cos 
l
 l
 l
E l p o ten cial  d eb e ser fin ito en r  0,
1
p o r lo tan to lo s co eficien tes d e
r
l 1
d eb en ser cero d en tro d e la esfera, y
 in  r , 


l0
Al r Pl  co s 
l


 out  r ,   


l0

z 
B r  C r
l
 l
l
  l  1
 P  cos 
 l
  E 0 z   E 0 r cos 

 out  r ,   


l0
 B r l  C r   l  1  P  cos 
l
 l
 l

B l  0 para todo l  1
B1   E 0
 out  r ,     E 0 r cos  

C r
l
l0
  l  1
Pl  cos 

C om ponente tangencial de E

1   in
a 
 
ra
1   out
a 
ra
C om ponente norm al de D

  in
r
 0
ra
  out
r
ra
 in  r , 




Al r Pl  co s 
l

l0
  in  r , 

  in  r , 



   Al r Pl  co s   sin 
l
l0


   Al a Pl  cos   sin 
l
ra
l0
 out  r ,     E 0 r cos  

C r
  l  1
l
Pl  cos 

l0
  out  r , 

  out  r , 



 E 0 r sin  
  l  1
C r
l
Pl  cos   sin 
l0


 E 0 a sin  
ra
C a
l
l0
  l  1
Pl  cos   sin 
C om ponente tangencial de E

1   in
a 
 
ra
1   out
a 

  Al a Pl  cos   sin   E 0 a sin  
l
l0
 A1 a  E 0 a 
A1   E 0 
C1
a
3
C1
a
2
ra

 Cla
  l  1
l0
Al a  C l a
l
Al 
Pl  cos   sin 
Cl
a
2 l 1
  l  1
para
l 1
 in  r , 


Al r Pl  co s 
l

l0
  in  r , 
r
  in  r , 
r



 lA r
l 1
l
Pl  co s 

l0



ra
 lA a
l
l0
l 1
Pl  cos 

 out  r ,     E 0 r cos  

C r
  l  1
l
Pl  cos 

Pl  cos 

l0
  out  r , 
r


  E 0 cos  
l
l0
  out  r ,  
r
  l  1 C r
l 2

  E 0 cos     l  1  C l a
ra
l0
l  2
Pl  cos  
C om ponente norm al de D


  lAl a
l0
l 1
  in
r
 0
  out
r
ra
Pl  cos     E 0 cos  

ra
  l  1 C l a
l0
l  2
Pl  cos 


  lAl a
l 1
Pl  cos     E 0 cos  
l0

  l  1 C l a
l0
P ara l  1 ten em o s:

0
A1   E 0  2
C1
a
3
l  2
Pl  cos 


  lAl a
l 1
Pl  cos     E 0 cos  
l0

  l  1 C a
l
l  2
Pl  cos 
l0
P ara l  1 ten em o s:

0

0

0
lAl a
l 1
   l  1 C l a
lAl    l  1  C l a
lAl    l  1 
2 l 1
Cl
a
l2
2 l 1
p ara
l 1

A1   E 0 
Al 

0

0
Cl
a
C1
a
3
para
2 l 1
A1   E 0  2
lAl    l  1 
Cl
a
2 l 1
l 1
C1
a
3
p ara
l 1
Al 

0
0
a
2 l 1
lAl    l  1 
Al 

Cl
Cl
a
2 l 1
Cl
a
2 l 1
 0
lAl   l  1 
Cl
a
2 l 1
 0
D eb em o s reso lver el sistem a d e ecu acio n e s sim u ltan eas
Al 

0
Cl
a
2 l 1
 0
lAl   l  1 
Cl
a
2 l 1
 0
p ara Al y C l
S i el d eterm in an te d el sistem a es d ifere n te d e cero ,
la u n ica so lu ció n es la trivial Al  C l  0
S i el d eterm i n an te d el sistem a es cero ,
se tien e u n a "fam ilia" d e so lu cio n es
Al 

