TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y
gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el
costo del cuaderno y del plumón es de
$ 6.00.
¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada
plumón?
¿Qué harías para resolver
este problema?
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Si leíste con atención el problema,
sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de
cada cuaderno y el costo de cada
plumón.
Si representamos con:
c
costo de un cuaderno
p
costo de un plumón
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Esta información la podemos traducir al
lenguaje de las ecuaciones.
5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00)
c - p = 6 (diferencia entre el costo del
cuaderno y del plumón)
El resultado es: un Sistema de
Ecuaciones
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Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2
consiste en dos ecuaciones de primer
grado con dos variables cada una.
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Resolver un sistema de ecuaciones
significa encontrar los valores de las
variables que satisfacen
simultáneamente dichas ecuaciones.
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Para resolverlo existen varios métodos:
 De sustitución
De igualación
De suma y resta o Reducción
Gráfico
Con calculadora
 Por determinantes
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Veamos cómo resolver el problema
anterior utilizando algunos de ellos.
 De sustitución
 De igualación
 De suma y resta o Reducción
 Gráfico
 Salir
Haz < clic > en cualquiera de las opciones
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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Como su nombre lo indica, consiste en
despejar una variable de una ecuación
y sustituir en la otra.
Escribimos el sistema de
ecuaciones
5c + 4p = 84 .......... ecuación 1
c - p = 6 .......... ecuación 2
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a) Despejamos la variable “c” (incógnita)
de la ecuación 2 utilizando las
propiedades de la igualdad. (Se
puede despejar cualquier variable de
cualquiera de las 2 ecuaciones).
c–p=6
c = 6 + p ...... ecuación 3
b) Sustituimos la ecuación 3 en la
ecuación 1
5 (6 + p) + 4p = 84
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c) Resolvemos la ecuación resultante.
5 (6 + p) + 4p = 84
30 + 5p + 4p = 84
30 + 9p = 84
9p = 84 – 30
9p = 54
p = 54
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Simplificamos
Reducimos
Despejamos
p=6
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d) El valor obtenido se sustituye en la
ecuación 3.
c=6+p
c=6+6
c = 12
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e) Comprobamos ambas
soluciones,
sustituyendo los valores encontrados
por las variables en las ecuaciones 1
y 2. Si las igualdades son ciertas,
entonces los valores son los correctos.
Ecuación 1
5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
60 + 24 = 84
84 84
Nota Idéntico a
Ecuación 2
c+p=6
12 + 6 = 6
6 6
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Esto quiere decir que a Luis le costó $ 12.00
cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón.
De manera general:
Para resolver un sistemas de ecuaciones por
el
método de sustitución se hace lo
siguiente.
1) Se despeja cualquiera de las variables
en cualquiera de las
ecuaciones,
generalmente la más sencilla.
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2) Se sustituye la variable despejada
en la otra ecuación.
3) Se resuelve la ecuación
que se
obtuvo para encontrar el valor de una
variable.
4) Una vez encontrado ese valor se
sustituye en la ecuación despejada y
se encuentra el valor de la otra variable.
5) Se comprueba el resultado obtenido
sustituyendo los valores en
las
ecuaciones originales.
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MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar una misma variable
de las dos ecuaciones, igualar ambas
para obtener una ecuación con una sola
variable y resolverla.
Tomaremos como referencia
el problema de Luis.
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a) Escribimos las dos
ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1
c - p = 6 ........ ecuación 2
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b) Despejamos la variable (incógnita) “c”
en las 2 ecuaciones.
ecuación 1
5c + 4p = 84
5c = 84 – 4p
c = 84 – 4p ............. ecuación 3
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ecuación 2
c-p=6
c = 6 + p ............... ecuación 4
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c) Se igualan las 2 expresiones.
84 – 4p = 6 + p
5
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d) Resolvemos la ecuación.
84 – 4p = 6 + p
5
84 – 4p = 5(6 + p)
84 – 4p = 30 + 5p
-4p – 5p = 30 – 84
-9p = -54
p = -54
-9
p=6
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
e) Sustituimos este valor en cualquiera
de las ecuaciones despejadas (inciso
b). Generalmente la más sencilla.
c=6+p
c=6+6
c = 12
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
f) Comprobamos ambas soluciones,
sustituyendo en las ecuaciones
originales estos valores. Si las
igualdades son ciertas, entonces los
valores son los correctos.
Ecuación 1
Ecuación 2
5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
60 + 24 = 84
84 84
c+4=6
12 + 6 = 6
6 6
Nota
Idéntico a
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00
cada cuaderno y $6.00 cada plumón.
De manera general:
Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones
lineales por el método de igualación
seguimos estos pasos.
1) Despejamos la misma variable en cada
ecuación.
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2) Igualamos las expresiones que resultan.
3) Se resuelve la ecuación para obtener
el valor de una variable.
4) Se sustituye el valor anterior en
cualquiera de las 2 ecuaciones que se
despejaron para encontrar el valor de la
otra variable.
5) Se
comprueban
los
resultados
sustituyéndolos en las ecuaciones
originales.
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MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE
REDUCCIÓN.
Se suman o se restan ambas ecuaciones
de modo que la expresión resultante
tenga una sola variable, se resuelve y se
comprueba.
Tomando como referencia el problema de
Luis, tenemos:
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a) Escribimos el sistema de ecuaciones.
