CONSTRUCIONES
GEOMETRICAS 5 - CÓNICAS
Construcciones elementales
Ejercicio Nº 17
Elementos de la elipse
1 º L a circu n feren cia p rin cip al C p d e la elipse
es la q u e tien e p o r cen tro el de la elipse y radio
a . S e d efin e co m o el lu g ar geom etrico de los
p ies d e las p erp en d icu lares trazadas por los
fo co s a cad a u n a d e las tangentes
L as circu n feren cia s fo cales C f y C f' de la
elip se tien en p o r cen tro u n o de los focos y radio
2a
E s d ecir si d esd e un foco trazam os
p erp en d icu lares a la C p se d ib u jan las
tan g en tes a la elipse.
E n el o tro lado el punto T es sim etrico del foco
F resp ecto a la tangente t , si u nim os T co n F '
d eterm in am o s el punto M p u n to d e tangente de
la elip se y la recta t '
Ejercicio Nº 18
Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos
C
B
A
D
Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide
el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad
el lado menor AE en el mismo numero de partes.
C
E
4
3
2
1
B
A
1
2
3
4
O
D
Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4.
Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se
cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.
C
E
4
3
2
1
B
A
1
2
3
4
O
D
Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada
C
E
4
3
2
1
B
A
1
2
3
4
O
D
Ejercicio Nº 19
Construcción de una elipse por envolventes
Dados los ejes y los focos
Trazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.
C
O
A
F'
F
D
B
La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro
O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las
tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.
C
O
A
F'
F
D
B
Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la
perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.
E
t
C
O
A
B
F
D
Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la
figura.
E
t
C
O
A
F'
F
D
B
Ejercicio Nº 20
Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de
diámetro 2b.
Dados los ejes
C
A
B
O
D
Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.
C
A
B
O
D
Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.
Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T
que es un punto de la elipse.
T'
C
T ''
A
T
B
O
D
Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar
tantos puntos como de precise
T'
C
T ''
A
T
B
O
D
Ejercicio Nº 21
Construcción de una elipse dados una pareja de diámetros conjugados
Dados una pareja de diámetros conjugados A’-B’ y C’-D’
D'
O
A'
B'
C'
Trazamos la circunferencia de diámetro A‘ B'.
D'
O
A'
B'
C'
La perpendicular por O corta a la circunferencia en D1 y C1 .
1
D'
O
A'
B'
C'
C1
Unimos los puntos D1 y D’ así como C1 y C’.
D1
D'
O
A'
B'
C'
Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el
RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'
Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en
S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la
anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada
D1 S
D'
P
O
A'
R
C'
C1
B'
Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a
continuación se traza la elipse
D1 S
D'
P
O
A'
R
C'
C1
B'
Ejercicio Nº 22
Puntos de intersección de una recta con una elipse
Sea la elipse dada por sus elementos, focos, ejes y la recta r.
r
C
B
A
F
O'
D
F'
Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que
son tangentes a la focal y pasan por el otro foco, lo que tenemos que determinar son los
centros de estas circunferencias.
r
2a
C
B
A
F
O'
D
F'
Trazamos la focal del foco F de radio 2a, se halla el simétrico de F' respecto a la recta r
punto F'1 .
r
F '1
2a
C
B
A
F
O'
D
F'
Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta r, que corta a la
focal en 1 y 2, la cuerda 1-2 y la recta F'-F'1 se cortan en el centro radical Cr.
1
r
F '1
O
2a
C
B
A
F
O'
F'
2
D
Cr
Desde Cr trazamos las tangentes a la focal, que nos dan los puntos de tangencia T1 y T2
1
r
F '1
O
2a
T1
C
B
A
F
O'
F'
2
D
Cr
T2
Unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con F dando los puntos I1 e I2, que son los
puntos de intersección de la recta con la elipse, a la vez son los centros de las
circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco F'
1
r
F '1
O
2a
C
T1
I1
B
A
F
O'
F'
2
I2
D
Cr
T2
Ejercicio Nº 23
Hallar los ejes una elipse dada por una pareja de diámetros conjugados A'B' y
C'D'.
