Separación de raíces
Solución numérica de Ecuaciones
de una variable (pag.59)
TEMA 1
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
SEPARACIÓN DE RAÍCES.
¿ Qué valores p -llamados raíces- satisfacen la ecuación
(raíces: p0 , p1 , ...., pn )
f(x) = 0 ?
Debemos considerar dos etapas:
•
•
Separación de raíces. Establecer los intervalos más pequeños posibles
[, ] que contengan una raíz.
Mejorar los valores de las raíces aproximadas, hasta que presenten el
grado de exactitud deseado.
Propiedad de Darboux .
Si f C[a, b ] y K es un número comprendido entre f(a) y
f(b) , entonces c [a, b ] tal que f(c) = K.
NOTA: Por C[a, b ] nos referimos a las funciones
continuas en el intervalo [a, b].
Corolario V.1: Si f C[a, b ] asume valores de signo
opuesto (+ y -) en los extremos de un intervalo [, ]
entonces ese intervalo contendrá al menos una raíz de
f(x)=0.
PROCESO DE SEPARACIÓN DE RAÍCES:
Sea la ecuación f(x) = 0 , con f(x) definida en [a, b ]
tal que f(a) > 0 y f(b) < 0 (o viceversa)
Tomamos en [a, b ] un número adecuado de puntos: 1, 2 ,... , n
Comprobamos los signos de f en cada punto: f(1 ), f(2 ),... , f(n )
Hay una raíz en cada intervalo [k , k+1 ] t. q. los signos f(k ), f(k+1 )
sean opuestos.
Ejemplo:
Separación de las raíces de la ecuación
x3 - 6 x + 2 = 0 .
Obtenemos una tabla similar a:
x
f(x)
-
(-)
-3
(-)
-1
(+)
0
(+)
+1
(-)
+3
(+)
+
(+)
OBSERVACIÓN: En caso de que la derivada, f '(x), sea continua y pueda
obtenerse fácilmente los valores que cumplen f '(x) = 0, el asunto se simplifica,
pues basta con tomar los signos de f(x) para los ceros de su derivada y para los
extremos de [a, b].
Ejemplo:
Separación de raíces de x4 - 4 x - 1 = 0.
f(x) = x4 - 4 x - 1 , f '(x) = 4 (x3 - 1)

f '(x) = 0
Tabla:
x
f(x)
-
(+)
+1
(-)
Por tanto la ecuación tiene dos raíces.
+
(+)
para x = 1.
Tres teoremas
Teorema del Valor Medio.
Si f  C[a, b] y es diferenciable en (a, b), entonces existe un número c, a<c<b,
tal que:
f (b)  f (a)

f (c ) 
ba
Teorema del Valor Extremo.
Si f  C[a, b] , entonces existen dos números c1 , c2  [a, b] t. q.
f(c1) f(x)  f(c2) para todo x [a, b].
Si además, f es diferenciable en (a, b), entonces c1 y c2 estarán en los
extremos o allí donde f ‘(x)=0.
Teorema V.2:
Sea la ecuación f(x) = 0, y sea p una raíz exacta y x una raíz aproximada,
ambas situadas en el mismo intervalo [,]…
Y sea m1 un valor minimal de f ’(x)  en [,], es decir, m1  f ’(x)  (siendo
m1 > 0 ),
para   x   , entonces se tiene:
xp 
f x
m1
Demostración:
Por el T. del valor medio se tiene:
f ( x )  f ( p)   x  p  f (c)
Donde c es una valor intermedio entre x y p, es decir c[α, β].
Tenemos que f(p) = 0, y, f (c)  m1 (si tomamos para m1 el valor minimal de
f’(x)  para α≤x≤β), entonces:
f  x   f ( p)  m1 x  p
 f  x   m1 ( x  p )
Por tanto:
xp 
f x
m1
Ejemplo: Para la ecuación x4 – x – 1 = 0, hemos obtenido la raíz aproximada
x = 1.22.
