Transformada de Laplace y
filtros analógicos
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos




Definir la transformada de Laplace y estudiar
algunas de sus propiedades.
Analizar sistemas continuos utilizando la
transformada de Laplace.
Conocer las características de los principales
filtros analógicos.
Diseñar filtros analógicos usando MATLAB.
Transformada de Laplace
Sea xt  la entrada a un SLIT, su salida yt  está dada por:

yt   xt   ht    xt     h d

Por lo tanto si la entrada al SLIT es una exponencial
compleja xt   e st , se puede reemplazar esta expresión
en la ecuación de convolución y de esa forma se
obtendría que:

yt    e s t    h d

Transformada de Laplace

yt    e
s t  
 h d

• Simplificando:
yt   e

st
e

 s
 h d
yt   e  H s 
st

H s    h   e s d

Transformada de Laplace

yt   e  H s 
H s    h   e s d
st

• Esta integral se define como la trasformada de
Laplace de h(t).
• De forma más general, la trasformada de
Laplace de una señal x(t) se define como:
X s  

 st


x
t

e
dt


L
xt 

X s 
Transformada de Laplace
X s  

 xt   e
 st
dt
s    j

• Donde  es la parte real de s y  la parte
imaginaria,
• Al reemplazarla en la integral se obtiene:

X ( w) 
 jwt
x
(
t
)
e
dt  X ( jw)

t  
Transformada de Laplace
• La transformada de laplace puede escribirse de
la siguiente forma:
X ( s )  X   j 
X   j  

 (  j ) t


dt
e

t
x


X   j  

 t  jt


e dt
e

t
x


X   j  

 xt  e e
 t
 jt
dt

X   j   F xt   e t


T de Fourier : X ( w) 
 x(t )e
t  
 jwt
dt  X ( jw)

Convergencia de la transformada de
Laplace
Para que la transformada de Laplace converja,
es necesario que la Transformada de Fourier
de:
xt   e
 t
Converja, por lo tanto la transformada de
Laplace posea un intervalo de valores de s
para los cuales la transformada converge.
Este intervalo de valores se conoce como la
ROC (Region of Convergence).
Convergencia de la transformada de
Laplace (ROC)
Tomando este límite por separado:
xt   e at  ut 


X s    e at ut e st dt


X s    e
0
1
1
lim e a  s t 
lim e a   j t
 a  s  t 
 a  s  t 
Hallar X(s)
=
 at  st
e
 e dt
0

  a  s t
e a  s t
dt
 a  s  0
e a  s t
e a  s t
 lim
 lim
t    a  s 
t 0  a  s 
e a  s t
e  a  s 0
X s   lim

t    a  s 
 a  s 
e a  s t
1
 lim

t    a  s 
 a  s 
al separar los exponentes reales de el complejo
se obtiene
e  a  t  e  jt
lim
t 
 a  s 
para que el límite converja es necesario que
Res  a  0
y de esta forma el límite tiene a cero.
Así:
X s   0 
1
1

 a  s  a  s
Convergencia de la transformada de
Laplace (ROC)
xt   e at  ut 
Hallar X(s)
xt   e at  u t 
Hallar X(s)

X s    e at ut e st dt

X s  
1
sa
ROC =   Res  a
X s  
1
sa
s    a
ROC =Re
Convergencia de la transformada de
Laplace (ROC)
xt   ebt  ut 
xt   edt  u t 
x(t )  ae bt u (t )  ce dt u (t )

0
0

X s    aebt e  st dt   ce dt e  st dt

X s   a  e
0
X s  
( b  s ) t
0
dt  c  e

a
c

( s  b) ( s  d )
( s  d )t
 b    Res
dt
  Res  d
 b  Re{s}    d
Propiedades de la transformada de
Laplace
• Usando la notación:
L
x(t ) 
X (s) ROC R
1
L
• Y sean
x1 t 
 X1 s  ROC R1
L
x2 t 
 X 2 s  ROC R2
L
Propiedades de la transformada de
Laplace
• Linealidad:
L
zt   Ax1 t   Bx2 t 
 Z (w)  AX1 (w)  BY2 (w)
ROC R1  R2
•
Desplazamiento de tiempo:
 st
L


x t  t0 
 e
•
0
X (s) ROC R
Desplazamiento de s
L
es0t x 

X s  s0  ROC (s  s0 )  R
Propiedades de la transformada de
Laplace
•
Conjugación
L
x* t 

X * (s* ) ROC R
•
Escalamiento en tiempo:
1 s
s
xa t 
 X   ROC  R
a a
a
L
Convolución:
L
yt   x1 t  x2 t 

Y s   H s  X s  ROC al menosR1  R2
* Es el operador convolución
Propiedades de la transformada de
Laplace
•
Diferenciación en tiempo y s
d n xt  L
n
n 1

n2

n 1 








s
X
s

s
x
0



sx
0

sx
0
n
dt
ROC incluyeal menosR
 
 
 
dX s 
 tx(t ) 

ROC R
dt
L
•
Integración en t
t
1
x( )d  s X s  ROC al menosR   0
L
Propiedades de la transformada de
Laplace
•
Teorema del valor inicial y final:
Si x(t)=0 para t<0

x(0 )  lim sX (s)
x 
lim x(t )  lim sX (s)
t 
x 0
Propiedades de la ROC
La Roc posee ciertas propiedades que ayudan en el análisis y definición de la
misma.
I)La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje j en el plano s.
II)La ROC no contiene ningún polo.
III)Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, entonces la ROC
es el plano s completo.
Ejemplo:
1,  a  t  b L
e as  ebs
xt 

 X s  
ROC = Todo el plano S
0
,
Re
sto
s

IV) Si x(t) es derecha y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces
todos los valores finitos de s para los cuales Re{s] > 0 también estarán en
la ROC.
xt   e at  ut 
.
, entonces
X z  
1
sa
, con ROC
Res  a
Propiedades de la ROC
v) Si x(t) es izquierda y si la línea Re{s] = 0 está en
la ROC, entonces todos los valores de s para los
cuales Re{s] < 0 también estarán en la ROC.
xt   e
 at
 u t 
, entonces X  z  
1
sa
, con ROC
Res  a
VI) Si x(t) es bilateral y si la línea Re{s] = 0 está en la
ROC, entonces la ROC consistirá de una banda en el
plano S que incluya la línea Re{s] = 0 .
VII) Si X(s) es racional, entonces su ROC está limitada
por los polos o se extiende al infinito.
Propiedades de la ROC
VIII) Si x(t) es derecha, entonces la ROC será
la región en el plano S que se encuentra a la
derecha del polo localizado más hacia la
derecha.
IX) Si x(t) es izquierda, entonces la ROC será
la región en el plano S que se encuentra a la
izquierda del polo localizado más hacia la
izquierda.
Referencias





Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.
S y Srinath. M. 2ª edición cap 5
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 9
Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ
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