0
Cl
a
2 l 1
 0
lAl   l  1 
Cl
a
2 l 1
 0
E l determ inante es
1

1
a

0
l
2 l 1
l 1
a
2 l 1

l 1
a
2 l 1


0 a
l
l
2 l 1


0
a
l 1
2 l 1
P ara q u e el d eterm in an te sea cero se n ec esita q u e
l

0
a
l 1
 0
2 l 1
o sea q u e
l  
1

0
1
lo cu al es im p o sib le p o rq u e l es u n en ter o ,
p o r tan to
Al  C l  0
para toda l  1
A1   E 0 

0
C1
a
3
A1   E 0  2
C1
a
3




3
 E0
A1   
2  



0 



C1  





1 
0
 a3E0

 2 
0

 in  r , 

 out  r , 


3
 
 E 0 r co s 
 2   /0 

  /0 1
  E 0 r co s   
  /0  2
 3
co s 
 a E0
2
r

D en tro d e la esfera ten em o s
 in  
3
2   /0
E 0 r co s 
o en co o rd en ad as cartesian as
 in  
3
2   /0
E0 z
 in  
3
2   /0
E0 z
P ara calcu lar el cam p o
E   
o sea
    
E  
,
,

 x y z 
 in  
E in 
3
2   /0
3
2   /0
E0 z
E 0 kˆ
 in  
E in 
1)
3
2   /0
3
2   /0
E in 
2) Si 
E0 z
E 0 kˆ
3
2   /0
0
E0  E0
E in  0
 out   E 0 z 
 /0 1
 /0  2
3
a E0
cos 
r
2
D efiniendo (por ahora arbitrariam ente)
d e sfera 
 /0 1
 /0  2
3
a E0
nos queda
 out   E 0 z  d esfer a
co s 
r
2
 (r ) 
Q 

1
Q
4  0 r

1
rˆ
4  0 r
2
d
si r
r
 ( r  )dV 
V
y
d 

 ( r ) r dV 
V
es el m om ento dipolar electrico de la distribucion.

d ip o lo
(r ) 
 dipolo ( r ) 
1
4  0
1
4  0
rˆ  d
2
r
d cos 
r
2
 out   E 0 z  d esfera
Campo constante original
d esfera  4  0
cos 
r
2
Campo del dipolo formado
por la esfera
 /0 1
 /0  2
3
a E0
Calculo del vector de polarización
D  0E  P
 E  0E  P
P     0  E
Calculo del vector de polarización
P     0  E
E in 
3
2   /0
E 0 kˆ
  /0 1  ˆ
 K 1  ˆ
P  3 0 
 E 0 k  3 0 
 E0k
K 2
  /0  2 
  /0 1  ˆ
P  3 0 
 E0k
  /0  2 
  /0 1
 P dV  3 0   /   2
0

esfera
  /0 1
 3 0 
  /0  2
d esfera 

esfera
P dV  4  0

 E 0  dV 
 esfera

4 3
 /0 1 3
a  4  0
a E0
 E0
3
 /0  2

 /0 1
 /0  2
3
a E0
La densidad volumétrica de carga de polarización
 P    P
P  0 E
 P   0   E
 P   0         0  
2
 P   0  
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
 P   0  
2
 
2
  
2
x
 in  
2
 
2

y
2

3
2   /0
P  0
 
2
z
E0 z
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
 P   0  
2
 
 
1
 
  
 r   2
 sin 
 2
2
2
2
r r
r sin    
   r sin   
2
1 
2
1
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
 in  
3
2   /0
E 0 r cos 
 
 
1
 
  
 r   2
 sin 
 2
2
2
2
r r
r sin    
   r sin   
2
1 
2
2
1
 
 
  
 r   2
 sin 

2
r r
r sin    
 
2
1 
2
1
La densidad volumétrica de carga de polarización
 in  
3
2   /0
E 0 r cos 
 
