Liliana Hernández
Ing. Qca. Ph.D.
DEFINICIÓN
Ecuación
diferencial:
Ecuación que contiene derivadas de una o más
variables dependientes con respecto a una o más
variables independientes.
Ordinaria
Derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una
variable independiente.
dy
dx
 5y  0
Parcial
Derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a dos
o más variables independientes.
v
t
v
v
x
 v
3

x
3
0
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Cuando se desea resolver una ecuación diferencial
sujeta a condiciones predefinidas (iniciales)
Ejemplo:
Resolver
Sujeta a
dy
 y
dx
y (0)  1
Condición inicial
MODELAMIENTO MATEMÁTICO CON
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (EDOs)
Dinámica de poblaciones
Modelo de Malthus:
Cuando una población no está sujeta a factores externos (falta de
alimentos, competencia por el hábitat, presencia de un
depredador…) la velocidad de crecimiento es proporcional al
número de individuos que la componen.
dN ( t )
dt
 rN ( t )
Puede ser:
r < 0;
r>0
Constante que caracteriza la tasa de
crecimiento de la población (experimental).
Dinámica de poblaciones
Ecuación logística:
Cuando el crecimiento exponencial de la población se ve
limitado por la escasez de recursos (alimentos) y los individuos
“compiten” por ellos.
dp ( t )
 rp ( t )  mp ( t )
2
dt
Crecimiento natural de la
población
Competencia de los
individuos por el alimento
Dinámica de poblaciones
Modelo presa-depredador (sistema Lotka-Volterra):
En un ecosistema con dos poblaciones de especies distintas,
donde una de ellas es el alimento de la otra.
dp 1 ( t )
dt
 r1 p1 ( t )  b1 p1 ( t ) p 2 ( t )
Crecimiento natural de la presa
dp 2 ( t )
dt
  r2 p 2 ( t )  b 2 p1 ( t ) p 2 ( t )
Crecimiento natural del
depredador (sin presa)
Interacción de ambas
especies
Dinámica de crecimiento de un individuo
Modelo de Bertalanffy:
La velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre
la longitud actual y la máxima permisible.
Talla máxima de
la especie
dL ( t )
dt
 k  A  L (t ) 
es > 0
constante propia
de cada especie
Ley de enfriamiento de Newton
Calentamiento de edificios:
La velocidad a la que cambia la temperatura de un objeto es
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio
donde se encuentra.
dT ( t )
dt
  k T ( t )  M
Constante de
tiempo del edificio

Temperatura del
medio
+
-
Calentamiento
Enfriamiento
Decaimiento exponencial
Desintegración radiactiva (datación por
radiocarbono)
La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva es
proporcional al número de átomos existentes de dicha sustancia.
dA ( t )
   A (t )
dt
Constante de descomposición
y/o decaimiento
Movimiento de cuerpos
Movimiento en caída libre
m .a 
Sí:


F
2
d x (t )
dt
2
 g
Gravedad
Movimiento de cuerpos
Fricción el fluidos (paracaidista):
Sí:
m
dv ( t )
m .a 

  mg  cv
2

F
Densidad
del aire
c
dt
Gravedad
Constante de
proporcionalidad
Área
paracaidista
A
2
Factor de
forma
paracaidista
Movimiento de cuerpos
Vibraciones mecánicas (oscilación de un mástil):
2
m
d x (t )
dt

m .a 
Sí:
2
c
dx

F
 kx  0
dt
Constante de
amortiguamiento
Constante de
recuperación
Flujo de fluidos
Mezclado (Concentración de la mezcla CA):
V
dC A
dt
V
dC A
dt
Volumen
del tanque
 qC A 0  qC A
 q C A 0  C A 
Flujo del
fluido
Concentración
flujo de entrada
Flujo de fluidos
Vaciado de un tanque:
dV
dt
 A0
2 gh
dV
dt
 Aw
dh
dt
Área del
agujero
dh

dt
Área del
tanque
A0
2 gh
Aw
Aw
A0
Gravedad
Para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Euler
Ecuación:

= (, )

Sujeta a:
 0 = 0
Recurrencia:
1 = 0 + ℎ 0 , 0
Runge-Kutta (orden 4)

= (, )

 0 = 0
Ecuación:
Sujeta a:
Recurrencia:
1 = ℎ
2 = ℎ
2 = ℎ
4 = ℎ
0 , 0
0 + 12ℎ, 0 + 121
0 + 12ℎ, 0 + 122
0 + ℎ, 0 + 3
1 = 0 + 16 1 + 22 + 23 + 4
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias