Transformada Z
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2009
Objetivos
1.
2.
Definir la trasformada Z y estudiar algunas de
sus propiedades.
Analizar sistemas discretos utilizando la
transformada Z.
La transformada Z
Sea
xn  z n
La entrada a un SLIT, su salida
yn
está determinada por:
yn  xn hn
yn 


k  
k  
 xk  hn  k    hk  xn  k 
Por lo tanto al reemplazar se obtiene:
yn 

nk


h
k

z

k  
La transformada Z
yn 

 hk  z
nk
k  
yn  z

n
k


h
k

z

k  
H z  

k


h
k

z

k  
yn  H z   z n
Esta sumatoria de define como la trasformada Z de h[n].
La transformada Z
Siendo Xs(s) la transformada de laplace de una señal muestreada
mediante un tren de impulsos de periodo T
x(n)  xt (nT )
xs (t ) 


 x (nT ) (t  nT )
n  
X s ( s) 
t
X s ( s) 

 snT
x
(
nT
)
e
t


 st
x
(
nT
)

(
t

nT
)
e
dt
t
n  
z  e sT
n  
X s ( z) 
X ( z) 

n
x
(
nT
)
z
t
n  

n
x
(
n
)
z

n  
La transformada Z
La transformada Z de una señal en tiempo discreto de define como:
X ( z) 

n
x
(
n
)
z


xn

X z 
n  
Si la señal es causal, la transformada Z bilateral cambia a la transformada
Z unilateral definida como:

X ( z )   x ( n) z
n 0
n
La transformada Z

n
x
(
n
)
z

X ( z) 
n  
z  r  e j

X re
j
   x(n)  r  e 

j  n
n  

X re
j
   x(n)  r  e

n
 j n
n  



X re j  F x(n)  r n

Si z  e
j
=>
X () 

 jn
x
(
n
)
e

n  
Convergencia de la transformada Z
Para que la transformada Z converja, es
necesario que la Transformada de Fourier
de:
n
xn r
converja, por lo tanto la transformada Z, posea
un intervalo de valores de z para los cuales
la transformada converge. Este intervalo de
valores se conoce como la ROC (Region of
Convergence).
Convergencia de la transformada Z
xn  a n  u n  1
xn  a  un
n
Hallar X(z).
Hallar X(z).
1
z
X z  

1  az 1 z  a
Con ROC
z a
Ejemplo 2:
X z  
1
z

1  az 1 z  a
Con ROC
z a
Propiedades de la ROC
i) La ROC de X(z) consiste de un “anillo” en el
plano z centrado alrededor del origen.
ii) La ROC no contiene ningún polo.
iii) Si x[n] es de duración finita, entonces la
ROC es el plano z completo, excepto
posiblemente en z = 0 ó z =  .
Z
xn   n

X z   1
ROC = Todo el plano Z
Z
xn   n  1

X z   z 1 ROC = Todo el plano Z, con excepción z=0
Z
xn   n  1

X z   z
ROC = Todo el plano Z, con excepción z=
Propiedades de la ROC
iv) Si x[n] es una secuencia derecha y si el
círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces
todos los valores finitos de z para los cuales
|z| > r0 también estarán en la ROC.
v)Si x[n] es una secuencia izquierda y si el
círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces
todos los valores finitos de z para los cuales
0 < |z| < r0 también estarán en la ROC.
Propiedades de la ROC
vi) Si x[n] es bilateral y si el círculo |z| = r0
está en la ROC, entonces ésta consistirá
de un anillo en el plano z que incluya al
círculo |z| = r0.
vii) Si la trasformada Z de x[n], es racional,
entonces su ROC está limitada por los
polos o se extiende al infinito
Propiedades de la ROC
viii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, y si
x[n] es derecha, entonces la ROC es la
región en el plano z fuera del polo más
alejado. Donde puede incluir o no a |z| =  .
ix) Si la trasformada Z de x[n] es racional, y si
x[n] es izquierda, entonces la ROC es la
región en el plano z dentro del polo diferente
de cero más interno. Donde puede incluir o
no a z = 0.
Transformada Z inversa
xn  F
1
X re  r
1
xn  r
2
n
xn 
j
 
2
1
2
X re
j
n
 e
X Z   z

j
j n
d
z  r  e j
dz  jr  e j d  jz  d
n1
dz
Se acuerdan del teorema de los residuos???
Propiedades de la transformada Z
•
Linealidad:
axn  byn
 aX Z   bYZ 
Z
•
R1  R2   ROC
Desplazamiento de tiempo:
xn  n0 
 X z   z

 n0
ROC = R (Con posible adición o eliminación de cero o infinito.
Propiedades de la transformada Z
•
Escalamiento en Z
 z
z xn X 
 z0
n
0




con ROC = |z0|R.
•
Convolución
xn yn
 X z   Y z 

R1  R2   ROC
Propiedades de la transformada Z
• Inversión en tiempo
1
x n
 X  
z

ROC = 1/R
• Conjugación
 

x  n

X  z
ROC = R.
Propiedades de la transformada Z
•
Diferenciación en e dominio de Z
dX  z 

nx n  z
ROC = R.
dz
•
Teorema del valor inicial
X  z   x0
Si xn  0, n  0 , entonces lim
z 
Referencias




Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.
S y Srinath. M. 2ª edición cap 8
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 10
Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
Descargar

Sistemas continuos