 
  
 r   2
 sin 

2
r r
r sin    
 
1 
2
2
1
 
 cos  
  
r cos   
 sin 

2 
r r
r sin    
 
2
1 
2
2
1
La densidad volumétrica de carga de polarización
 
 cos  
  
r cos   
 sin 

2 
r r
r sin    
 
2
1 
2
1
2
  
2
2 cos 

r
  
2
1
r sin   
2 cos 
r


 sin  
2
2 sin  cos 
r sin 
La densidad volumétrica de carga de polarización
  
2
2 cos 

2 cos 
r
  0
2
P  0
r
La densidad superficial de carga de polarización
 P  P  nˆ
nˆ  rˆ
 P  P  rˆ
  /0 1
P  3 0 
  /0  2

ˆ
E
k
 0

La densidad superficial de carga de polarización
  /0 1
P  3 0 
  /0  2

ˆ
E
k
 0

P
  /0 1
 3 0 
  /0  2

ˆ  rˆ
E
k
 0

P
  /0 1
 3 0 
  /0  2

 E 0 cos 

La densidad superficial de carga de polarización
P

 ( r ,  ,  )   0 cos 
+
_
d 
4 0 a
3
3
kˆ
E n este caso
0
  /0 1 
 3 0 
 E0
  /0  2 
S u stitu yen d o en la ex p resió n
d 
4  0 a
3
kˆ
3
q u e ten íam o s p ara la d istrib u ció n d e car g a,
o b ten em o s
d 
  /0 1  3
ˆ
4  0 
a
E
k

0
  /0  2 
El campo eléctrico fuera de la esfera
 out   E 0 r cos  
 /0 1
 /0  2
3
a E0
E   

1 
1

ˆ
ˆ
   rˆ


r
r 
r sin   
cos 
r
2
El campo eléctrico fuera de la esfera
 out   E 0 r cos  
E out  r , 

 /0 1
 /0  2
3
a E0
cos 
r
2

 /0 1 3
cos  
 rˆ  E 0 cos   2
a E0

3
 /0  2
r


 1
 /0 1 3
sin  
ˆ
    E 0 r sin  
a E0

2
 /0  2
r
 r

El campo eléctrico fuera de la esfera
E out  r , 


 /  0  1 3 cos  
 rˆ  E 0 cos   2
a E0

3
 /0  2
r




1

/


1
sin

3
0
 ˆ   E 0 r sin  
a E0

2
 /0  2
r 
 r
3

 /0 1 a  ˆ
ˆ 0 cos  1  2
E out  r ,    rE
  E 0 sin 
3 
 /0  2 r 

3

 /0 1 a 
 1 
2 
 /0  2 r 

E0
P
a

r

E0
C om ponente tangencial de E

1   in
a 
 
ra
1   out
a 
ra
C om ponente norm al de D
 0
  in
r
 
ra
  out
r
ra
C om ponente tangencial de E

1   in
a 
 
ra
1   out
a 
ra
C om ponente norm al de D

 0   in

r
 
ra
  out
r
ra
¡OJO: Caso anterior!
C om ponente tangencial de E

1   in
a 
 
ra
1   out
a 
ra
C o m p o n en te n o rm al d e D

   in
 0 r
 
ra
  out
r
ra
A plica todo haciendo el cam bio

0

0

E in 
D el caso anterior:
E in 
E in 
3
2   0
3
2   0
3
2   /0
E 0 kˆ
E0  E0
E 0 kˆ
D el caso anterior:
d esfera  4  0
d hueco  4  0
 /0 1
 /0  2
1   /0
1  2 /  0
3
3
a E0
a E0
q1 
r1
W1  0
W  P1  P2 
Qq  1 1 
  Q  E  dl 
  
4  0  r1 r2 
C  P1  P2 
S i a h o ra to m a m o s co m o p u n to d e re fe re n cia e l
in fin ito , te n e m o s q u e h a ce r r2   , y
q1 
r12
r1
W2 
r2
1
4  0
q2
q1
r12
q 2
q3 
r3
q1 
r1
r2
q 2
 q1
q2 
W3 
q3 