D'
A'
O
C'
B'
Por el centro O se traza la perpendicular a A‘ B' y se lleva OP=OA',
P
D'
A'
O
C'
B'
Se une P con D' y se traza la circunferencia de centro O1 y diámetro PD', con
centro en O1 y radio O1O se traza la semicircunferencia MON.
Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.
M
P
O1
D'
N
A'
O
C'
B'
Unimos O1 y O obteniendo los puntos G y H
M
H
P
O1
D'
G
A'
O
C'
N
B'
La magnitud de los ejes es a = OH y b = OG que transportamos sobre cada uno de ellos
respectivamente
M
H
P
O1
D'
D
A'
G
O
B
B'
A
C'
N
C
Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal
Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F'
respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F',
N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su
longitud valdrá de FF'
FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OA
Siendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares,
trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y
radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp)
La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las
tangentes de la elipse
F1
C f'
M
F '1
C
T
t
N
A
F
F'
O
D
Cp
Cf
B
Ejercicio Nº 25
Tangentes desde un punto P a una elipse utilizando la circunferencia principal
C
A
F
O
D
F'
B
P
Trazamos la circunferencia principal Cp de centro en O y radio OB = OA
Cp
C
A
F
O
D
F'
B
P
Unimos el punto P con el Foco F’ y con centro en 1 punto medio de PF‘, trazamos la
circunferencia de diámetro PF'
Cp
C
A
F
O
F'
B
1
D
P
Los puntos de corte con la Cp puntos M y N son los puntos por los que pasan las
tangentes unimos estos con P y tenemos las tangentes t y t' a la elipse
Cp
C
M
A
F
F'
O
B
1
t
P
D
N
t'
Determinamos los simétricos F' respecto a las tangentes puntos F1' y F2'. Unimos estos
puntos con el otro foco F y determinamos los puntos de tangencia con la elipse T y T'
Cp
C
T
A
F
F'
O
T'
F 1'
M
B
1
t
P
D
N
F 2'
t'
Ejercicio Nº 26
Tangente a la elipse paralelas a una dirección dada d utilizando la
circunferencia principal
C
A
F
F'
O
D
B
Trazamos la circunferencia principal Cp
C
A
F
F'
O
D
B
Trazamos por el foco F una perpendicular a la dirección d
C
A
F
F'
O
D
B
Por los puntos M y N de intersección con la Cp son los puntos por los que pasan las
tangentes por estos puntos trazamos las paralelas a la dirección dada d.
M
C
t
A
F'
F
O
D
N
t'
B
Hallamos los simétricos del foco F respecto de las tangentes t y t' puntos F1 y F2 .
F1
M
C
t
A
F'
F
O
D
N
t'
F2
B
Unimos los puntos F1 y F2 con F' y determinamos los punto de corte con las tangentes
puntos T y T' que son los puntos de tangencia con la elipse
F1
T
M
C
t
A
F'
F
O
D
N
t'
F2
T'
B
Ejercicio Nº 27
Construcción de la hipérbola por haces proyectivos.
Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’
F'
A
B
F
Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.
P
F'
A
B
F
N
Se traza un rectángulo BMPN.
P
M
F'
A
B
F
N
Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor
dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la
hipérbola.
M1
2
3 4
P
3
2
1
F'
A
B
F
N
Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP
los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la
Fig..
