Solución de problemas en
circuitos eléctricos por
transformada de Laplace.
AUTORES:
Planteamiento del
Problema
Al plantear ecuaciones en el dominio del
tiempo a circuito eléctrico con
resistencias, inductores, y condensadores,
aparecen ecuaciones diferenciales con
coeficientes constantes y valores iniciales.
Objetivos de la
Investigación
Objetivo General
• Aplicar la transformada de Laplace en
la solución de problemas en circuitos
eléctricos
Objetivos Específicos
• Presentar las generalidades teóricas y
prácticas del método.
Objetivos de la
Investigación
Objetivos Específicos
• Aplicar la teoría en diferentes casos que
involucran, resistencias, fuentes y
condensadores.
• Aplicar el método a un circuito eléctrico
típico
Justificación
• Aplicaciones de la Transformada de Laplace,
para la solución de ecuaciones diferenciales.
• En el caso de los circuitos eléctricos se puede
trabajar por medio de modelos físicos haciendo
más comprensible la solución del problema.
• Este estudio pretende ampliar, sintetizar y
aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se
suele aplicar a los circuitos eléctricos
Alcances y Limitaciones
• Abarca aplicaciones básicas de la transformada
•
•
•
•
de Laplace.
Estudio de circuitos formados por fuentes,
resistencias, condensadores e inductores.
Se hallarán las ecuaciones de corrientes y
voltajes en el tiempo.
No se analizan circuitos complejos que
involucren otros elementos de circuitos.
Los resultados no serán contrastados
experimentalmente
Bases Teóricas
• Definición de Transformada de Laplace

F ( s )  L [ f ( t )] 

e
 st
f ( t ) dt
0
• Propiedades de la Transformada de
Laplace
 La transformada de Laplace es lineal
L [ f 1 ( t )  f 2 ( t )]  L [ f 1 ( t )]  L [ f 2 ( t )]
Bases Teóricas
 Transformada de una derivada
n1
 d n f (t ) 
d
f
n
n1
L
(0)
  s . L [ f ( t )]  s . f ( 0 )  ... 
n
n
dt
 dt

 Transformada de una integral
t
L [  f ( ). d  ] 
0
1
s
. L [ f ( t )]
• Definición de términos básicos
 Condensador y Capacitancia
 Resistencia
 Inductor e Inductancia
 Fuente
Marco Metodológico
• Definir el caso de estudio.
• Identificar cada uno de los elementos del
•
•
•
circuito eléctrico a resolver.
Plantear el diagrama del circuito
eléctrico a resolver.
Establecer las ecuaciones diferenciales
que permitan resolver el circuito
eléctrico.
Realizar la transformación del dominio
del tiempo al de la frecuencia.
Marco Metodológico
• Resolver el sistema algebraico obtenido al
•
•
•
aplicar la transformada de Laplace.
Definir la señal de entrada o perturbación.
En la medida de lo posible, aplicar la
transformación inversa para obtener la
solución de la ecuación diferencial
planteada.
Graficar y analizar los resultados.
Caso I: CIRCUITO RCL
• Definición del caso
• Elementos del circuito
• Diagrama del circuito
Caso I: CIRCUITO RCL
• Se aplica una la Ley de Kirchoff
v ( t )  vr ( t )  vl ( t )  vc ( t )
• Aplicando las definiciones para cada
elemento del circuito
v ( t )  R .i ( t )  L .
di ( t )
di

1
C
t
.  i ( t ). dt
0
Caso I: CIRCUITO RCL
• Transformación al dominio de la
frecuencia
1 t

 di ( t ) 
L v(t)   L R .i ( t )   L  L .
  L  .  i ( t ). dt 
di 

C 0




V ( s )  R .I ( s )  L . s.I ( s )  i ( 0 ) 
I (s)
C .s
• Corriente en el dominio de la
frecuencia
I (s) 

a 
2 .L
s .V ( s )
L. ( s  a )  
2
R
2

 
 R 


L .C  2 . L 
1
2
Caso I: CIRCUITO RCL
• Solución de la ecuación diferencial
 Si se asume que el potencial aplicado es de
corriente directa
V(s)  L v ( t )  L vo  
vo
s
 Aplicando la transformada inversa de Laplace


vo
L [ I ( s )]  L 
2
2 


L
.
s

a




-1
-1
i(t ) 
vo
L

.e
 a .t

. sen (  . t )
Caso I: CIRCUITO RCL
• Gráfica del resultado
Circuito RCL
Intensidad de Corriente (i)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
-0,2
-0,4
-0,6
Tiempo
5
6
7
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Definición del Caso
• Elementos del circuito
• Diagrama del Circuito
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Relación torque – Corriente eléctrica
T   K 1 . K f .i a .i f ( t )
 K .i f ( t )
• Relación torque – Velocidad Angular
T  J.
d
 f .
dt
• Ecuación de Voltaje
V f ( t )  R f .i f ( t )  L f .
di f ( t )
dt
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Ecuación diferencial del sistema físico
2
R f  d
d
 Lf  d 
V f (t ) 
. J .
 f .  
. J .

f
.
2
K 
dt
K 
dt
dt





• Transformación al dominio de la frecuencia
W (s) 
K .V f ( s )
( L f .s  R f ).( J .s  f )
 Si se asume que el potencial aplicado es de
corriente directa
V(s)  L v ( t )  L vo  
vo
s
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Ecuación en el dominio de la frecuencia
W (s) 

K .vo
s .( L f .s  R f ).( J .s  f )
 K

 L .J
 f

Rf

s. s 

Lf


.vo



f
. s  

J 

• Solución de la ecuación diferencial
La solución se obtiene realizando una
expansión en fracciones parciales.
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Expansión en fracciones parciales
 K

 L .J
 f

.vo



W (s) 



Rf 
f  
. s  
s . s 

L f  
J 





 A
K 
B
C 
.vo .

 

R
f 
L f .J 
s
f


s
s

J 
Lf


• Los valores de A, B, C son:
A
1
a .b
B 
Con
1
a (a  b)
C  
1
b(a  b)
a 
Rf
Lf
b
f
J
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Aplicando la transformada inversa
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Grafica Velocidad Angular - Tiempo
Motor Eléctrico
25
w(t)*Lf*J/(K*vo)
20
15
10
5
0
0
5
10
15
Tiempo
20
25
30
35
40
Conclusiones
• Se logró conocer la importancia de la técnica de
transformada de Laplace en la resolución y
análisis de circuitos eléctricos.
• Existe una equivalencia real entre los elementos
principales de un circuito eléctrico como los
resistores, condensadores e inductores en el
dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.
• La existencia de las equivalencias de circuitos
permite la posibilidad de analizar circuitos
eléctricos directamente en el dominio de Laplace
sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.
Conclusiones
• La técnica de Transformada aplicada permite resolver
ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas
como el circuito de RCL y el motor eléctrico.
• Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl
dando una función periódica amortiguada.
• Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando
en una ecuación que es suma de exponenciales pero en
el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a
un valor dado por: K . vo
L f . J a .b
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