Tema B4. ¿Cómo se calcula el
intervalo de confianza de la
proporción de una muestra?
Ejemplo de ejercicio
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?

Objetivo:
•
Calcular el intervalo de confianza
de la proporción de una muestra.
 Ejemplo:
“En el barómetro de enero
de 2011 del CIS se ha
obtenido que a 447
personas José Luiz
Rodríguez Zapatero les
inspira personalmente
mucha o bastante
confianza, mientras que
Mariano Rajoy inspira
confianza a 478 personas
de un total de 2478
personas encuestadas.
¿Cuál sería el intervalo
de confianza al 95%?”
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
 ¿Cuáles son los
datos?
Revisa el enunciado
del ejercicio y
apunta los datos
en el recuadro de
la derecha.
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?

Los datos son:


Proporciones

Número de casos 2478
 Zp = 447/2478 = 0,18
 Raj= 478/2478 = 0,19
Rajoy inspira confianza a un
19 % de las personas
encuestadas y Zapatero
a un 18%.
En el barómetro de enero de
2011 del CIS se ha
obtenido que a 447
personas José Luiz
Rodríguez Zapatero les
inspira personalmente
mucha o bastante
confianza, mientras que
Mariano Rajoy inspira
confianza a 478 personas
de un total de 2478
personas encuestadas.
¿Cuál sería el intervalo
de confianza al 95%?
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
 ¿Cuál es la
pregunta?
Revisa el enunciado
del ejercicio y
apunta los datos
en el recuadro de
la derecha.
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
 La pregunta es:
 ¿Cuál sería el intervalo de confianza al
95%?”
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
 ¿Qué pasos debo
dar para resolver
la pregunta?
Indica los pasos a
continuación:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
…
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?

¿Qué pasos debo dar para
resolver la pregunta?
Los pasos son:
Los símbolos que emplearemos para referirnos a
los parámetros (de la población) y a los
estadísticos (de la muestra) son:
1. Conocer los supuestos
que debo aplicar
2. Aplicar la fórmula
adecuada (en función
de los supuestos) para
el cálculo del intervalo
3. Realizar el cálculo
4. Explicar el resultado
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
1.
Conocer los supuestos que debo
aplicar
1.
Debo saber si la muestra tiene un tamaño grande
a)
Si la muestra tiene un tamaño grande
puedo aplicar la Ley de los Grandes
Números. Para saber si n es grande deben
cumplirse estas dos condiciones:
1. p n ≥ 5
2. (1-p) n ≥ 5
b)
2.
b)
3.
En un barómetro CIS la población es la población
de España, luego es infinita
Debo conocer si trabajo con una población finita
a)
En el ejemplo:
1.
p n ≥ 5 es 478 (cumple la condición)
2.
(1-p) n ≥ 5 es 2000 (cumple la condición), luego n
es grande
Si la muestra es pequeña no puedo calcular
el intervalo de confianza (tendría que
aplicar otros métodos alternativos no
explicados en la asignatura).
La norma que empleamos para saber si la
población es finita es que el número de
casos sea inferior a 100.000 (en este caso
debo comprobar el paso 3)
Si la población es mayor de 100.000
(infinita) no debo comprobar el paso 3.
Debo conocer si trabajo con una muestra con
reemplazamiento o sin reempazamiento
a)
b)
En poblaciones finitas si el muestreo es sin
reemplazamiento hay que aplicar la
corrección de finitud.
En poblaciones finitas si el muestreo es con
reemplazamiento no hay que aplicar la
corrección de finitud.
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
2. Aplicar la fórmula adecuada (en función de los supuestos) para
el cálculo del intervalo
n es grande (LGN)
Población infinita
n es grande (LGN)
Población finita (muestreo sin
reemplazamiento)
El valor z se establece en función del nivel
de confianza (en el ejemplo: 95%) y se
obtiene en la tabla de la curva normal
Z=1,96 se relaciona con un área de 0,475. Al ser
simétrica la curva supone un área de 0,475*2=0,950, es
decir, un 95% de probabilidad o nivel de confianza.
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
2. Aplicar la fórmula adecuada (en función de los supuestos) para
el cálculo del intervalo y 3. Realizar el cálculo
En nuestro ejemplo, al ser una
población infinita y un n grande
optamos por la fórmula:
Proporciones
Zp = 447/2478 = 0,18
Raj= 478/2478 = 0,19
Número de casos
2478 Z95=1,960
IC (π)= 0,18±0,015
IC [0,164; 0,195] para Zp
IC (π)= 0,19±0,016
IC [0,174; 0,206] para Rajoy
Tema B4. ¿Cómo se calcula el intervalo de
confianza de la proporción de una muestra?
4. Explicar el resultado.
Hemos obtenido que el IC95 es
[0,164; 0,195] para Zp y [0,174;
Por tanto, entre un 16,4% y un
0,206] para Rajoy
19,5% confía en Zapatero y entre
un 17,4% y un 20,6% confía en
Rajoy.
Puesto que ambos intervalos se
solapan se trata de un empate
técnico. El nivel de confianza de
ambos intervalos es del 95%
Estos datos son reales, provienen del Barómetro de enero de 2011 del
CIS, preguntas 18 y 19:
http://www.cis.es/cis/opencms/-Archivos/Marginales/2840_2859/2859/Cru285900SEXO.html
II. Parte. Prueba de hipótesis para
una proporción
 Pongamos que un portavoz del PSOE
haya señalado que en Zapatero confía
una de cada cinco personas (esto es,
el 20%)
 La hipótesis quedaría planteada
como:
 H0:
 H1:
Π = 0,20
Π ≠ 0,20
II. Parte. Prueba de hipótesis para
una proporción
 Se establece un nivel de significación

