RAÍCES MÚLTIPLES
Prof.: Ing. Marvin Hernández
Raíz múltiple

Una raíz múltiple corresponde a un punto
donde una función es tangencial al eje x. Por
ejemplo, una raíz doble resulta de
3,5
f ( x )  ( x  3 )( x  1)( x  1)
3
2,5
2
f ( x)  x  5 x  7 x  3
3
1,5
1
0,5
0
- 0,5
-1
- 1,5
0
1
2
3
4
2
 La
ecuación tiene una raíz doble
porque un valor de x hace que dos
términos de la ecuación sean
iguales a cero.
 Gráficamente,
esto significa que la
curva toca en forma tangencial al
eje x en la raíz doble.
f ( x )  ( x  3 )( x  1)( x  1)
Raíz Doble
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
- 0,5
-1
- 1,5
0
1
2
3
4
Raíz Triple
 Una
raíz triple corresponde al caso en
que un valor de x hace que tres términos
en una ecuación sean iguales a cero,
como en
f ( x )  ( x  3 )( x  1)( x  1)( x  1)
f ( x )  x  6 x  12 x  10 x  3
4
3
2
Raíz Triple
f ( x )  ( x  3 )( x  1)( x  1)( x  1)
 Advierta
que la representación gráfica,
figura 2, indica otra vez que la función es
tangente al eje en la raíz, pero que en
este caso sí cruza el eje.
Raíz Triple
10
8
6
4
2
0
0
-2
-4
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
En general;
 La
multiplicidad impar de raíces cruza el
eje.
 Mientras
cruza.
que la multiplicidad par no lo
Raíz Cuádruple
8
6
4
2
0
0
-2
-4
1
2
3
4
Dificultades del método
de raíces múltiples;
1.
El hecho de que la función no cambie de signo
en raíces múltiples pares impide confiarse de
los métodos cerrados.
2.
Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la
raíz:
Esto afecta a los métodos de NewtonRaphson y de la secante, los cuales contienen
derivadas en el denominador de sus fórmulas
respectivas.
Dificultades del método
de raíces múltiples;
Esto provocará una división entre cero
cuando la solución converge muy cerca
de la raíz.
Pero, f(x) siempre alcanzará un valor
cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se
compara f(x) contra cero, dentro del
programa, entonces los cálculos se
pueden terminar antes de que f’(x) llegue
a cero.
Dificultades del método
de raíces múltiples;
3. El método de Newton-Raphson y el método de
la secante convergen en forma lineal, en vez
de cuadrática, cuando hay raíces múltiples.
Se han propuesto algunas modificaciones
para atenuar el problema;
Cambio en la formulación para que se regrese
a la convergencia cuadrática
Atenuación del problema
x i 1  x i  m
f ( xi )
f '( xi )

donde m es la multiplicidad de la raíz;
 m = 2 para una raíz doble
 m = 3 para una raíz triple, etcétera.
Alternativa poco satisfactoria, porque depende del
conocimiento de la multiplicidad de la raíz.
Otra alternativa
 Consiste
en definir una nueva función
u(x), que es el cociente de la función
original entre su derivada:
u ( x) 
f ( x)
f ' ( x)
x i 1  x i 
x i 1  x i 
u ( xi )
u ' ( xi )
f ( xi )
f ' ( xi )
Otra alternativa
u ' ( x) 
f ' ( x)  f ' ( x)  f ( x)  f ' ' ( x)
x i 1  x i 
 f ' ( x ) 2
f ( xi )  f ' ( xi )
 f ' ( x)
2
 f ( xi )  f ' ' ( x )
EJEMPLO 1: Método de Newton-Raphson
modificado para el cálculo de raíces
múltiples
 Uitilizar los dos métodos, el estándar y el
modificado de Newton-Raphson; evalúe la
raíz múltiple de la ecuación, use un valor
inicial de xi = 0.
f ( x)  x  5 x  7 x  3
3
2
Por Newton-Raphson
x i 1  x i 
f ( xi )
f ' ( xi )
( x  5 x  7 x  3)
3
x i 1  x i 
2
( 3 x  10 x  7 )
2
i
xi
xi+1
Et%
0
0
0,4285714
100,0%
1
0,4285714
0,6857143
57,1%
2
0,6857143
0,8328654
31,4%
3
0,8328654
0,9133299
16,7%
4
0,9133299
0,9557833
8,7%
5
0,9557833
0,9776551
4,4%
6
0,9776551
0,9887662
2,2%
Por Newton-Raphson modificado
f ( xi )  f ' ( xi )
x i 1  x i 
 f ' ( x)
2
( x  5 x  7 x  3 )  ( 3 x  10 x  7 )
3
x i 1  x i 
 f ( xi )  f ' ' ( x )
2
2
( 3 x  10 x  7 )  ( x  5 x  7 x  3 )  ( 6 x  10 )
2
2
3
2
Tabla de iteraciones
i
xi
f(xi)
f'(Xi)
f''(xi)
xi+1
Et%
0
0
-3
7
-10
1,105263
100,0%
1
1,105263
-2,10E-02
-3,88E-01
-3,37E+00
1,003082
10,5%
2
1,003082
-1,90E-05
-1,23E-02
-3,98E+00
1,000002
0,31%
3
1,000002
-1,13E-11
-9,53E-06
-4,00E+00
1,000000
0,0002%
EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10