5c + 4p = 84 ....... ecuación 1
c – p = 6 ....... ecuación 2
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b) Analizamos las 2 ecuaciones para
buscar qué variable es más fácil
eliminar, por suma o por resta. Como
en este caso la variable “p” tiene
signos opuestos, multiplicamos la
ecuación 2 por 4 para obtener un
sistema equivalente al original en el
que se pueda sumar
ambas
ecuaciones:
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4 (c – p = 6)
4c – 4p = 24
ecuación 2 por 4
Entonces
5c + 4p = 84
4c - 4p = 24
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c) Cancelamos “p” al sumar miembro a
miembro las 2 ecuaciones.
5c + 4p = 84
4c - 4p = 24
9c
= 108
d) Resolvemos la ecuación resultante
para obtener el valor de la incógnita
“c”
9c = 108
c = 12
c = 108
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
e) Sustituimos este valor en cualquiera
de las ecuaciones originales
(generalmente la más sencilla)
y resolvemos.
sustituimos en la ecuación 2
c-p=6
resolvemos
12 - p = 6
- p = 6 - 12
-p=-6
-1 (-p = - 6)
p=6
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
f) Comprobamos
las 2 soluciones
sustituyéndolas en las ecuaciones
originales. Si las igualdades son
ciertas, entonces los valores son
correctos.
Ecuación 1
5c + 4p = 84
5(12) + 4(6) = 84
60 + 24 = 84
84 84
Nota
Idéntico a
Ecuación 2
c-p=6
12 - 6 = 6
6 6
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Esto quiere decir que a Luis le costó
$12.00 cada cuaderno y $6.00 cada
plumón.
De manera general:
En el siguiente diagrama se señalan los
pasos para resolver un sistema de 2
ecuaciones por el método de suma y
resta o reducción.
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INICIO
¡Es muy fácil! Sólo
sigue las flechas y
encontrarás la
solución
Observa los coeficientes de
las variables.
¿Alguna variable
tiene
coeficientes simétricos?
NO
¿Alguna variable
tiene
coeficientes iguales?
SÍ
Suma las ecuaciones.
Resuelve la ecuación que resulte para
encontrar el valor de una variable.
Resta las
ecuaciones.
NO
Multiplica una o ambas ecuaciones
por un número para obtener
coeficientes simétricos en alguna
de las variables.
Sustituye la variable conocida por su
valor en una de las ecuaciones originales
y encuentra el valor de la otra variable.
Haz <clic aquí> para volver al menú
SÍ
FIN
Haz <clic aquí> para salir
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MÉTODO GRÁFICO
Resolver gráficamente un
ecuaciones lineales con
significa encontrar el punto
cual se intersectan las 2
punto (x, y) es la solución.
sistema de
2 variables
(x, y) en el
rectas. Ese
** El método
gráfico se utiliza
generalmente para sistemas con
soluciones enteras, por motivos de
precisión.
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Para ver este método recordaremos el
problema de Luis:
Compró 5 cuadernos y 4
plumones pagando $84.00. La
diferencia de costos entre un
cuaderno y un plumón es de
$6.00. ¿Cuánto costó cada
artículo?
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a) Traducimos a lenguaje algebraico esta
información. (en este caso x = costo
de un cuaderno, y = costo de un
plumón).
5x + 4y = 84 ...... ecuación 1
x - y = 6 ...... ecuación 2
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
b) Despejamos “y” en las 2ecuaciones
Ecuación 1
Ecuación 2
5x + 4y = 84
4y = 84 – 5x
y = 84 – 5x
4
x-y=6
-y = 6 – x
(-y = 6 – x) (-1)
y = -6 + x
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
c) Asignamos valores a la “x” en ambas
ecuaciones y tabulamos. Se construye
una tabla para cada ecuación.
Ecuación 1
y = 84 – 5x
4
Ecuación 2
y=-6+x
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuación 1
y = 84 – 5x
4
x
y
6
13.5
8
11
y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11
10
8.5
y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5
12
6
14
3.5
16
1
y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5
y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6
y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5
y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1
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Ecuación 2
y=-6+x
x
y
6
0
y=-6+6=0
8
2
y = -6 + 8 = 2
10
4
y = -6 + 10 = 4
12
6
y = -6 + 12 = 6
14
8
y = -6 + 14 = 8
16
10
y = -6 + 16 = 10
40
TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
16
15
14
y
d) Situamos las parejas de
cada ecuación en el
mismo plano cartesiano.
13
12
11
10
Ecuación 1
9
8
7
Intersección
Punto (12, 6)
6
5
4
3
Ecuación 2
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El punto de intersección es (12, 6), esto
significa que x=12 y y=6; por lo tanto el
costo de un cuaderno (x) es $ 12.00 y el
costo de un plumón (y) es $ 6.00.
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas
pueden ser:
de
ecuaciones
lineales
1) Determinado o compatible
La solución es un punto (x, y), en que
las rectas se cortan. Como el caso
anterior.
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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
y
2) Incompatible
No tiene solución, es decir,
no hay intersección porque
las rectas son paralelas.
Ecuación 2
Ecuación 1
x + y = 4 ec. 1
x + y = 6 ec. 2
x
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3) Indeterminado o dependiente.
Tiene infinitas soluciones, pues las
rectas coinciden en todos los puntos.
y
3
x -y=3
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
-1
2x - 2y = 6
-2
-3
x -y=3
2x - 2y = 6
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