MATE 3011 – PRESENTACION 5
LA ECUACION DE UNA
RECTA
Ya hemos mencionado
•
•
•
La ecuación en dos
variables que
representa una recta
tiene la forma :
y=mx+b
Por ejemplo, a la
derecha se muestra la
grafica de y = 2x – 1
Nota: La gráfica tiene
tres características
distintivas:
su inclinación
intercepto – y
intercepto - x
Noción de pendiente

Se describe la inclinación de una
recta con una medida llamada
pendiente.

A mayor pendiente, mayor
inclinación. (En la figura L1 está más
inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente,
tomamos dos puntos
 ,  ,  ,  y calculamos:
Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta que
pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7).

Utilizando la fórmula:
−
=
−


= =

Observemos la figura 4.2

Nota: La pendiente es positiva, la
recta «sube» en el plano (de izquierda
a derecha
Pendiente Positiva y Negativa

Ilustramos ambos casos:
Hallar la pendiente


Haz un boceto de la recta que pasa por
los dos puntos dados y halla la pendiente.
a)
A(-1, 4) and B(3, 2)
b)
A(2, 5) and B(-2, -1)
c)
A(4, 3) and B(-2, 3)
d)
A(4, -1) and B(4, 4)
Ilustramos:
Hallar la pendiente (continuación)
24
2
1
(a) m 


3   1 4
2
5   1 6 3
(b) m 
 
2   2  4 2
Slope of Line (cont’d)
33
0
(c) m 

0
2  4 6
(d) La pendiente no está definida.
Esbozar una recta dada la
pendiente

Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene
pendiente igual a
a) 5/3
SOLUCION (a) :
• Dado que P(2, 1) está en la recta,
podemos obtener otro punto
moviendo 3 unidades hacia la
derecha y 5 unidades hacia
arriba.
• Esto nos da un segundo punto
Q(5, 6).
• Esbozamos la recta uniendo los
dos puntos con una línea recta.
Esbozar una recta dada la
pendiente

Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que
tiene pendiente igual a
b) -5/3
SOLUCION (b) :
• Dado que P(2, 1) está en la recta,
podemos obtener otro punto
moviendo 3 unidades hacia la
derecha y 5 unidades hacia abajo.
• Esto nos da un segundo punto
Q(5, - 4).
• Esbozamos la recta uniendo los
dos puntos con una línea recta.
Diagrama de diferentes
pendientes
Ejemplo:
rectas horizontales y verticales
Hallar la ecuación de la recta que pasa
por el punto P(-3, 4) y que es paralela a
(a) el eje de x
(b)
el eje de y
SOLUCION:
(a) Una recta paralela al eje de x es una
recta horizontal. Su pendiente es 0.
Su ecuación es y = 4.
(b) Una recta paralela al eje de y es una
recta vertical. Su pendiente NO está
definida. Su ecuación es x = -3.
Forma Punto-Pendiente

Dada la pendiente
de una recta, m, y un
punto sobre la recta,
P(x1, y1 ), usamos
y – y1 = m(x – x1) ,
para hallar la
ecuación de la recta.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por
A(1, 7) y B(-3, 2).
SOLUCION:
• La figura muestra un boceto de la recta.
• Para hallar la ecuación necesitamos, primeramente hallar
la pendiente.
 −
−

• =
=
=
 −
−(−)

Ejemplo (continuación)
Se puede utilizar cualquier de los dos puntos en
este paso.
Aquí usamos:  =


   , 
y – y1 = m(x – x1)
Forma Pendiente-Intercepto

y = mx + b .

El número b es el intercepto en y de la
gráfica.

La gráfica es una recta con pendiente m y
que pasa por el punto (0, b) .

Ilustramos:
Slope-Intercept (cont’d)
recta con
pendiente
(inclinación
igual a m
Ejemplo
Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma
pendiente-intercepto.
SOLUCION:
2x – 5y = 8
- 5y = -2x + 8
−
=
+
=
−



−



−
Ejemplo
Dado 2x – 5y = 8 , esboce la gráfica de
la ecuación.
SOLUCION: Primeramente, debes clasificar la ecuación. En
este caso sabemos que la ecuación es lineal por que el
exponente de la variable x y el exponente de la variable y es
1.
• Hallar los interceptos:
• int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8

=−


, −

• int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8
x=4
(4, 0)
Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y
solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2 .

Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares
si y solo si m1m2 = -1 ,
(esto es, que una de las pendientes es el
recíproco negativo de la otra. 2 =
1
− )
1
Decidir si las rectas son paralelas o
perpendiculares en cada caso.
(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la
recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Hallar y comparar pendientes:

Pendientes iguales; rectas paralelas.
Decidir si las rectas son paralelas o
perpendiculares en cada caso.
(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la
recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Hallar y comparar pendientes:

Una pendiente es el recíproco negativo de la
otra; rectas perpendiculares.
Decidir si las rectas son paralelas o
perpendiculares en cada caso.
(b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

Convertir cada ecuación a la forma pendiente
intercepto:
–x + 2y = -2
2y = x – 2
−
=
=





−
2x = 4y + 3
2x – 3 = 4y
 − 
=



− =




= −


Pendientes iguales; rectas paralelas
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por
P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.
SOLUCION:
• Hallar la forma pendiente intercepto de la ecuación:
• 6x + 3y = 4
• 3y = 4 – 6x
−
• =
• =



−  (La pendiente de esta recta es m = -2)
• La pendiente de la recta que buscamos es 2 =
sea 2 =
1
2
1
− ,
1
o
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por
P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.
SOLUCION (continuación):
1
• Con la pendiente de la recta 2 = y el punto (6, -7)
2
podemos hallar la ecuación.
• La forma punto-pendiente es y – y1 = m(x – x1)
• Sustituyendo tenemos: y – (-7) = ½ (x – 6)

• Simplificando  +  =  − 
• =







−−
• =
− 
• 2y – x = -20
Ejemplo (cont.)
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la ecuacion de una recta