ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Estimación puntual
Estimador de un parámetro es una función de las
observaciones muestrales
t ( x1 , x 2 ,........ x n )
X 
1
n
S 
2
 x i funcion
1
n 1
 x
lineal de las observacio nes X  ˆ
 X  funcion
2
i
cuadratica
2
2
de las observacio nes S  ˆ
El resultado numérico que se obtiene es la estimación del parámetro
La expresión matemática (o algebraica) es el estimador del parámetro
Propiedades de los estimadores
1.- Insesgado o no viciado :
Un estimador se dice insesgado si su esperanza es igual
al parámetro
ˆ es insesgado
 E ( ˆ )  
Por el contrario, el estimador se dice viciado si su
esperanza es distinta al parámetro.
E (ˆ )    ˆ es viciado
2.- Consistente :
ˆ es un estimador


consistent e de  si :
P ˆ      1, para

n   ,    arbitraria mente pequeño
Si un estimador es insesgado (o asintóticamente
insesgado), será consistente si su variancia tiende a cero
E (ˆ )   V (ˆ ) 0  ˆ es consistent e
o bien
E (ˆ )   V (ˆ ) 0  ˆ es consistent e
3.- Eficiente :
Mínima Variancia
ˆ)
V
(

V (ˆ )  V (ˆ ) , o sea ,
1
*
V (ˆ )
*
Eficiencia relativa:
ˆ1 es mas eficiente
que ˆ2 ; si V (ˆ1 )  V (ˆ2 ) 
4.- Suficiente
V (ˆ1 )
V (ˆ2 )
1
Si contiene (o absorbe) toda la información proporcionada por la
muestra
5.- Invariancia
Cuando una función del mismo es un buen estimador de la
función del parámetro
Métodos de estimación puntual

Método de los momentos

Método de los Mínimos Cuadrados

Método de Máxima Verosimilitud
Estimación por intervalos de confianza.
En lugar de indicar simplemente un único valor como
estimación del parámetro poblacional , lo que se hace es
calcular un intervalo de valores en el que se tiene cierta
probabilidad (confianza) de que se encuentre el verdadero
valor de .
P ( ˆ    k  ˆ )  1  
Intervalo de confianza: Es el intervalo de las estimaciones
(probables) sobre el parámetro.
Límites de los intervalos de confianza: Son los dos valores
extremos del intervalo de confianza.
Amplitud del intervalo o margen de error...
Ahora bien, ¿cuán grande debe de ser el intervalo de
confianza? Evidentemente, si se dice que el intervalo de
confianza va de menos infinito a más infinito, seguro que
acertamos...
Pero eso no es muy útil. El caso extremo contrario es la
estimación puntual, donde la amplitud del intervalo es nula.
La idea es crear intervalos de confianza de manera que se
conozca en qué porcentaje de casos el valor del parámetro
poblacional estará dentro del intervalo crítico.
Es decir, dar una medida de bondad de la estimación, la
probabilidad de que el valor real  se encuentre dentro del
intervalo.
Coeficiente
P (ˆ      ˆ   )  1  
o grado de
confianza
¿Y cómo se fija tal probabilidad?
Al calcular un intervalo de confianza al 95%, ello quiere decir que
el 95% de las veces que repitamos el proceso de muestreo (y
calculemos el estadístico), el verdadero valor del parámetro
poblacional estará dentro de tal intervalo.
A ese usual nivel de significación se le denomina confianza
Otro caso usual es trabajar con el 99% de confianza
Intervalos de confianza para la media:
Supongamos que la población sigue una distribución
normal, con cierta media  y cierta desviación típica .
El estimador puntual para la media poblacional es
la media muestral.
Se sabe que:
(1)La media de la distribución muestral de medias es la
media poblacional .
(2). La varianza de la distribución muestral de medias es
2/n. O lo que es lo mismo, la desviación típica de la
distribución muestral de medias es  /n.
Veremos dos casos para calcular intervalos de confianza:
(1) La población es normal y conocemos  :

P X   k
x 
1
x
  1

n
x

n
i
x  N  , /
n

i 1
Sabemos cómo se distribuye la variable aleatoria muestral y a
partir de esa distribución podemos determinar el intervalo de
confianza.
Tipificamos la variable:
z
x
 /
 N 0 , 1 
n
Supongamos que deseamos tener un nivel de
confianza 1- .
N 0 , 1 
/2
/2
1-
-z/2
0
z/2
x


P   z / 2 
 z / 2   1  
 / n






P x 
z / 2    x 
z / 2   1  
n
n


Una estimación puntual de la media poblacional 
se obtendría de una muestra de n elementos haciendo
la media muestral.
Mientras que un intervalo de confianza con nivel de
significación  es:
x

n
z / 2    x 

n
z / 2
Se puede determinar el tamaño necesario de una muestra
para obtener una amplitud del intervalo de confianza
determinada calculando:


n   z / 2 


2
Semiamplitud del
intervalo
Ejemplo: n = 100 x  20   5
Confianza = 0.95   = 0.05
Buscamos en las tablas N(0,1) los valores de z que
dejan 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por abajo y
0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por arriba:
 z 0 .025   1.96 y z 0 .025   1.96
x

n
x

n
z  / 2  20 
z  / 2  20 
5
1 . 96  19 . 02
100
5
100
   (19 . 02 ; 20 . 98 )
1 . 96  20 . 98
A medida que el tamaño muestral aumenta, la amplitud
del intervalo disminuye. (esto es general, no sólo para la
media.)
Confianza 1 -  = 0.95:
Caso 1. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, n=12.

P  10  (  1.96) 

2
   10  1.96 
12

  P  8.87    11.13   0.95
12 
2
Caso 2. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, n= 20.

P  10  (  1.96) 

2
20
   10  1.96 

  P  9.12    10.88   0.95
20 
2
En tal caso, se tendrá más seguridad de que el
parámetro de interés se halle en los límites del intervalo.
El problema es que incrementar la confianza aumenta
la amplitud del intervalo.
Caso 1. Media muestral = 10, varianza poblacional = 4,
n = 12. Intervalo al 95%
2
2 

P  10  (  1.96) 
   10  1.96 
  P  8.87    11.13   0.95
12
12 

Caso 2. Media muestral = 10, varianza poblacional =4,
n = 12. Intervalo al 99%
2
2 

P  10  (  2.57) 
   10  2.57 
  P  8.52    11.48   0.99
12
12 

(2) Población normal y desconocemos  :
La distribución muestral del estadístico:
x
s/
n
no es una distribución normal, sino una distribución t de
Student con n -1 grados de libertad.
x


P   t / 2 
 t / 2   1  
s/ n


s
s


P x 
t / 2    x 
t / 2   1  
n
n


El intervalo para la media (cuando se conoce la
varianza poblacional), se define :
x

n
z / 2    x 

n
z / 2
Pero si no se conoce la varianza poblacional (el caso
realista), se tiene como intervalo:
x
s
n
t / 2    x 
s
n
t / 2
Distribución de la población desconocida y n > 30
Si n es grande (n > 30), la distribución del estadístico
x
s/
n
será prácticamente una distribución normal N(0,1).
El intervalo de confianza es:
x

n
z / 2    x 

n
z / 2
Nota: para n > 30 la distribución t de Student es prácticamente
una Normal.
Intervalo de Confianza para el Parámetro p de la
Binomial
h
1
n


X i ~ N  p,


pq 

n 
h p
h (1  h )
s h  ˆ h 
h (1  h )
n
~ N 0 ,1 
n
h  z
h (1  h )
2
n
 p  h  z
h (1  h )
2
n
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