4'
3'
2'
M1
1'
2
3 4
P
3
2
1
F'
A
N
F
B
1'
2'
3'
4'
1'
2'
3'
Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada
4'
3'
2'
M1
1'
2
3 4
P
3
2
1
F'
A
N
F
B
1'
2'
3'
4'
1'
2'
3'
Ejercicio Nº 28
Determinar los puntos de intersección de una recta con una hipérbola
Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta r que queremos conocer los
puntos de intersección con la hipérbola
r
F
A
B
F'
Trazamos la circunferencia focal de centro F,
r
F
A
B
F'
Hallamos el simétrico de F' respecto de la recta r punto F'1
r
F '1
F
A
B
F'
Trazamos la circunferencia auxiliar de centros E que pase por F y F'1 de radio
cualquiera.
r
F '1
F
A
B
E
F'
Unimos los puntos de corte de la circunferencia anterior con la focal puntos 1 y
2 y determinamos el Cr que es el punto de corte con la recta F' F'1
r
Cr
F '1
1
F
A
2
B
E
F'
Desde Cr trazamos las tangentes a la focal y hallamos los puntos T y T',
r
T'
Cr
F '1
1
T
F
A
2
B
E
F'
Unimos los puntos T y T’ con el foco F y determinamos los puntos I1 y I2 puntos
de intersección de la recta con la hipérbola
r
T'
Cr
F '1
I2
1
T
O
F
A
2
I1
B
E
F'
Ejercicio Nº 29
Trazar una hipérbola por envolventes
Tenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.
F
A
O
B
F'
Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.
Cp
F
A
O
B
F'
Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco
de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que
pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN
Cp
M
b
F
A
O
N
B
F'
Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t
Cp
M
T
c
b
a
F
A
B
O
F'
T'
N
t'
Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la
perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.
Cp
M
T
c
b
1
a
F
A
B
O
F'
T'
N
t'
Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el
procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a
continuación
t
Cp
M
T
c
b
1
a
F
A
B
O
F'
T'
N
t'
Ejercicio Nº 30
Trazar una hipérbola conocidas las asíntotas y un punto P de ella
a
a'
P
O
Por el punto P trazamos una recta que corta a las asíntotas en A y D
a
A
a'
P
O
D
Tomamos la distancia PA y trazamos el punto C, PA = CD.
a
A
a'
P
O
C
D
Repetimos la misma operación con otra recta que corta a las asíntotas en M y N, y
determinamos el punto R igual que el C; NP = MR
a
A
a'
P
N
M
R
O
C
D
Se determinan todos los otros puntos restantes de la misma forma
trazando rectas que pasen por el punto P o por los otros puntos hallados C, C’, R y R’
a'
A'
a
R'
A
M'
N'
P
N
M
R
C'
O
C
D'
D
Ejercicio Nº 31
Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior P, mediante la circunferencia principal
Cp.
Se conocen el eje AB y los focos F y F' de la hipérbola, y un punto cualquiera P exterior
a ella.
P
A
F'
O
B
F
Trazamos la circunferencia principal Cp
P
A
F'
O
B
F
Unimos el punto P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF y centro
O1 que corta a la Cp en los puntos M y N.
P
O1
M
A
F'
O
B
N
F
Por los puntos M y N pasan las tangentes a la hipérbola unimos M y N con P y tenemos
las tangentes t y t'
Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos
con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'
P
O1
M
A
F'
O
B
N
F
t'
t
Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que
unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'
P
F2
O1
M
A
B
O
N
F'
F1
F
T'
T
t'
t
Ejercicio Nº 32
Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada, mediante la circunferencia
principal Cp.
Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta d que nos da la dirección que
queremos trazar las tangentes.
d
O
F A
B
F'
Trazamos la circunferencia principal Cp de centro O y radio OA = OB
d
Cp
O
F A
B
F'
Por F' trazamos la perpendicular a la dirección dada d que nos determina los
puntos M y N, puntos por los que pasan las tangentes a la hipérbola paralelas
a la dirección dada d, foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la
hipérbola
d
M
Cp
O
F A
N
B
F'
Trazamos estas tangentes t y t', por M y N y paralelas a la dirección dada d
t
d
M
O
F A
t'
Cp
N
B
F'
Hallamos los simétricos de F' respecto a las tangentes t y t' puntos F'1 y F'2.