Habitualmente alfa = 0,05
 Se plantea una prueba estadística
Que sigue una distribución N(0,1)
si H0 es cierta
 Se establece la región de rechazo
La región de rechazo, con un nivel de significación de 0,05
se situaría fuera del intervalo de valores z (-1,96;1,96)
II. Parte. Prueba de hipótesis para
una proporción
 Se resuelve la prueba
 Z = (0,18-0,20) / 0,008 = -2,5
 Se comprueba si pertenece o no a la
región de rechazo
 -2,5 es mayor que -1,96 por lo que
pertenece a la región de rechazo (se
debe rechazar la hipótesis nula)
 Se establece una conclusión
Zapatero no recibe la confianza de una de cada cinco
personas, con un nivel de significación del 0,05%.
II. Parte. Prueba de hipótesis para
una proporción
 ¿y qué ocurre con Rajoy?
 Las hipótesis, la región de rechazo y la
prueba son idénticas.
 El valor de z es
z = (0,19-0,20) /0,008= -1,26
 -1,26 es menor que -1,96 por lo que no
pertenece a la región de rechazo. En este caso sí
que podría afirmar, que recibe la confianza de 1
de cada 5 personas (que, por otro lado, no es
una afirmación que políticamente interese
realizar).
Calculo de intervalos de
proporciones con un ordenador.
Para calcular los intervalos de confianza puedes construir una
tabla en una hoja de cálculo para Open Office Calc o Excel
A
Número
B
C
D
E
F
n
p
1-p
z95
Error
suce
sos
típico
(con
n)
G
H
Lím inf 95
Lím sup 95
Lo que ves
1300
2000
0,65
0,35
1,96
0,01066536
0,629
0,671
Lo
1300
2000
= A2/B2
=1-C2
1,96
=RAIZ((C2*D2)
/B2)
=C2-(E2*F2)
'=C2+(E2*F2)
que
escri
bes
El ejemplo muestra como calcular el IC al 95% de la
proporción 1300/2000 = 0,65
El resultado es IC [0,63;0,67].
Ejercicios Cuaderno de Ejercicios
Ejercicio básico 1 (3,5 puntos sobre
10)
1. Prepara una hoja de cálculo en
OpenOffice Calc, Excel o similar
para calcular intervalos de
confianza al 95% y al 99% (con
tres decimales). Calcula los
intervalos de confianza para los
casos de la columna de la
derecha.
Imprime la hoja de resultados y
grápala en tu Cuaderno de
Ejercicios. Explica los resultados.
¿Se cumplen en todos los casos
los supuestos para poder calcular
los intervalos de confianza?. ¿Qué
significado tendría un límite
inferior cuyo resultado fuera
negativo?.
Ejercicios Cuaderno de Ejercicios
Ejercicio básico 2 (3,5 puntos sobre 10)