La función tiene una raíz doble en
x = 1 y x0 = 0.2

f ( x)  x  x  5 x  3
3



2
El método estándar de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson modificado (m)
El método de Newton-Raphson modificado u(x)
Método estándar de Newton-Raphson
x i 1  x i 
f ( xi )
f ' ( xi )
i
xi
xi+1
Ea%
0
0,2
0,7118
1
0,6571
1,4581
69,6%
2
0,8370
-0,9474
21,5%
3
0,9203
0,2067
9,0%
4
0,9605
0,3837
4,2%
5
0,9804
0,4470
2,0%
6
0,9902
0,4746
1,0%
7
0,9951
0,4876
0,49%
8
0,9976
0,4938
0,25%
9
0,9988
0,4969
0,12%
10
0,9994
0,4985
0,06%
Método de Newton-Raphson modificado
(m)
x i 1  x i  m
f ( xi )
f '( xi )
i
xi
xi+1
Ea%
0
0,2
0,7118
1
1,1143
0,7072
82,1%
2
1,0016
0,5039
11,3%
3
1,0000
0,5000
0,2%
4
1,0000
0,5000
0,0%
El método de Newton-Raphson
modificado u(x)
x i 1  x i 
f ( xi )  f ' ( xi )
 f ' ( x ) 2
 f ( xi )  f ' ' ( x )
i
xi
xi+1
Et%
0
0,2
0,878788
1
0,878788
1,003260
77,2%
2
1,003260
1,000003
12,4%
3
1,000003
1,000000
0,3%
4
1,000000
1,000000
0,0%
EJEMPLO 3:

La función tiene una
raíz doble en
 x = 1 y x0 = 0.5


El método estándar de
Newton-Raphson
El método de NewtonRaphson modificado
u(x)
f ( x)  x  8 x  5 x  2
3
2
Método estándar de Newton-Raphson
i
xi
xi+1
Ea%
0
0,5
1
0,7143
2,0429
30,0%
2
0,8429
-0,7592
15,3%
3
0,9164
0,1848
8,0%
4
0,9567
0,3699
4,2%
5
0,9779
0,4397
2,2%
6
0,9888
0,4709
1,1%
7
0,9944
0,4857
0,56%
8
0,9972
0,4929
0,28%
9
0,9986
0,4965
0,14%
10
0,9993
0,4982
0,07%
11
0,9996
0,4991
0,04%
12
0,9998
0,4996
0,02%
13
0,9999
0,4998
0,01%
14
1,0000
0,4999
0,00%
El método de Newton-Raphson
modificado u(x)
x i 1  x i 
f ( xi )  f ' ( xi )
 f ' ( x ) 2
 f ( xi )  f ' ' ( x )
i
xi
xi+1
Ea%
0
0,5
1,052632
1
1,052632
1,001541
52,5%
2
1,001541
1,000001
5,1%
3
1,000001
1,000000
0,2%
4
1,000000
1,000000
0,0%
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