CONSTRUCIONES
GEOMETRICAS - CÓNICAS
Construcciones elementales
Ejercicio Nº 1.-Elementos de la elipse
1º La circunferencia principal Cp de la elipse
es la que tiene por centro el de la elipse y radio
a. Se define como el lugar geometrico de los
pies de las perpendiculares trazadas por los
focos a cada una de las tangentes
Las circunferencias focales Cf y Cf' de la
elipse tienen por centro uno de los focos y radio
2a
Es decir si desde un foco trazamos
perpendiculares a la Cp se dibujan las
tangentes a la elipse.
En el otro lado el punto T es simetrico del foco
F respecto a la tangente t, si unimos T con F'
determinamos el punto M punto de tangente de
la elipse y la recta t'
Ejercicio Nº2.- Hallar los focos de una elipse conociendo los ejes AB =70 y CD=55.
1.- Trazamos el eje mayor AB =70 mm, por ejemplo
2.-Trazamos la mediatriz del eje AB, que resulta ser el eje menor.
3.- Con centro en la intersección de los ejes trazamos una de circunferencia de radio 27,5 que nos
determina los extremos del eje menor CD.
4.- Con centro en un extremo del eje menor ( en C o en D) trazamos un arco de radio
a=35 mm que nos determina los puntos F y F’ que son los focos de la elipse.
Ejercicio Nº 3.-Construcción de una elipse por puntos, de ejes AB=70 mm
y el eje menor CD= 50mm.
1.- Trazamos la mediatriz del eje AB.
2.- Con centro en O trazamos una circunferencia de diámetro 50 mm, que nos determina
los puntos C y D extremos del eje menor.
3.- Con centro en C trazamos un arco de circunferencia de radio a=35 mm, que nos determinan
los focos de la elipse F y F’.
4.- Tomamos un punto 1 del eje mayor situado entre F’ y O.
5.- Con centro en los focos trazamos una circunferencia de radio 1B= 16 mm.
6.- Con centro en los focos trazamos un arco de radio 1A, que corta a los anteriores en los
punto P -P’ y Q – Q’, que son puntos de la elipse.( los arcos se hace centro uno en un foco y
el otro en el otro foco)
7.- Tomamos otros puntos 2 y 3 … los que sean necesario y repetimos el mismo procedimiento.
Y obtenemos otros puntos.
8.- Unimos los puntos y obtenemos la elipse.
Ejercicio Nº 4. Trazado de la elipse por puntos mediante, la circunferencia
principal y la de diámetro 2b. Dados los ejes
C
A
O
D
B
1.-Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.
C
A
O
D
B
2.-Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores. Se traza por T'
una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la
elipse.
T'
C
T''
A
O
D
T
B
3.- Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar
tantos puntos como de precise.
T'
C
T''
A
O
D
T
B
Ejercicio Nº 5.- Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos.
Conociendo los ejes. AB y CD.
Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado
AB). Unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en el punto P un punto de la
circunferencia. Podemos unir el diámetro vertical de la misma manera.
A
M
B
P
E
D
O
N
C
O
1.- Vamos utilizar el mismo procedimiento de la circunferencia para la elipse. Se traza el rectángulo
de lados igual a los ejes.
A
M
B
P
E
D
O
N
C
B
A
E
D
O
C
2.- Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el lado
BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.
A
M
B
P
E
D
O
N
C
M
A
E
B
O
N
D
C
3.- Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos da el
punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.
A
M
B
P
E
D
O
N
C
M
A
B
P
E
O
3
N
D
C
4.- Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con el
punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.
A
M
B
P
E
D
O
N
C
A
12
M
B
P
E
3
O
N
4
D
6
C
5.-Se repite la operación en la parte izquierda de la elipse y tenemos otros cuatro
puntos.
6.- Con los otros cuatro puntos que faltan y los extremos de los ejes tenemos los doce
puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.
B
A
P
E
D
O
N
C
12
A
11
B
1
10
E
M
P
2
9
3
O
N
8
D
4
7
5
6
C
Ejercicio Nº5.- Trazado de las asíntotas de la hipérbola Conocidos los
vértices A y B y los focos F y F‘.
1º METODO
1.- Por A y B trazamos la perpendicular al eje AB y con centro en O y radio
OF=OF’ trazamos un circulo que corta a la perpendicular en los puntos 1 y 2 que unido con O
nos da las asíntotas buscadas.