Calcula ahora el intervalo de confianza
(IC) al 95% y al 99% para las
siguientes muestras.

Imprime la hoja de resultados y
grápala en tu Cuaderno de Ejercicios.
Explica los resultados. ¿Se cumplen en
todos los casos los supuestos para
poder calcular los intervalos de
confianza?.

Responde a las siguientes preguntas:




- ¿Cuál es el efecto del tamaño
muestral sobre el IC?
- ¿Cuál es el efecto del nivel de
confianza sobre el IC?
- ¿Qué le ocurre al error típico cuando p
es menor que 0,5 o mayor que 0,5
- ¿Qué significado tendría un límite
inferior cuyo resultado fuera negativo?
Ejercicios Cuaderno de Ejercicios
Ejercicio recomendado (3 puntos sobre 10).
Se selecciona una muestra aleatoria simple de
n=500 empleados de lo N= 5.000 que
trabajan en un hospital. El hospital está
pensando instalar un servicio de guardería,
y para saber cuántos empleados estarían
interesados en este servicio se realiza una
encuesta: 235 contestan afirmativamente.
Calcula el intervalo de confianza al 95%
para el porcentaje de empleados del
hospital que utilizarían la guardería.
Sánchez Carrión, 2008
Ejercicios de repaso


Estos ejercicios son de repaso. No se pide que los incluyas
en tu Cuaderno de Ejercicios.
“4. Cada vez que se van a celebrar elecciones generales los
periódicos encargan encuestas para sondear la intención de
voto de los españoles. Dos de estas encuestas, ambas
hechas con muestras de 1.200 personas, obtienen
resultados distintos para la intención de voto de un mismo
partido. Mientras que en la encuesta A el partido obtiene el
30% de los votos, en la encuesta B su intención de voto
sube hasta el 35%. A la vista de estos resultados surge una
polémica en la que se pone en cuestión la validez de las
encuestas. ¿Está justificada la crítica?. ¿Qué argumentos
utilizarías tú para terciar en la polémica?. Después de
estudiar la lección 7 [B5, tema siguiente] veremos que el
problema tiene una solución utilizando un contraste de
hipótesis que comparara dos medias, ahora has de utilizar
los intervalos de confianza”
Sánchez Carrión, 2008
Ejercicios de repaso
 Estos ejercicios son de repaso. No se pide que los
incluyas en tu Cuaderno de Ejercicios.
 “5. En las encuestas del ejercicio anterior, además de
por la intención de voto se pregunta por el sexo de los
entrevistados. En la primera encuesta sale que un
47% de los entrevistados son varones. En la segunda
el porcentaje es del 49%. Suponiendo que en la
población española hubiera un 50% de varones, ¿qué
puedes decir de las dos muestras? ¿son ambas
representativas de la población española?”
Sánchez Carrión, 2008
Ejercicios de repaso
 Estos ejercicios son de repaso. No se pide
que los incluyas en tu Cuaderno de
Ejercicios.
 “10. Se selecciona una muestra aleatoria
simple de n=30 personas empleadas de las
N= 5.000 que trabajan en un hospital. El
47% están interesadas en el servicio de
guardería. Calcula el intervalo del 95% para
el porcentaje que utilizaría la guardería.
Sánchez Carrión, 2008
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