Como para el valor
f ( x ) = 2.2153 – 1.22 – 1 = -0.0047
(-)
x = 1.23, se tiene:
f ( x ) = 2.2889 – 1.23 – 1 = 0.0589
(+)
la raíz exacta p cae en el intervalo (1.22, 1.23).
La derivada f’(x) = 4 x3 – 1, crece monótonamente, por tanto el valor minimal
es:
m = 4  1.223 – 1 = 6.2632
y el error absoluto es:
xp 
0.0047
6.2632
 0.000750415
1. 2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES.
Es un método algo burdo, pero sirve para hallar raíces aproximadas de:
f(x) = 0 {1}
Se trata de sustituir la ecuación f(x) = 0 por otra equivalente:
(x) = (x) {2}
Las raíces de {1} (o de {2}, que son las mismas) son las abscisas de las
intersecciones de las gráficas y = (x) , y = (x)
Ejemplo:
Hallar una raíz aproximada de la ecuación:
Solución: Esta ecuación la escribimos:
x log10 x  1
log10 x 
1
x
Ahora tomamos las dos funciones: y = log10 x , y = 1/x
Las raíces son las abscisas de los puntos de intersección (en este
caso sólo uno) de las dos funciones. En este caso p = 2.6
OBSERVACIÓN:
Este método es muy útil para el caso de que una de las dos funciones tenga
forma lineal, o sea: y = ax + b.
Lo que incluye al caso de las ecuaciones del tipo:
xn + a x + b = 0
Ejemplo:
Resolver aproximadamente la ecuación:
x3 – 1.75 x + 0.75 = 0
Las raíces son p1 = -1.5, p2 = 0.5, p3 = 1 .
1.3 EL ALGORITMO DE BISECCIÓN (Método de Bolzano).
Se trata de hallar los valores de x que cumplen f(x) = 0. (Raíces)
Sea f definida en [a , b], t.q. f(a) y f(b) tengan signos opuestos, entonces por el
corolario V.1 (llamado teorema de Bolzano), sabemos que:
existe un p  [a , b] t.q. f(p)=0.
El método consiste en ir tomando sucesivas aproximaciones p1 , p2 , .....,
pn hacia el valor p. Tomando siempre el punto intermedio del intervalo.
Inicialmente tomamos:
a1 = a, b1 = b
y a continuación tomamos el punto
medio de (a1, b1):
p1 
*
a1  b1
2
 a1 
b1  a1
2
Este p = p1, sería la primera aproximación a la raíz.
*
*
Si f(p1 )=0 entonces p1 es la raíz
→ FIN.
Si f(p1 )0 entonces f(p1 ) tendrá el mismo signo que f(a1 ) ó el mismo
signo que f(b1 ).
-- Si Sign[f(p1 )] = Sign[f(a1 )] entonces p [p1 , b1 ],
Entonces tomamos:
a2 = p1, b2 = b1
-- Si Sign[f(p1 )] = Sign[f(b1 )] entonces p  [a1 , p1 ],
Entonces tomamos:
a2 = a1, b2 = p1
Etc. hasta encontrar un f(p) = 0, o bien el intervalo [an , bn ] es inferior a una
tolerancia TOL prefijada.
ALGORITMO:
Para hallar una solución de f(x) = 0 , dada la función f en el intervalo [a, b]
donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos.
Entradas: extremos a y b; tolerancia TOL; cantidad máxima de iteraciones N
Salida: solución aproximada p, o mensaje de fracaso.
Paso 1: Tomar i = 1;
Paso 2: Mientras que i  N seguir los pasos 3-6;
Paso 3: Tomar p = a + ½ (b-a) ; % Calcular pi .
Paso 4: Si f(p) = 0 ó ½ (b-a) < TOL entonces Salida  p , PARAR.
Paso 5: Tomar i = i + 1;
Paso 6: Si f(a) . f(p) > 0 entonces tomar a = p,
de lo contrario,
tomar b = p;
Paso 7: Salida (‘El método fracasó después de N intentos’); PARAR.
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