PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Una onda monocromática de longitud de onda , amplitud E0, linealmente polarizada según el
eje Z, y que se propaga en la dirección del eje Y, incide normalmente sobre una película delgada
de caras planoparalelas, espesor d e índice de refracción n.
Al atravesar la lámina, la onda sufre múltiples reflexiones entre sus caras y como resultado se
producen interferencias. Se pide:
a) Determinar el desfase  que introduce el espesor de la lámina entre dos ondas consecutivas
que interfieren.
b) Demostrar que la intensidad reflejada después de múltiples reflexiones es
Ir  I0
4 R sin
2

/ 2
1  R 2  4 R sin 2 
/ 2
donde R es la reflectancia de la lámina, y que la intensidad transmitida a través de ella es
It  I0 - Ir
siendo I0 la intensidad incidente.
c) Representar gráficamente la intensidad transmitida frente a  /2 para los siguientes
valores de reflectancia: R = 0.02, R = 0.10, R = 0.40 y R = 0.80.
d) Demostrar que la anchura de un pico de transmisión medida a la mitad de la altura del
pico, cuando R → 1, está dada por:
 
1 R
R
1
Ó
p
t
i
c
a
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Reflexiones y transmisiones sucesivas en una lámina de caras paralelas
(Incidencia normal, los rayos se representan inclinados para claridad del esquema)
CAMPO
TRANSMITIDO
CAMPO
REFLEJADO
r se refiere a la interfase aire → lámina
n
E0 t t' r '
r’ se refiere a la interfase lámina → aire
d
5
Coeficientes de transmisión de amplitud
6
E0 t t' r '
Coeficientes de reflexión de amplitud
E0 t t' r'
E0 t r '
3
4
5
E0 t r '
E0 t r'
E0 t t' r '
2
E0 t r '
t se refiere a la interfase aire → lámina
t’ se refiere a la interfase lámina → aire
5
4
E0 t t' r'
3
3
2
Relaciones de Stokes
t t' 1  r
r  - r'
2
2
E0 t t'
E0 t r '
1
E0 r
E0 t
0
4
El camino óptico seguido por la onda dentro de
la película, entre dos ondas que interfieren (dos
consecutivas, pares o impares) es n·2d, por lo
que el desfase es:
 
Z
2

n  2d
E0
2
Y
Ó
p
t
i
c
a
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Campo reflejado
El campo reflejado para cada una de las sucesivas reflexiones (0, 2, 4, 6…) es la suma de una
-j   t  desfase 
serie de términos, cada uno de la forma E
e
incidente
donde j es la unidad imaginaria,  es la frecuencia angular, y el desfase debe ser medido respecto
a una onda de referencia. Nosotros tomaremos como referencia la onda 0.
Además, por simplicidad prescindiremos al escribir lo que sigue del término temporal e-j t,
ya que dicho término será factor común de todos los sumando, y cuando haya que calcular las
intensidades multiplicando por el conjugado complejo, el producto de ambos dará 1.
0
2
4
6
j
3
j 2
E r  E 0 r  E 0 t t' r ' e  E 0 t t' r ' e  E 0 t t' r '5 e j 3 
E r  E 0 r  E 0 t t' r ' e
j
 r' e
3
j 2
 r' e
5
j 3
 ... 
Ó
p
Cada reflexión sucesiva recorre dentro
 ... de la lámina una distancia extra 2d, por t
lo que el desfase de cada una aumenta en i
 respecto a la precedente.
c
a
E r  E 0 r  E 0 t t' r e
De acuerdo con la relación de Stokes r = -r’
j
r e
3
j 2
r e
5
j 3
 ... 
La serie entre paréntesis es una progresión geométrica con las siguientes características
a1  r e
j
an  r
2 n 1
e
Como el factor de reflexión r < 1, se verifica que
Sn 
a1  a n   razon
1   razon



re
j
r
2 n 1
e
1 r e
2
jn 
j
r
2
e
j

jn 
razon  r e
2
razon  1
Sn 
j
y por lo tanto la suma n-ésima es
re
j
r
2 n 1
1 r e
2
e
j  n  1 
j
3
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Para tener en cuenta la contribución al campo reflejado de infinitas reflexiones tomamos el límite
re
S   lim S n  lim
n 
j
r
Er 

2
j
2
  E 1-r r e
2
j

2
j
Intensidad reflejada
1 r e
2
1 r e
2

j
 E0r e
1 r e
2
1 e
2
j
1 r e
2
cos   1  2 sin
r  R
2
2

I0  E
/ 2
Ir  I0R
2
0
2
cos   cos  / 2   / 2   cos
2

2


1 r e
2
2


2
 E0r e
3
 j
 E r
2
0
2
1  2 R 1  2 sin
/ 2   sin

j
re
Ir  E0 r
1  1  2 sin

2
j
j
 j
1 r e
Teniendo en cuenta que e j  e  j  2 cos 
Además:
Ec. Stokes t t’ = 1-r2

