Solución de sistemas de ecuaciones
Método gráfico
Método por sustitución
Método por eliminación
Hay varios métodos para resolver los
sistemas de ecuación lineal.
Estudiaremos tres que usamos para
hallar la solución de forma algebraica:
solución por el método gráfico,
solución por sustitución y
solución por eliminación.
Método gráfico
Se grafican ambas ecuaciones en el
mismo sistema de coordenadas.
Así, las coordenadas del punto común
en ambas gráficas será la solución del
sistema, ya que satisfacen ambas
ecuaciones.
Método gráfico
Un sistema de ecuación lineal de los que hemos
trabajado consta de dos ecuaciones y, por lo tanto,
se tendrán dos rectas.
Dos rectas en un plano pueden existir en una de tres
situaciones: 1) se intersecan en un punto;
2) son paralelas; ó 3) coinciden.
Independiente,
Consistente:
una solución
un punto
Independiente
Inconsistente:
sin solución
rectas paralelas
Dependiente,
Consistente:
infinitas soluciones
misma recta
Método gráfico
Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones
por el método gráfico
1. Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones
2. Se grafican los pares ordenados
3. Se unen los puntos mediante una recta.
Ejemplo
x+y=2
2x + 2y = 4
x+y=2
2x + 2y = 4
x
y
x
y
-1
3
-1
3
0
2
0
2
1
1
1
1
2
0
2
0
Las rectas coinciden
Dependiente, Consistente:
(infinita soluciones)
55
-5
0
-5
5
Método Gráfico
Ejemplo 2
-x + y = 2
y=x+2
-x + y = -2
y=x-2
y=x+2
y=x+2
y=x-2
5
Y=x-2
x
y
x
y
-1
1
-1
-3
0
2
0
-2
Rectas paralelas,
no hay solución
1
3
1
-1
Independiente
2
4
2
0
Inconsistente
-10
-5
0
-5
5
Método por sustitución
El método de sustitución consiste en
resolver cualquier ecuación del sistema
por una de las variables y luego sustituir
el valor de esa variable en la otra
ecuación.
Método por sustitución
Procedimiento para resolver un sistema
por el método de sustitución
Ejemplo
x + 4y = 6
x – 2y = 18
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
x = -4y + 6
2. Se sustituye el valor de x en la otra ecuación
x – 2y = 18
-4y + 6 – 2y = 18
-6y = -6 + 18
-6y = 12
y = -2
3. El valor de y se sustituye
en cualquiera de las
dos ecuaciones originales..
x + 4y = 6
x + 4 (-2) = 6
x + (-8) = 6
x=8+6
x = 14
Independiente, Consistente
La solución es el par ordenado (14, -2)
Método por eliminación
El objetivo de este procedimiento es
obtener dos ecuaciones cuya suma sea
una ecuación con una sola variable.
Este método requiere que los coeficientes
de la misma variable estén organizados
en forma vertical: uno debajo del otro.
Método por eliminación
Ejemplo 2
x+y=6
-x – y = 2
Se suman o se restan las ecuaciones para obtener una ecuación
en una variable.
x+y=6
-x – y = 2
0
=8
Ninguna solución: ocurre cuando al sumar se eliminan las
variables y tenemos una proposición falsa (independiente,
inconsistente)
Método eliminación
Ejemplo 2
3x + 6y = 12
3x + 6y = 12
6y = -3x + 12
3x + 6y = 12
Multiplicamos por -1 cualquiera de las dos ecuaciones para
poder eliminar una de las variables.
-1 (3x + 6y = 12)
-3x – 6y = -12
3x + 6y = 12
Soluciones infinitas:
dependiente, consistente
(0 = 0)
0
= 0
Método por eliminación
Ejemplo
2x + y = 1
4x – 2y = -18
Se utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para lograr que los
coeficientes de y tengan el mismo valor
(2x + y= 1) Se multiplica por 2 cada término
4x + 2y = 2
4x - 2y = -18
4x – 2y = -18
8x
= -16
Se sustituye en alguna
8x = -16
ecuación original el valor de x
8
8
2x + y = 1
x = -2
2(-2) + y = 1
-4 + y = 1
y=5
La solución es el par ordenado (-2, 5)
Independiente, consistente: una
solución (valor para x y para y)
Resumen de posibles
situaciones
Relación de las
rectas
Número de
soluciones
Clasificación
Se intersecan
1
Paralelas
0
Coinciden
infinitas
Independiente
Consistente
Independiente
Inconsistente
Dependiente
Consistente
Descargar

Algebra Animated for Teachers!