Por Miguel Ángel Díaz
Fibonacci o Leonardo de Pisa
Nacido en Pisa (Italia) en 1170
Biografía de Leonardo de Pisa:
• Leonardo de Pisa o Fibonacci, nació en 1170 y murió en
1250. Fue un matemático italiano muy importante,
famoso por inventar la sucesión que tiene su nombre, la
sucesión de Fibonacci, que surgió por el estudio la cría
de conejos, y por su papel en la popularización del
sistema de numeración posicional en base 10 (o
decimal) en Europa.
• Fibonacci viajo al norte de África, y allí conoció las
técnicas de numeración árabes, que las trasladó a
Europa. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que
había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro
de los cálculos). Este libro mostró la importancia del
nuevo sistema de numeración aplicándolo a la
contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas,
cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras
numerosas aplicaciones. En este libro también describe
el cero, la descomposición en factores primos, los
criterios de divisibilidad…
• Fibonacci estudió el problema de la reproducción de los conejos
de la siguiente manera: ¿cuántas parejas de conejos habrá en
una granja luego de 12 meses, si se coloca inicialmente una
sola pareja y se parte de las siguientes premisas:
1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y
siempre resulta preñada la hembra.
3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
4. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos
opuestos.
5. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética
muy relajados y se aparean entre parientes (hay que tener en
cuenta que no es un problema real).
El proceso de crecimiento de la población de conejos es mejor
descrito con la siguiente ilustración.
¿Cuál es el siguiente número?
¡¡¡Efectivamente, el 8!!!
Has descubierto que cada término de la
serie de Fibonacci es la suma de los dos
anteriores. Así obtenemos la serie:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
a0=1
a1=1
an= an-1 + an-2
SUCESIÓN DE FIBONACCI Y LA
ESPIRAL DE DURERO
A partir de la sucesión de Fibonacci se pueden
construir una serie de rectángulos
enlazados:empezamos por un cuadrado 1 por 1,
luego 1 por 2, 2 por 3, 3 por 5, etc. Uniendo los
vértices de los rectángulos se obtiene la espiral. Una
espiral, que de forma bastante ajustada, está
presente en el crecimiento de las conchas de los
moluscos, en los cuernos de los rumiantes...
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del
crecimiento en la Naturaleza.
ESPIRALES EN LA NATURALEZA
Cuando contamos el nº de espiras
(hileras de espirales) en una piña
encontramos que el nº total en cada
sentido corresponde con dos
números consecutivos de la sucesión
de Fibonacci.
En las margaritas también: 21
hacia un lado, 34 hacia el otro.
• La sucesión de Fibonacci no es más que un
ejemplo de sucesión recurrente. Vamos a
enunciar algunos conceptos básicos sobre
sucesiones y algunos ejemplos.
• Una sucesión es un conjunto ordenado de
números a1, a2, a3 …
• A cada elemento de la sucesión se le llama
término.
• El término general de la sucesión se
denomina an, donde n toma valores 1, 2, 3…
• Las sucesiones cuyos términos se obtienen
operando con términos anteriores (por
ejemplo, Fibonacci) se denominan
recurrentes.
•
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
A partir del término general es muy sencillo construir
una sucesión.
Ejercicio 1: escribe 4 términos de cada serie:
an=n2
bn=2n
cn=2n+1
dn=0,5n
en=(n+1)(n+2)
fn= fn-1+n, f1=3
gn= gn-1- gn-2, g1=1, g2=4
•
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sin embargo, dada una sucesión no es tan sencillo
encontrar su término general o su ley de recurrencia.
Ejercicio 2: descubre el criterio con el que se han
formado estas sucesiones y escribe su término
general cuando sea posible.
2, 4, 6, 8, 10…
-2, 4, -6, 8, -10…
4, 7, 10, 13…
1, 8, 27, 64…
1, 4, 5, 9, 14…
10, 100, 1000…
•
Por último, una paradoja:
Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los
Aqueos, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya
que corre mucho más rápido que ella le da una gran ventaja inicial. Al
darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los
separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no
está, sino que ha avanzado un pequeño trecho, pongamos la mitad. Sin
desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la
tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no
ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él. ¿Es
esto cierto?
•
Por último, una paradoja:
Aquiles, el más hábil guerrero de los Aqueos, decide salir a competir en
una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella
le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco
tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí
descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado un pequeño
trecho, pongamos la mitad de lo que él ha recorrido. Sin desanimarse,
sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha
avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya
que la tortuga estará siempre por delante de él. ¿Es esto cierto?
• La paradoja de Aquiles y la tortuga puede ser
planteada matemáticamente usando series infinitas.
En este caso la siguiente:
• ¿Se pueden sumar infinitos números?
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