/ 2

/ 2  R
/ 2   1  sin
2

2
1 e
2
1 r e
2
j
j
e
Ir  I0
/ 2   sin
2

2
 j
2
j

Ó
p
t
i
c
a
j
1
 j
r
4

1  2 r cos   r
2
1 r e
r e
2 1  cos 
2

E0r 1  e
Er 
j
1 e
j
j
r  1)
(ya que
j
 E 0 r  E 0 1-r
j
E0r  E0r e
2
0
j
j
re
Ir  Er E  E r
*
r
re

3
0
1 r e
j  n  1 
e
j
1 r e
n 
E r  E 0 r  E 0 t t' S   E 0 r  E 0 t t '
E0r 1  r e
2 n 1
4
4 R sin
2

/ 2
1  R 2  4 R sin 2 
/ 2   1  2 sin
2

/ 2
/ 2
4
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Campo transmitido
El campo reflejado para cada una de las sucesivas reflexiones (1, 3, 5…) es la suma de una serie
-j   t  desfase 
de términos, cada uno de la forma
E
e
incidente
donde j es la unidad imaginaria,  es la frecuencia angular, y el desfase debe ser medido respecto
a una onda de referencia. Como antes, nosotros tomaremos como referencia la onda 0.
1
3
5
Cada transmisión sucesiva recorre
dentro de la lámina una distancia extra
2d, por lo que el desfase de cada una
aumenta en  respecto a la precedente.
E t  E 0 t t ' e j / 2  E 0 t t' r ' 2 e j / 2 e j  E 0 t t' r ' 4 e j / 2 e j 2   ...
Ó
p
El campo transmitido en 1 ha recorrido una vez el espesor de la lámina, lo que en términos de desfase significa  /2
t
j

/
2
2
j

4
j
2

j / 2
i
(r = -r’)
1  r ' 2 e j  r ' 4 e j 2   ...   E 0 t t' e 1  r e  r e  ... 
E t  E 0 t t' e
c
La serie entre paréntesis es una progresión geométrica con las siguientes características:
a
a1  1
an  r e
2n
jn 
Como el factor de reflexión r < 1, se verifica que
Sn 
a1  a n   razon
1   razon
Para infinitas
transmisiones


1 r e
2n

jn 
r
1 r e
2
2
e
j
n 
n 
2
razon  1

1 r e
1 r e
2
jn 
j

1
1 r e
2
j
j
y por lo tanto la suma n-ésima es
Sn 
j
2n
S   lim S n  lim
razon  r e
1 r
2n2
e
1 r e
2
E t  E 0 t t' e
jn 
j
j / 2
1
1 r e
2
j
5
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
Intensidad transmitida
It  Et E  E
*
t
2
0
Ec. Stokes t t’ = 1-r2
t t '
e
2
j / 2
1 r e
2
I0  E0
2
e
j
 j
2
1 r e
2
 j
I t  I 0 1  R 
1
1  R  2 R cos 
2
 I 0 1  R 
1
1 r e
2
It  I0
1  R 2  4 R sin 2 
/ 2
Ir  I0
r e
2
 j
r
4
1
1 R e
j
Re
 j
1
2
1  R  2 R  4 R sin
2
2

Sumando las intensidades transmitida y reflejada se obtiene:
1  R 2
j
R
2
Ó
p
t
1  R 2
It  I0
i
1  R 2  4 R sin 2  / 2 
c
a
y que cos   1  2 sin 2  / 2 
Teniendo en cuenta que e j  e  j  2 cos 
2

2 2
2
r2 = R
I t  I 0 1  R 

 E0 1  r
4 R sin
2

/ 2
Ir  It  I0
It  I0 - Ir
/ 2
1  R 2  4 R sin 2 
/ 2
Representación gráfica de It / I0 frente a  /2
Los máximos de la función de transmisión aparecen cuando sin  / 2   0
 / 2  m
m  0 ,  1,  2 ,...
6
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
It
It
I0
I0

1  R 2
1  R 2  4 R sin 2 
/ 2
1,0
0,8
0,6
R = 0.02
R = 0.10
R = 0.40
R = 0.80
0,4
0,2
0,0
-4
-4
-2-2
0
22
4
 / 2 (rad)
7
Ó
p
t
i
c
a
PROBLEMA. REFLEXIONES MÚLTIPLES EN LÁMINAS DELGADAS.
It
I0
La anchura  a mitad de altura de un pico de transmisión,
esto es, cuando R→1 y  <<, puede calcularse como sigue: 
It
1,0
I0

1

2
1  R 2
1  R 2  4 R sin 2  m 
/ 2  m   / 2
  / 2
sin  m    / 2   sin  m   cos  / 2   cos  m   sin  / 2 
0,8
sin  m    / 2    sin  / 2     / 2
It
0,6
It
I0

1
I0

2

1

2
1  R 2
1  R 2  4 R 
1  R 2  4 R 
0,4
m   / 2

0,2
/ 2 
2
1  R 2
4R
/ 2
2
/ 2   2 1  R 
2
 
2
1 R
R
m   / 2
0,0
-0,2
-0,1
0,0
 / 2  m
m  0 ,  1,  2 ,...
0,1
0,2
Cuanto más pequeño sea , mayor es la
resolución de la película delgada como
interferómetro (tipo Fabry-Perot) 8
Ó
p
t
i
c
a
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Diapositiva 1 - Universidad de Castilla