2º METODO
2.- Por F’ trazamos las tangentes a la hipérbola uniendo los puntos de
tangencia con O tenemos las asíntotas.
3º METODO
3.- Hallamos el punto medio de OF y trazamos con centro en este punto una
circunferencia de diámetro OF que corta a la Cp en los puntos 3 y 4 que son los puntos por donde
pasan las asíntotas.
Ejercicio Nº 6.- Construcción de la hipérbola por puntos. Conocidos a=20 y
b=15 mm.
Calculamos la distancia focal c
1.- Sobre el eje real marcamos los focos F y F’ y el eje real A-B.
2.- Sobre el eje real a partir de F o F’ en este caso a partir de F tomamos unos puntos cualesquiera
1, 2, 3,…
3.- Tomamos la medida 1B =(11) y con centro en F trazamos un arco de
circunferencia de radio 1B=11 mm.
4.- Tomamos la medida 1A =(51) y con centro en F’ trazamos un arco de circunferencia de radio
1A=51 mm. Que corta al otro circulo en los puntos M y P que son dos puntos de la hipérbola.
5.- Se repite el procedimiento pero a la inversa y hallamos los puntos M y Q.
6.- Se repite en procedimiento para los puntos 2, 3, … y se obtienen otros puntos de la
hipérbola hasta que consideremos suficientes.
7.- Unimos los puntos y tenemos la hipérbola por puntos.
Ejercicio Nº 7.- Construcción de una hipérbola por haces proyectivos dados
el ejes AB=30 mm y la distancia focal FF'= 40 mm.
1.- Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.
2.- Se traza un rectángulo BMPN.
3.- Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el extremo B del eje mayor
dado y con el otro extremo A de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la
hipérbola.
4.- Se unen los puntos y tenemos la parte de la hipérbola.
5.- Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de NP los
simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..
6.- Por la parte izquierda se vuelve repetir el mismo procedimiento y tenemos la hipérbola.
Ejercicio Nº 8.- Construcción de una hipérbola por envolventes dados los
focos y los vértices A y B.
1.- Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.
2.- Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco
de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M y N por el que pasa
la asíntota t’ y t, las asíntotas son simétricas AM = AN
3.- Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t’ y t. (vemos la posición de a, b y c).
4.- Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F y trazamos la
perpendicular a 1F por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.
5.- Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el
procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a
continuación.
6.- Repetimos el procedimiento en la parte inferior.
5.- Se repite el procedimiento en la parte izquierda y tenemos las tangentes a la hipérbola,
dibujando la hipérbola a continuación.
Ejercicio Nº 9.- Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola. Distancia FV = AV
Elementos de la parábola.
Elementos de la parábola.
Ejercicio Nº10.- Construcción de la parábola por puntos. Conocidos el
eje, el foco y la directriz.
1.- Hallamos el vértice y la tangente en el vértice. Trazando la mediatriz del foco F a la directriz
punto A.
2.- Por un punto cualquiera del eje 1 trazamos una perpendicular al eje, hallamos la distancia a la
directriz y con esta distancia de radio y centro en F trazamos una circunferencia que corta a la
perpendicular en los puntos P y P1, que son puntos de la parábola.
3.- Vemos que la distancia del punto P a la directriz d es la misma que la distancia del punto
P al foco F.
4.- Repetimos el procedimiento las veces que sean necesarias para trazar la parábola.
5.- Unimos los puntos y obtenemos la Parábola.
Ejercicio Nº 11.- Trazar una parábola por envolventes. Tenemos una
parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.
V
F
eje
1.- Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia
focal de la parábola Cf.
d
V
A
F
eje
2.- Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y
es así mismo la circunferencia principal Cp .
tv
d
V
A
F
eje
3.- Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una
perpendicular por T.
tv
d
T
V
A
F
eje
4.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco F y trazamos una
perpendicular por la intersección con la tangente.
5.- Situamos otros puntos, en la tangente, unimos estos puntos con el foco F y procedemos
de la misma manera.
5.- Repetimos la operación por la parte inferior y trazamos la parábola que es la
tangente a las perpendiculares.
Ejercicio Nº 12.- Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la
curva.
P
V
eje
1.- Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.
N
V
P
eje
2.- Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.
3.- Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.
4.- La paralela por 7 y el rayo 7V se cortan en R que resulta ser un punto de la
parábola. De la misma forma se obtienen los demás puntos
5.- La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje.
6.- Unimos los puntos y tenemos la parábola.
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