4  0
r2 3 
 r1 3
1
q3 
r3
q1 
r1
r2
q 2
r4
q4 
 q1
q2
q3 
W4 
q4 



4  0
r2 4
r3 4 
 r1 4
1
W T  W1  W 2  W 3  W 4
WT  0 
1
4  0
q2
q1
r12
 q1
 q1
q2 
1
q2
q3 

q3 

q4 




4  0  r13 r23  4  0
r24
r34 
 r14
1
 q1 q 2
q1 q 3
q1 q 4
q2q3 q2q4
q3q 4 
WT 







4  0  r12
r13
r14
r23
r24
r34 
1
WT 
1
4  0
4

i 1 j  i
qi q j
rij
WT 
WT 
N
1
4  0
1

qi q j
i 1 j  i
1
2 4  0
N
N

i 1 j 1
ji
rij
qi q j
ri j
q1 q 3
q1 q 4
q2 q3 q 2 q4
q3q 4 
 q1 q 2



 r  r  r  r
r24
r34
1 1
12
13
14
23


WT 
q4q2
q4 q3 
4  0 2  q 2 q1 q 3 q1 q 4 q1 q 3 q 2


 r  r  r  r

r
r
31
41
32
42
43
 21

WT 
WT 
1
1
2 4  0
N
1
1
2 4  0
N

i 1 j 1
ji
WT 
qi q j
N
i 1
j 1
ji
qi q j


rij
1
N
1
ri j
1
2 4  0
N
q  r 

2
i
i 1
i
N
N
q
i
i 1
j 1
ji
qj
rij
WT 
1
1
2 4  0
N
N
qi q j
i 1
j 1
ji
rij


WT 
1
1
2 4  0

  r1    r2 
r2  r1
d V1 d V 2
WT 
1
N
1
2 4  0

WT 
1
2
N

i 1 j 1
ji
qi q j
rij
q  (r )

2
i
i 1
(R eitz M ilford, sección 6.2)

(
r
)

(
r
)
dV

V

1
N
i
WT 
1
N
q  (r ) 

2
i
i
i 1
+
1
2


(
r
)

(
r
)
d
V


V
1
 ( r ) ( r ) d S

2
S
+
1
2

(
r
)

(
r
)
d
l



La energía acum ulada en el cam po electro stático es
WT 
1
 ( r ) ( r ) dV

2
V
U sando la prim era ecuación de M axw ell
E 

0
O btenem os
WT 
0
2
    E   ( r ) dV
V
La expresión
WT 
0
2
    E   ( r ) dV
V
puede ser integrada por partes
U sando




   A     A  A  




Es decir,
   E     E  E  
D espejando
    E      E   E   
D e la segunda ecuación de M axw ell
E 0
sabem os que existe  tal que
E   
Sustituyendo en
O btenem os
    E      E   E   
    E      E   E
2
    E      E   E
S ustituyendo
WT 
en
0
2
2
    E   ( r ) dV
V
obtenem os
0






    E  E 2  dV  0    E dV  0
WT 



2 V
2 V
2
 E dV
2
V
     E  dV
U sando el teorem a de G auss

V
y esta integral resulta
S (V )
S (V )   
  E  dS
S (V )
A sí que finalm en te
WT 
0
2
  E  dS
E
dV

