Geometría Analítica
Definición de Sistema de
Coordenadas
Es un sistema de ejes coordenados,
en que a cada punto del plano le
corresponde un par ordenado de
números reales, al número del eje x
se conoce como abscisa, al eje Y
ordenada.
Definición de abscisa
Abscisa: los números tomados
sobre el eje X que miden la
distancia en magnitud y el signo
desde el origen. El eje X se
llama, eje de las abscisas.
Definición de ordenada
Ordenadas: los números tomados
sobre el eje Y miden la distancia en
magnitud y signo desde el origen. El
eje Y recibe el nombre de ordenada.
Coordenadas (x,y)
Sabemos como se construye una recta numérica. La
línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje
de y y su intersección es el origen. Estos ejes
dividen el plano en cuatro zonas llamadas
cuadrantes.
Definición de Par Ordenado
Par de números de la forma ( x, y ) utilizados
para localizar puntos en un plano, se
expresan en forma de pares ordenados. El
orden en que se escribe es muy importante.
Signos de los puntos ( pares ordenados)
en los cuadrantes
Y
Cuadrante II
(-,+)
( x, y )
Cuadrante I
(+,+)
X
Origen
Cuadrante III
(-,-)
Cuadrante IV
(+,-)
Ejemplo de Par Ordenado
Ejemplo:
En el par ordenado ( 3 , 5) el 3
corresponde al número localizado en el eje
de ( x ) y el 5 corresponde al número
localizado en el eje de ( y ).
Ejercicios resueltos:
Y
Par Ordenado ( 3 , 5)
0
(3,5)
5
4
3
2
1
X
1
Origen
2 3 4
Localiza los siguientes pares ordenados
en el plano:
Y
A ( 2 , 3)
B (-3 , 4)
C (-3 , -2)
D ( 3 , 0)
B ( -3 , 4 )
- 4 - 3 -2
C ( -3 , -2 )
4
3
2
1
-1
0
-1
-2
-3
-4
( 2 , 3 )A
( 3 , 0 )D
1
2
3
4
X
Resuelve las ecuaciones y dibuja las
( x, y )
gráficas
Ejemplo # 1
y = - 3x + 5
Si x = 0
Si x = 1
Si x = 5
Si x = -1
(0,5)
y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5
y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )
y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )
y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )
Continuación I
Y
X Y
0
5
1
2
5 -10
-1 8
10
(-1, 8) 8
6
4
2
-10 -8 -6 -4 -2 0
-2
-4
-6
Gráficamente estos fueron
-8
los pares ordenados que se
-10
formaron.
(0, 5)
(1, 2)
2
4
6 8 10
(5, 10)
X
Continuación II
Ejercicio # 2
y = 4x + 2
( x, y )
Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2
(0,2)
Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )
Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )
Variable
independiente
X
Y
0
2
1
6
-1
-2
Variable
dependiente
Continuación III
Y
X
Y
0
2
1
6
-1
-2
(0,2)
(1,6)
1
-5 -4 -3 -2 -1
Los pares
ordenados
formados son
estos.
6
5
4
3
2
(-1,-2)
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5
X
Ejercicios resueltos con dos variables
* Despejar para y *
X
0
2x + 5y = 10
Si x = 0
2( 0 ) + 5y = 10
0 + 5y = 10
y = 10/ 5
Y
2
y=2
Continuación…
* Despejar para y *
X
0
5
2x + 5y = 10
Si x = 5
Y
2
0
2( 5 ) + 5y = 10
10 + 5y = 10
5y = 10 - 10
5y = 0
Continuación…
Continuación, ejercicio anterior
* Despejar para y *
X
0
5
-5
2x + 5y = 10
Si x = -5
Y
2
0
4
2( -5 ) + 5y = 10
-10 + 5y = 10
5y = 20
y = 20/5
5y = 10 + 10
y=4
Continuación…
Continuación B
Y
X
0
5
-5
Y
2
0
4
(-5,4)
5
4
3
2
(0,2)
1
-5 -4 -3 -2
-1
0
-1
-2
Estos son los pares
ordenados que se
formaron.
-3
-4
-5
1 2
3
4 5
X
(5,0)
Practicar para no olvidar
Ejercicio 1
¿Cuales signos corresponden al primer
cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda
que se gira contrario a la manecilla del reloj:
• A: ( + , - )
• B: ( + , + )
Ejercicio 2
¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante
en el plano cartesiano?:
• A: ( - , - )
• B: ( + , + )
Ejercicio 3
Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:
P = (3, 5). Seleccione su respuesta
A:
B:
-4 -3 –2 -1
P
-1
-2
-3
-4
-5
12345
P
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
1 2
3
Ejercicio 4
Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:
Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta.
A:
B:
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4
Ejercicio 5
Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:
R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta.
A:
B:
3
2
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
R -3
-4
3
1
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
R
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1.
Selecciona la alternativa correcta:
A:
B:
(1,7)
(3,5)
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2.
Selecciona la alternativa correcta:
A
( 3 , 10 )
B
( 2 , 13 )
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 4
• A: ( 5 , 10 )
• B: ( 4 , 13 )
• C: ( 13 , 4 )
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5
• A: ( 2 , 5 )
• B: ( 5 , 15)
• C: ( 4 , 10 )
Ejercicio 10
• Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x =
0
• A: ( 0 , 5 )
• B: ( 5 , 2 )
• C: ( 1 , 4)
Selección incorrecta
• Recuerda que en el primer cuadrante la
coordenada de x y la de y son positivas.
• Ejemplo 3 a la derecha y 5 hacia arriba.
• Intente otra alternativa
Felicidades
• Usted ha seleccionado correctamente:
Y
Cuadrante II
Cuadrante I
(+,+)
X
Origen
Cuadrante III
Cuadrante IV
Siguiente ejercicio
Selección incorrecta
• Recuerda que en el tercer cuadrante la
coordenada de x y la de y son negativas.
• Ejemplo -4 a la izquierda y -5 hacia abajo.
• Intente otra alternativa
Felicidades
• Usted ha seleccionado correctamente:
Y
Cuadrante II
Cuadrante I
X
Origen
Cuadrante III
Cuadrante IV
(-,-)
Siguiente ejercicio
Felicidades

Usted ha seleccionado correctamente:
• Recuerda que al
recorrer 3 a la
derecha
(coordenada x) y
5 hacia arriba
(ordenada y) los
dos números son
positivos, por
tanto el par
ordenado estará
en el primer
cuadrante.
Resp. B, Ejercicio 3
P
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
Siguiente ejercicio
Error intente otra alternativa
Respuesta A, ejercicio 3
-4 -3 –2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
12345
• Esta respuesta es
incorrecta porque si
recorre 3 espacios a la
izquierda y luego 5
hacia abajo, el par
ordenado será (-3,-5)
por tanto negativos.
En cambio el par
ordenado que
presenta el ejercicio
es (3,5).
Felicidades
• Selección de respuesta correcta.

3
Q
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4
Es correcta porque si
recorre -4 a la
izquierda y luego 2
hacia arriba se formará
el par ordenado (-4,2)
que es el que
pertenece al punto Q
que nos señala el
ejercicio propuesto.
Siguiente ejercicio
Error intente otra alternativa
• Su selección es incorrecta.

Esta respuesta es incorrecta
porque si recorre 2 espacios a la
derecha y luego 4 hacia abajo,
el par ordenado será (2,-4) por
tanto, el primer número es
positivo y pertenece a la
coordenada x, el segundo es
negativo y pertenece a la
ordenada y. En cambio el par
ordenado que presenta el
ejercicio es (-4,2).
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4
Felicidades
• Selección de respuesta correcta.

3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4
Es correcta porque si
recorre -1 a la
izquierda y luego -3
hacia abajo se formará
el par ordenado (-1,-3)
que es el que
pertenece al punto R
que nos presenta el
ejercicio propuesto.
Siguiente ejercicio
Error intente otra alternativa
• Selección incorrecta.

3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4
Esta respuesta es incorrecta
porque si recorre 1 espacio a la
derecha y luego 3 hacia arriba,
el par ordenado que se forma es
(1,3) por tanto, los números son
positivos y pertenecen al primer
cuadrante, donde todos los pares
ordenados son positivos. En
cambio el par ordenado que
presenta el ejercicio es (-1,-3).
Selección correcta: Felicidades
• Solución de la ecuación
y = 2x + 5 cuando x = 1




y = 2x + 5
y = 2(1) +5
y=2+5
y=7

El par ordenado
que se forma es:
(1 , 7)
Siguiente ejercicio
Error, su elección es incorrecta
• Al resolver la ecuación y = 2x +
5 cuando x = 1, la solución nos
debe dar como resultado un par
ordenado, donde x sea igual a
uno (x = 1) pues el ejercicio nos
lo indica.
Error, su elección es incorrecta
• Al resolver la ecuación y = 3x + 7
cuando x = 2, la solución nos
debe dar como resultado un par
ordenado, donde x sea igual a
dos (x = 2) pues el ejercicio nos
lo indica.
Selección correcta: Felicidades
• Solución de la ecuación y = 3x +
7 cuando x = 2




y = 3x + 7
y = 3(2) +7
y=6+7
y = 13

El par ordenado
que se forma es:
(2 , 13)
Siguiente ejercicio
Solución correcta:
• Solución de y = 2x + 5 cuando x = 4




y = 2x + 5
y = 2(4) +5
y=8+5
y = 13


Par ordenado
( 4 , 13 )
Siguiente ejercicio
Error, selecciones otra respuesta
• Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando
x = 4, la solución nos debe dar
como resultado un par ordenado,
donde x sea igual a cuatro (x = 4)
pues el ejercicio nos lo indica.
Error, solucion icorrecta
• Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando
x = 4, la solución nos debe dar
como resultado un par ordenado,
donde x sea igual a cuatro (x = 4)
pues el ejercicio nos lo indica.
Selección correcta:

Solución de y = 2x + 5 cuando x = 5
• y = 2x + 5
• y = 2(5) +5
• y = 10 + 5
• y = 15


Par ordenado
( 5 , 15 )
Siguiente ejercicio
Error, solucion icorrecta
• Al resolver la ecuación y = 2x + 5
cuando x = 5, la solución nos debe dar
como resultado un par ordenado,
donde x sea igual a cinco (x = 5)
pues el ejercicio nos lo indica.
Error, solucion icorrecta
• Al resolver la ecuación y = 2x + 5
cuando x = 5, la solución nos debe dar
como resultado un par ordenado,
donde x sea igual a cinco (x = 5)
pues el ejercicio nos lo indica.
Selección correcta:
• Solución de y = 2x + 5 cuando x = 0




y = 2x + 5
y = 2(0) +5
y=0+5
y=5


Par ordenado
(0,5)
Siguiente ejercicio
Error, selección icorrecta
• Al resolver la ecuación y = 2x + 5
cuando x = 0, la solución nos debe
dar como resultado un par
ordenado, donde x sea igual a
cero (x = 0) pues el ejercicio nos
lo indica.
Error, selección icorrecta
• Al resolver la ecuación y = 2x + 5
cuando x = 0, la solución nos debe
dar como resultado un par
ordenado, donde x sea igual a
cero (x = 0) pues el ejercicio nos
lo indica.
Direcciones en Internet relacionadas al tema
• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml
• http://jahumada.metro.inter.edu/mrsg1010/unidad3/u3s1t1.htm
• http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/prope/htmlb/sec_39.
html
• http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/
• http://www.kn.pacbell.com/wired/bluewebn/index.cfm
• http://www.shodor.org/interactivate/activities/graphit/
• http://www.salonhogar.com/
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