Aplicaciones reales de
la transformada de
Laplace
Ing. Elvira Niño
Departamento de Mecatrónica y Automatización
[email protected]
Control de Procesos
• ¿Qué es un sistema de control ?
– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que
necesitan cumplirse.
• En el ámbito doméstico
– Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
• En transportación
– Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a
otro en forma segura y exacta
• En la industria
– Controlar un sinnúmero de variables en los procesos
de manufactura
Control de Procesos
• En años recientes, los sistemas de control han
asumido un papel cada vez más importante en
el desarrollo y avance de la civilización moderna
y la tecnología.
• Los sistemas de control se encuentran en gran
cantidad en todos los sectores de la industria:
– tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensa,ble automático,
control de máquinas-herramienta, tecnología espacial
y sistemas de armas, control por computadora,
sistemas de transporte, sistemas de potencia,
robótica y muchos otros
Ejemplos de procesos
automatizados
• Un moderno avión comercial
Ejemplos de procesos
automatizados
• Satélites
Ejemplos de procesos
automatizados
• Control de la concentración de un producto
en un reactor químico
Ejemplos de procesos
automatizados
• Control en automóvil
¿ Por que es necesario controlar un
proceso ?
• Incremento de la productividad
• Alto costo de mano de obra
• Seguridad
• Alto costo de materiales
• Mejorar la calidad
• Reducción de tiempo de manufactura
• Reducción de inventario en proceso
• Certificación (mercados
internacionales)
• Protección del medio ambiente
(desarrollo sustentable)
Control de Procesos
• El campo de aplicación de los sistemas de
control es muy amplia.
• Y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
¿Por qué Transformada de
Laplace?
• En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos
dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al
tiempo.
• Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar
matemáticamente el comportamiento de
un proceso.
¿Por qué Transformada de
Laplace?
• El comportamiento dinámico de los
procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada
por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal:
• La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para el
análisis de sistemas dinámicos lineales.
¿Por qué Transformada de
Laplace?
• De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones diferenciales
lineales mediante la transformación en
ecuaciones algebraicas con lo cual se
facilita su estudio.
• Una vez que se ha estudiado el
comportamiento
de
los
sistemas
dinámicos, se puede proceder a diseñar
y analizar los sistemas de control de
manera simple.
El proceso de diseño del
sistema de control
• Para poder diseñar un sistema de control
automático, se requiere
– Conocer el proceso que se desea controlar,
es decir, conocer la ecuación diferencial que
describe su comportamiento, utilizando las
leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
– A esta ecuación diferencial se le llama
modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar el controlador.
Conociendo el proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)
Fuerza de
entrada
z(t)
m
Desplazamiento,
salida del sistema
k
b
F
 ma
f ( t )  kz ( t )  b
dz ( t )
dt
2
 m
d z (t )
dt
2
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
f ( t )  kz ( t )  b
dz ( t )
2
 m
d z (t )
dt
dt
2
Aplicando la transform ada de Laplace a cada término
(considera ndo condicione s iniciales igual a cero)
2
F ( s )  kZ ( s )  bsZ ( s )  ms Z ( s )

F ( s )  Z ( s ) ms
Z (s)
F (s)
2
 bs  k
1

ms
2
 bs  k

Función de
transferencia
Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
Flujo que entra – Flujo que sale =
Acumulamiento
qi(t)
q i (t )  q o (t )  A
Flujo de
entrada
R 
h(t)
A
(área del
tanque)
qo(t)
R
(resistencia
de la válvula)
Flujo de
salida
dh ( t )
dt
h (t )
q o (t )
q i (t ) 
1
R
h (t )  A
dh ( t )
dt
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
1
q i (t ) 
h (t )  A
dh ( t )
R
dt
Aplicando la transform ada de Laplace
Qi ( s ) 
1
H ( s )  AsH ( s )
R
Qi ( s )  H ( s )( As 
1
)
R
H (s)
Qi (s)

1
As 
1
R

R
ARs  1
Función de
transferencia
Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
ei (t )  L
1
di ( t )
 Ri ( t ) 
dt
i ( t ) dt  e o ( t )

C
1
i ( t ) dt

C
El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
ei (t )  L
di ( t )
 Ri ( t ) 
dt
Aplicando
1
i ( t ) dt