2
V
0
0
WT 
2
E
d
V

2
V
=  udV
V
u

0
2
E
2
a


4 a
 ρ r dV  Q  3
esfera
3

r
Se construye
cascarón a
cascarón
dW 
1
q  r  dq
4  0
r
q r  
4 r
dq  r 
3


3
 4  r
2
dr
dq  r   4 r  dr
2


2
q r 
 4 πr ρdr
1
1  4 r
4  4
dW 
dq



r dr

4  0
r
4  0  3
r
3 0

3
W 
4 
3 0
2 a
r
0
2
4  a
2
4
dr 
15  0
5
W 
Q 
4 a
4 
3 0
2 a
4  a
2
r
4
dr 
0
5
1 5 0
3

3
2
 16  a
 9
9
1  4 a
1
9
2 
2
W 
 



Q


9

 60  0 a 4  0  3
 15 a 4  0 15 a
2
6
3
W 
1
3
4  0 5 a
Q
2

4 a
 ρ r dV  Q  3
esfera
a
3


E r

r

ˆ
Q
r
3
1 
 a


4  0  Q
rˆ
2

r
r  a
r  a
a


4 a
 ρ  r dV  Q  3
esfera
W 
0
2

T odo el
espacio
2
3
E dV

W 
0
2

2
E dV
T odo el
espacio
 r
Q 3 rˆ r  a

1  a
E r  

4  0  Q
rˆ
r a
2
 r
2
2
2

2
0  1 
0  1 
 r  2
Q  2
W 

 4    Q 3  r dr  
 4    2  r dr
2  4  0 
a 
2  4  0 
r 
0 
a
a
2
2
2

2
0  1 
0  1 
 r  2
Q  2
W 

 4    Q 3  r dr  
 4    2  r dr
2  4  0 
a 
2  4  0 
r 
0 
a

1
Q
8 0 a
a
2 a
 r dr 
4
6
0

1
8 0
Q
2
dr
r
a
2
 a5
1

 

6
8 0  5 a
a
Q
2
2
2
 a5
1
Q
11
Q
3

  
  1 

6
8 0  5 a
a
8 0 a  5
4  0 5 a

Q
2
W 
1
3
4  0 5 a
Q
2
WT 
1
 ( r ) ( r ) d V

2
V
0
 (r )  
 0
r  a
r  a
2

 2 r 
 2  0  a 

1 
3 

 (r ) 

3
4  0 
4  0 a 1

3
r

r  a
r  a
WT 
1
 ( r ) ( r ) dV

2
V
2

 2
r
2
2
WT 
2  0   a 
 r sin  drd  d  
2 4  0
3 
V 
WT 
1
1
 0
2 a
0
2
3
5
2
 2 r2  2
 0  2 a
1  a    0
  a  3  r dr     a  3  3  5    3



0
0
0 

4  0 a
2
WT 
WT 
5
15  0
1
3Q
4  0 5 a
2
2
2
 4 a

9
9Q
1 3Q

0 


 3
 60  0 a 60  0 a 4  0 5 a
3
2
 5 a5 
a 

5 

0
W 
2

T odo el
espacio
1
E r  
2 
2
q
4  0 r
2 
q
 1 
2
W 
r dr  2  

2 0
2
r 
q
2
E dV
dr
r
0
2
2
rˆ
2

2
q 1
q 1

  
 
2  r 0
2  r r0
W  
La energía en el campo de una carga puntual es “infinita”
a

4 a
 ρ r dV  Q  3
esfera
W 

0
2

T odo el
espacio
W 
1
4 0
3Q
5
2
1
a
 
a0
2
3
E dV

¿Cómo se resuelve este problema?
•La idea de que la energía está
“localizada” en el campo es incorrecta
•En realidad los electrones no son
puntuales
•El electromagnetismo falla a distancias
pequeñas debido a los efectos
cuánticos
q1 
r1
W1  0
¡Aquí está la bronca!
WT 
1
1
2 4  0
N
N

qi q j
i 1 j 1
ji
rij

1
N
q  (r )

2
i
i 1

WT 
1
2

(
r
)

(
r
)
dV

V
i
WT 
1
1
2 4  0
N
N

i 1 j 1
ji
qi q j
rij

1
N
q  (r )

2
i
i
i 1

WT 
1
 ( r ) ( r ) dV


2
V
Falta la energía de interacción de la carga consigo
misma. La energía para “formar” la carga
W 
1
q
2
4 0 r
P ero es obvio que
W 
0
2