F '1
t
d
M
t'
Cp
F '2
O
F A
N
B
F'
Unimos F'1 y F'2 con el otro foco F que nos da los punto de tangencia T y T'
con la hipérbola
F '1
t
d
M
t'
Cp
T'
F '2
O
F A
T
N
B
F'
Ejercicio Nº 33
Trazar una parábola por envolventes
Tenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.
F
V
eje
Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la
circunferencia focal de la parábola Cf.
d
F
V
A
eje
Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al
eje y es así mismo la circunferencia principal Cp
tv
d
F
V
A
eje
Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y
trazamos una perpendicular por T.
tv
d
T
F
V
A
eje
Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las
perpendiculares.
tv
d
T
F
V
A
eje
Ejercicio Nº 34
Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva
P
V
eje
Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.
N
P
V
eje
Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.
N
1
2
3 4
5
6
P
6
5
4
3
2
1
V
eje
Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.
N
1
2
3 4
5
6
P
eje
La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen
los demás puntos
N
1
2
3 4
5
6
6
5
4
3
2
1
V
R
P
La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al
eje
N
1
2
3 4
5
6
P
6
R
5
4
3
2
1
eje
V
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3 4
5
6
P
Ejercicio Nº 35
Intersección de una recta con una parábola.
Se conocen el eje y el foco F y la directriz de la parábola, y la recta r.
r
d
eje
F
Hallamos el vértice de la parábola V y trazamos la tangente en el vértice tv que así
mismo la circunferencia principal Cp.
tv
d
r
eje
V
F
Hallamos el simétrico de F respecto de la recta r punto F'.
tv
d
r
F'
V
eje
F
Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por F y F' de centro en el
punto O.
tv
d
r
O
F'
V
eje
F
Prolongamos la recta FF' que corta a la directriz en el punto Cr, centro radical se traza la
tangente Cr-T
tv
d
r
T
O
Cr
F'
V
eje
F
Este segmento se lleva sobre la directriz con una circunferencia de centro Cr y radio CrT que nos determina los puntos A y B.
tv
d
A
r
T
O
Cr
F'
V
B
eje
F
Por A y B se trazan las perpendiculares a la directriz que cortan a la recta r en
los punto I y I' que son los puntos de intersección de la recta r con la parábola.
tv
d
A
r
T
I'
O
Cr
F'
eje
F
V
B
I
Ejercicio Nº 36
Determinación de una parábola conociendo dos tangentes y los puntos de
tangencias en cada una .
Conocemos las tangentes t y t' y los puntos de tangencia T y T'.
T
t
t'
T'
Unimos los puntos de tangencia y tenemos la recta T-T', hallamos el punto medio M de
este segmento TT', unimos M y N y tenemos la dirección del eje que es la recta MN.
T
t
D irección d el eje
M
N
t'
T'
Tomamos un punto cualquiera P y por el trazamos las paralelas a las tangentes que
cortan a estas en los puntos 1 y 2 se unen estos y determinamos la tangente t'' que es
otra tangente a la parábola, determinamos el punto de tangencia trazando por P una
paralela al eje que nos determina el punto T''.
T
1
P
T ''
t
t''
D irección d el eje
M
N
2
t'
T'
Si tomamos el punto M punto del eje de la parábola y por el trazamos las paralelas a las
tangentes que cortan a estas en los puntos 3 y 4 se unen estos y determinamos el
vértice V de la parábola
Para determinar mas puntos se repite el procedimiento tomando puntos diferentes sobre
la recta TT'.
T
1
P
T ''
3
t
t''
D irección d el eje
N
M
V
2
4
t'
T'
Ejercicio Nº 37
Tangentes a la parábola desde un punto exterior P utilizando la tangente en el
vértice
Tenemos una parábola definida por el eje, vértice A el foco F '.
