BLOQUE 8: Aplica las leyes
de senos y cosenos.
 No
todos los triángulos poseen un ángulo
recto (90º)
 Aquellos triángulos que no poseen un ángulo
recto se les llama:
.
 Por ejemplo estos triángulos:
 Si
observas, ninguno de ellos tiene ángulos
rectos.
 Calcular
la medida de todos sus lados y ángulos.
 Anteriormente
utilizamos FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS cuando eran triángulos
rectángulos.
 Ahora
utilizaremos las
para resolver cualquier tipo de
triángulos.
 En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante.
 Así
que, esta ley aplica mayormente cuando
tenemos:
 “En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante”.
a
b

sen A
sen B
 Esta

c
sen C
ley también se puede utilizar de esta otra
forma y ofrece el mismo resultado final:
sen A
a

sen B
b

sen C
c
 Resuelve
el siguiente triángulo, dado que posee
las medidas anotadas en el dibujo:
1. Primero buscamos el tercer ángulo (el que
falta):  A  180  ( 54  72 )
 A  180  126
 A  54

2. Luego los otros lados utilizando la ley de los
senos.
2.- Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de
los senos.
a
c

sen A
sen C
=54º
15
sen 54
x

sen 72
15 ( sen 72 )  x ( sen 54 )
15 ( sen 72 )
 x
( sen 54 )
17 . 63  x
3.- Ahora calculamos el lado que falta utilizando la
ley de los senos.
a
b

Sen A
15
Sen B
y

Sen 54
Sen 54
15  ( Sen 54 )  y  ( Sen 54 )
15  ( Sen 54 )
 y
( Sen 54 )
15  y
=54º
Una vez tengas todas las medidas de los lados y
ángulos el problema terminó.
=54º
y = 15 m
 Resuelve
el siguiente triángulo:
1.- Primero buscamos el
ángulo β con la ley de
senos.
2.- Buscamos el tercer
ángulo con suma de ángulos
interiores de un triángulo.
3.- Finalmente, calculamos
el lado que falta utilizando
la ley de los senos.
b
sen 

23
sen 

47
sen 123
23 ( sen 123 )  47 ( sen  )
23 ( sen 123 )
 sen 
47
sen
24

1
 23 ( sen 123 ) 

  
47


 
2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
  180    
  180  ( 24  123 )
  180  147
  33

a
3.- Por último, buscamos el
lado que falta por la ley de
senos.
Sen 

c
Sen 
47
Sen 123 

c
Sen 33 
47  ( Sen 33  )  c  ( Sen 123  )
47  ( Sen 33  )
Sen 123 
31 Cm.  c
 c
Para medir la longitud d de un lago, se estableció y
se midió una línea de base AB de 125 metros. Los
ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente.
¿Qué tan largo es el lago?
Como nos dan la medida de un lado, deberíamos
conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de
senos y encontrar d.
1.- Primero encontramos el ángulo C con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
 C  180  (  A   B )
 C  180  ( 41 . 6  124 . 3 )
 C  180  165 . 9
 C  14 . 1

A continuación usaremos la ley de senos para
encontrar el lado que nos piden d:
2.- Ahora usaremos la ley de senos para encontrar el
lado d que nos piden.
c
a

sen C
125
sen A
d

sen 14 . 1
sen 41 . 6
125 ( sen 41 . 6 )  d ( sen 14 . 1)
125 ( sen 41 . 6 )
sen 14 . 1
340 . 66  d
 d
 No
se tiene entre los datos un
par de elementos opuestos.
 Así
que, esta ley aplica
mayormente cuando tenemos:
Estas tres ecuaciones plantean en
esencia lo mismo.
a
2
b
2
b
c
c
2
 2 bc cos A
2
 a
2
c
2
 2 ac cos B
2
 a
2
b
2
 2 ab cos C
PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El lado opuesto al ángulo
dado.
2
Segundo ángulo (Encuentre
el ángulo opuesto al más
corto de los dos lados
Ley de senos.
dados, siempre será
agudo).
3
Tercer ángulo.
Ley de cosenos.
180° menos la suma de los
otros 2 ángulos.
 Resuelve
derecha
el triángulo de la
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para despejar b.
b
2
 a
2
c
2
b 
a
b 
(10 . 3 )  ( 6 . 45 )  2 (10 . 3 )( 6 . 45 ) Cos 32 . 4 
2
c
 2  a  c  Cos B
b  5 . 96 cm
2
2
 2  a  c  Cos B
2
Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar .
Puesto que el lado c es más
corto que el lado a,  debe
ser agudo.
c
Sen 

b
Sen 
b  ( Sen  )  c  ( Sen  )
Sen  
c  ( Sen  )
b
  Sen
1
  35 . 44
 6 . 45 ( Sen 32 . 4 ) 


5 . 96



Paso 3: Calcular el tercer
ángulo.
  180  (    )
  180  ( 32 . 4  35 . 44 )
  112 . 16

PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El ángulo opuesto al lado más
largo (hay que tener cuidado si el Ley de cosenos.
ángulo es obtuso).
2
De los ángulos restantes, cuál
será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos.
Tercer ángulo.
180° menos la
suma de los otros 2
ángulos.
3
 Resuelve
el triángulo con a = 27.3 m,
b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para encontrar el
ángulo , que está opuesto
al lado más largo. c 2  a 2  b 2
c a b
2
c a b
2
2
2
2
2
 2 ab
 2 ab cos 
  2 ab cos 
 cos 
2
2
2

(
35
.
2
)

(
27
.
3
)

(
17
.
8
)
1
  cos 
 2 ( 27 . 3 )( 17 . 8 )

  100 . 49





Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar el ángulo α o
β.
Calculemos α.
a
sen 

c
sen 
c ( sen  )  a ( sen  )
sen  
a ( sen  )
c
  sen
1
  49 . 69
 27 . 3 ( sen 100 .49 ) 


35 . 2



Paso 3: Calcular el tercer
ángulo, β.
  180  (   )
  180  (100 . 49  49 . 69 )
  29 . 82

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