T odo el
espacio
E dV  0
2
¡Otra vez!
WT 
1
1
2 4  0
N
N

qi q j
i 1 j 1
ji
rij

1
N
q  (r )

2
i
i 1

WT 
1
2

(
r
)

(
r
)
dV

V
i
Falta la energía de interacción de la carga
consigo misma. La energía para “formar” la
carga.
La energía que se usa para formar las
cargas hace que el total sea positivo
W 
0
2

T odo el
espacio
E dV  0
2
n
E 
E
i
n
n
i 1
n
E 
2
E

2
i
i 1
W 
i
Ej
i 1 j 1
ji
0
2
W  WS 
E
0
2

2
E dV
T odo el
espacio
n
n
E
i 1 j 1
ji
i
 E j dV
W  WS 
W  WS 
0
0
2
2
n

i 1
n

i 1

 n
 dV

E
E
j
 i

1

j


i

j




n
    dV
E
j
 i 

j

1


j

i


W  WS 
W  WS 
0
2
0
2
W  WS 
n

i 1


 

n


n
  Ei   j  


j

1


ji


n
 E 
i
i 1
0
2
j
 dS 
j 1
ji
n
1
n
n




2
i 1
n
 E
i
i 1 j 1
ji





E
dV
 j
i

j 1

ji
j
n
 dS 
1
j
q i  r  ri  dV
j 1
ji
n
n
q  r 


2
i
i 1 j 1
ji
j
i
W  WS 
0
2
n
n
 E
i
j
 dS 
i 1 j 1
ji
E
i
W  WS 
j
1
n
q  r 


2
i
i 1 j 1
ji
 dS  0
n
1
n
q  r 


2
i
j
i 1 j 1
ji
W  WS 
1
n
n
q  r 

2
i
i 1
i
i
j
i
W  WS 
n
1
q  r 

2
i
i
i 1
WS 
0
2
n
 
2
i
E dV
i  1 T o d o el
esp acio
WT 
1
N
q  r 

2
i
i 1
i
W  WS 
1
n
q  r 

2
i
i
i 1
WS 
0
2
n
 
2
E i dV
i  1 T o d o el
esp acio
WS  0

W  WI
W   q  r
W 


r

r
d
V





W 
   r   r  d V
D  
      D 
W 
     D  dV
 W       D  dV       D dV    D    dV
 W       D dV    D    dV
     D dV

E   
 W    D  E dV
  D  dS
0
 W    D  E dV
D
W 
 dV  E   D
0
D
W 
 dV  E   D
0
S i el m ed io es lin eal:


E  D  E   E   E  E 

1
2
  E  E  
1
2
  E
E  D 
1
2
2

1
2
 E  D
 E  D
D
W 
 dV  E   D
0
S i el m ed io es lin eal
E  D 
1
2
W 
1
 E  D
E  D dV

2
Medios lineales
W 
1
2
u 
E

D
dV

1
2
E D
Medios lineales
W 
1
E  D dV

2
E   
W 
1
2




D
dV



   D  dV


2
1

    D  dV

2
1
Medios lineales
W 
   D  dV


2
1

    D  dV

2
1



D
dV


D

dS

0




W 
    D  dV

2
1
Medios lineales
W 
1
2



D
dV



  D   lib re
W 
1
  r    r  dV

2
Medios lineales
W 
u 
1
E  D dV

2
1
E D
2
W 
1
2

r

r
dV





E 
V
l
W 
0 V
2 l
2
Al
2
q
q
A
C 

 0
1 q
V
l
l
0 A
W 
0
V
A
2
2
W 
1
2
l
CV
2

1
2
CV
2
W 
1
CV
2
W 
1
QV
2
W 
1Q
2
2 C
2
W 
W 

1
E  D dV

2
 V 
2
  Al
2 l 
1 A
V
2
2 l

1 
2 0
CV
2


0
W0  W0
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