P
A
F
Se traza la directriz d por B, FA = AB que como sabemos es perpendicular al eje (que es
la circunferencia focal Cf de la parábola) a continuación por A trazamos la tangente en
el vértice tv que es la circunferencia principal Cp.
d
tv
P
B
A
F
Unimos P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF, que
corta a la tangente en el vértice tv en los puntos M y M' puntos que pertenecen
a las tangentes
d
tv
P
M
M'
B
A
F
Unimos P con M y M' puntos que pertenecen a las tangentes y tenemos las
tangentes t y t' desde el punto P a la parábola.
d
tv
t'
t
P
M
M'
B
A
F
Unimos el foco F con los puntos M y M' y tenemos los punto F1 y F2 puntos de
la directriz por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los
puntos de tangencia con la parábola T y T'.
d
tv
F1
t'
t
P
M
F2
M'
B
A
F
Por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de
tangencia con la parábola T y T'.
d
tv
T
F1
t'
t
P
M
F2
T'
M'
B
A
F
Ejercicio Nº 38
Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada r utilizando la tangente
en el vértice
Datos el eje, el foco F y el vértice A
r
A
F
Trazamos la directriz d y la tangente en el vértice tv, teniendo presente que
AB = AF
d
tv
r
B
A
F
Por el foco trazamos la perpendicular a la dirección dada r que corta a la tangente en el
vértice tv en el punto M y a la directriz en el punto F'.
d
tv
F'
90°
r
M
B
A
F
El punto M es un punto de la tangente buscada por M trazamos una paralela
a la dirección dada r y tenemos la tangente buscada.
d
tv
t
F'
90°
r
M
B
A
F
Por el punto F' punto de corte de la perpendicular con la directriz trazamos otra
paralela al eje que nos el punto T punto de tangencia con la parábola.
d
tv
t
F'
90°
r
T
M
B
A
F
Ejercicio Nº 39
Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos.
Se conocen los ejes.
Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia
(cuarta parte del lado AB)
Si unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en un punto
de la circunferencia
M
A
B
P
E
O
N
D
C
O
Se traza el rectángulo de lados igual a los ejes
M
A
B
P
E
O
N
D
C
B
A
E
D
O
C
Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el
lado BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de
los lados.
M
A
B
P
E
O
N
D
C
M
A
E
B
O
N
D
C
Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos
da el punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.
M
A
B
P
E
O
N
D
C
M
A
B
P
E
O
3
N
D
C
Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con
el punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.
M
A
B
P
E
O
N
D
C
M
12
B
A
P
E
3
O
N
4
D
C
6
Se repite la operación y tenemos otros cuatro puntos.
B
A
P
E
O
N
D
C
12
A
M
11
B
1
P
E
3
N
8
4
D
C
6
Con los otros cuatro puntos extremos de los ejes tenemos los doce puntos que
unimos y tenemos dibujada la elipse.
B
A
P
E
O
N
D
C
M
12
A
11
B
1
10
2
P
9
E
3
O
N
8
D
4
7
5
C
6
Ejercicio Nº 40
Construcción de una parábola por tangentes
Conocemos el eje de la parábola, la tangente en el punto P a la parábola (PV).
P
eje
V
Determinamos el simétrico de P respecto al eje punto P' y trazamos la tangente P'V.
P
eje
V
P'
Se dividen PV y P'V en el mismo numero cualquiera de partes.
8
10
7
6
5
9
4
3
P
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eje
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 P '
Se numeran las dos tangentes correlativamente pero en orden inverso.
8
10
7
6
5
9
4
3
P
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eje
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 P '
Se trazan las rectas 1-1, 2-2, 3-3,.....9-9, que son las tangentes a la parábola y trazamos
la misma.
8
10
7
6
5
9
4
3
P
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eje
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 P '
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CONSTRUCIONES GEOMETRICAS