HIPÉRBOLAS
HIPÉRBOLA
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Una hipérbola es el lugar geométrico
de los puntos tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados
focos (F y F´), es igual a una constante
positiva (2a) igual a la distancia entre
los vértices.
PF  PF´  2a
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Gráfica:
PF  PF´  2a
Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes
separadas, llamadas ramas.
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Las hipérbolas aparecen en
muchas situaciones reales:
 Trayectorias de cometas.
Un cuerpo celeste que
provenga del exterior del
sistema solar y sea atraído
por el sol, describirá una
órbita hiperbólica, teniendo
como un foco al sol y
saldrá nuevamente del
sistema solar.
 El cono de luz que emana
de una lámpara de mesa
con pantalla troncocónica,
es una hipérbola. Los focos
de los estadios deportivos
son hiperbólicos porque
interesa dispersar la luz.
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Ecuación de la
hipérbola:
Nótese que las ramas se acercan a las asíntotas (indicadas el línea discontinua).
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Elementos de la hipérbola:
- Los puntos A y A' son los vértices.
- El segmento AA' es el eje focal o
real y representa la distancia entre
los vértices, d(A,A')=2a.
- El segmento BB' se llama eje
secundario o imaginario y, por
similitud con la elipse, se le asigna
una longitud 2b.
-La distancia de F a F' es la
distancia focal, d(F,F') = 2c y c
cumple que c2 = a2 + b2 (No
confundir con la relación en la elipse
que era a2 = b2 + c2).
- Excentricidad (e) es el cociente
de c entre a: e = c / a. Nótese que
e>1 porque c>a.
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Las asíntotas de la
hipérbola son dos
rectas a las que la
curva se acerca
indefinidamente sin
llegar a tocarlas. Son
dos, y sus ecuaciones
son las siguientes:
b
y x
a
b
y x
a
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Ejemplo 1: Hallar la ecuación y asíntotas de la
hipérbola de foco F(4, 0) y de vértice A(2, 0).
Primero se calculan los parámetros a,b,c:
Entonces la ecuación es:
y sus asíntotas tienen ecuaciones:
y  3x, y   3x
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Ejemplo 2: Hallar la ecuación y la excentricidad de la
hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5,
0), y 6 como distancia entre los vértices.
Primero se calculan los parámetros a,b,c:
Por lo que la ecuación y la excentricidad es:
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Ejemplo 3: Hallar las coordenadas de los vértices y de los
focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de
la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.
Primero se divide entre 144 para obtener
De aquí que a=4, b=3 y c=5 puesto que c2 = a2 + b2
Luego los vértices son:
y los focos:
Asíntotas:
Excentricidad:
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