C
Combinando
1
Cs
las ecuaciones

E i ( s )  E o ( s ) LCs
2
Cs

LCs
2
 RCs  1
I (s)  Eo (s)
(despejand o para I(s))
 RCs  1
1
1
I (s)
E i ( s )  Ls CsE o ( s )   R CsE o ( s )  
Ei (s)
i ( t ) dt  e o ( t )

C
la transform ada de Laplace
E i ( s )  LsI ( s )  RI ( s ) 
Eo (s)
1

1
Cs
CsE o ( s ) 
Función de
transferencia
La función de transferencia
• Representa el comportamiento dinámico del proceso
• Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
Y (s)

X (s)
Y (s)
X (s)
Cambio en la salida del proceso
Cambio en la entrada del proceso

Respuesta del proceso
Función
forzante
• Diagrama de bloques
Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
Proceso
(respuesta al
estímulo)
La función de transferencia
Diagrama de bloques
• Suspensión de un automóvil
Entrada
1
(Bache)
ms
2
Salida
(Desplazamiento
del coche)
 bs  k
-3
10
3
x 10
8
2
6
4
1
2
0
0
-2
-1
-4
-2
-6
-8
-10
-3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
x 10
La función de transferencia
Diagrama de bloques
• Nivel en un tanque
Qi(s)
R
H(s)
(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)
ARs  1
(Altura del nivel en
el tanque
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-10
-5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
-10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
La función de transferencia
Diagrama de bloques
• Circuito eléctrico
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
LCs
20
2
(Voltaje de salida)
 RCs  1
10
18
9
16
8
14
7
12
6
10
5
8
4
6
3
4
2
2
0
Eo(s)
1
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace más
utilizados en al ámbito de control
• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en
el tiempo)
• TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar las
ecuaciones diferenciales)
Propiedades y teoremas de la
transformada de Laplace más
utilizados en al ámbito de control
• TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará
la respuesta)
• TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
•
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y
coraza. En condiciones estables, este intercambiador
calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro
de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.
•
En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de
agua cambian, produciéndose una perturbación en el
intercambiador.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
•
•
•
a) Obtenga la función de transferencia del cambio
de la temperatura de salida del agua con respecto
a un cambio en la temperatura del vapor y un
cambio en el flujo de agua, suponiendo que la
temperatura de entrada del agua al
intercambiador se mantiene constante en 80°F.
b) Determine el valor final de la temperatura de
salida del agua ante un cambio tipo escalón de
+20°F en la temperatura del vapor, y un cambio
de +10 gal/min en el flujo de agua.
c) Grafique la variación de la temperatura de
salida del agua con respecto al tiempo.
Ejemplo aplicado:
Intercambiador de calor
•
Ecuación diferencial que modela el intercambiador de
calor
Intercambiador de calor
•
Ecuación diferencial
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Donde:
Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
(BTU/h °F ft2)
ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)
Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)
tv : Temperatura del vapor (°F)
te : Temperatura del agua a la entrada (°F)
ts : Temperatura del agua a la salida (°F)
(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
tref : Temperatura de referencia (°F)
w : Flujo de agua (lb/h)
m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
tv, ts, tw: Valores en condiciones estables
Tv , Ts , W Variables de desviación
Intercambiador de calor
• Linealizando
1
2
• Evaluando en condiciones iniciales estables
3
• Restando (2) de (3)
Intercambiador de calor
• Utilizando variables de desviación
• Aplicando la transformada con Laplace
Intercambiador de calor
• Simplificando
• Datos físicos
–
–
–
–
–
–
–
–
Largo del intercambiador = 9 ft
Diámetro de coraza = 17 ¼’’
Flujo = 224 gal/min
Temperatura de entrada =80°F
Temperatura de salida = 185°F
Presión de vapor =150psia.
Número de tubos= 112
Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con
un claro entre tubos de 0.63’’.
– Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,
– Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU
– Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
Intercambiador de calor
• Calculando
las
constantes
Intercambiador de calor
• Función de transferencia
• Determine el valor final de la temperatura de salida del agua
ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del
vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
0
0
Intercambiador de calor
20
20
18
18
16
16
240
14
234 14
12
12
10
10
8
8
6
6
224
220
4
4
2
2
0
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
50
Flujo
de
agua entrada
Temp de
Vapor entrada
Salida de
vapor
Salida de
Agua °T
40
35
30
188.85
25
20
15
18510
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
La respuesta del proceso en el
tiempo
Transformada Inversa De Laplace
Ts ( s ) 
Ts ( s ) 
K1
 1s  1
Tv ( s ) 
K2
 2s  1
Tv ( s ) 
W (s)
20
W (s) 
5007 . 25
s
s
K 2  5007 . 25 
 20 




 1s  1  s   2 s  1 
s

K1
4
 20   7 . 573947 x10
Ts ( s ) 


1 . 712995 s  1  s 
1 . 712995 s  1
0 . 381883
Expansión
en fracciones parciales
Ts ( s ) 
4 . 458658
 s  0 . 583772 s

2 . 213928
 s  0 . 583772 s

7 . 63766
3 . 792464
 5007 . 25 



s

 1 . 712995 s  1 s 1 . 712995 s  1 s
a1
 s  0 . 583772 

a2
s

b1
 s  0 . 583772 
b
 2
s
La respuesta del proceso en el
tiempo
Transformada Inversa De Laplace
a1   s  0 . 583772


4 . 458658


 0 . 583772
  s  0 . 583772 s  s   0 . 583772


4 . 458658
a 2   s 
  s  0 . 583772


4 . 458658


s  s  0 0 . 583772
  7 . 6376
 7 . 6376

2 . 213928


 0 . 583772
  s  0 . 583772 s  s   0 . 583772
b1   s  0 . 583772


2 . 213928
b 2   s 
  s  0 . 583772
Ts ( s )  
4 . 458658
2 . 213928

2 . 213928


s  s  0
0 . 583772
7 . 637670
 s  0 . 583772 
T s ( t )   7 . 637670 e


7 . 637670
 0 . 583772 t
T s ( t )  7 . 637670 1  e
s

  3 . 792453
3 . 792453
 s  0 . 583772 
 7 . 637670  3 . 792453 e
 0 . 583772 t
 3 . 792453

3 . 792453
s
 0 . 583772 t
  3 .792453 1  e  0 .583772 t   Tss
 3 . 792453  Tss
(Tss  t emperatur a inicial de salida)
El sistema de control automático
Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin
control)
Tv(s)
K1
Ts(s)
(Aumento de la
temperatura de vapor a la
entrada )
 1s  1
(Aumento en la
temperatura de agua
a la salida)
Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con
control)
Valor
deseado
+
-
Controlador
0.3819
Acción
de
control
1.713 s  1
Variable
controlada
La ecuación del controlador
• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

1
m ( t )  Kc  e ( t ) 
i

Aplicando

de ( t ) 
e ( t ) dt   d

dt 
la transform ada de Laplace


1
M(s)  Kc  E(s) 
E ( s )   d sE ( s ) 
 is




1
 Kc  E(s) 
E ( s )   d sE ( s ) 
E (s)
 is


M (s)


1
 Kc 1 
  d s
E (s)
 is


M (s)
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor
medido
El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)
Valor
deseado
+
-
Kc1  1   d s 
is

 Acción
0.3819
1.713 s  1
Variable
controlada
de
control
6
6
5
5
X: 0.683
Y: 4.91
4
4
3
3
2
2
1
1
(el
es de 4 min, a partir del
0 tiempo de estabilización para el sistema controlado
0
-1
0
1
2
3
4
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
cambio en la entrada)
5
La respuesta del sistema de control
de nivel
• Comparación del sistema en lazo abierto (sin
control) y en lazo cerrado (con control)
6
5
X: 0.683
Y: 4.91
Con
control
X: 6.873
Y: 4.91
4
Sin
control
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
¿ Preguntas ?
Ing. Elvira Niño
Departamento de Mecatrónica y Automatización
[email protected]
Aulas 7, 3er piso -- LD - 306 - H
Actividad para realizar en
casa
• Un sistema de suspensión
simplificada de un automóvil se
puede representar por la figura
siguiente:
• Las ecuaciones diferenciales
que modelan al sistema están
dadas por:
2
m1
d x (t )
dt
2
2
m2
d y (t )
dt
2
 dy ( t ) dx ( t ) 
 k 2  y (t )  x (t )   b 

  k 1 u ( t )  x ( t ) 
dt 
 dt
 dy ( t ) dx ( t ) 
  k 2  y (t )  x (t )   b 


dt 
 dt
Actividad para realizar en
casa Y (s)
a) Obtén la función de transferencia U ( s )
(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en
ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar
Y(s)/U(s) )
b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm,
k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.
Si se le aplica una cambio escalón unitario en la
entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es
decir, la transformada inversa de dicha función.
c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel,
matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del
desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]
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Aplicaciones reales de la transformada de Laplace