Menú
Propiedades exponenciales.
Propiedades logarítmicas.
Solución de ecuaciones logarítmicas.
Gráficas de funciones exponenciales.
Gráficas de funciones logarítmicas.
Resumen del capítulo.
© Manuel Pontigo Alvarado.
ISBN 978-9968-9634-2-8
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Propiedades Exponenciales: Multiplicación
La multiplicación de los exponentes está definida por:
Considere: x = _ ; a = _
Fórmula a operar:
b; =
x x x
a
b
ab
_
Remplace por su fórmula
La instrucción para la HE es
Resuelto mediante la HE
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
2
Propiedades Exponenciales: División caso 1
La división de los exponentes está definida por:
x
a
Considere: x = __; a = __
x
b
Fórmula a operar:
b; = __.
x
a b
Remplace por su fórmula
Instrucción para la He:
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
3
Propiedades Exponenciales: División caso 2
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = __; a = __
Fórmula a operar:
x
x
a
b
 x
a b
b; = __.
Remplace por su fórmula
Instrucción para la He:Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
4
Propiedades Exponenciales: División caso 3
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = __; a = __
Fórmula a operar:
x
a
x
b
 x
( ab)
b; = __.
Remplace por su fórmula
Instrucción para la He:Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
5
Propiedades Exponenciales: Distributiva de la multiplicación.
La distribución de la multiplicación en los
exponentes está definida por:
 xy 
a
6
 x y
a
Considere; x = __; y =___; a = _
Formula a operar:
Instrucción para la He:
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
a
Propiedades Exponenciales: Distribución de la división.
7
a
La distribución de la división en los exponentes está
definida por:
x
x
   a
y
 y
Considere; x = __; y = __; a = __
Fórmula a operar:
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
7
resuelva.
a
Propiedades Exponenciales: La potencia de una potencia.
La potencia de una potencia en los exponentes está
definida por:
x 
a b
8
 x
Considere; x = __; y = __; a = __
Fórmula a operar:
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
ab
Propiedades Exponenciales: La potencia inversa.
La potencia inversa en los exponentes está definida por:
Considere; x = __; a = __
Fórmula a operar:
Remplace por su fórmula
Remplace por su
Cuadro
9
x
a

1
x
a
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace con su
Gráfico
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia raíz.
La potencia raíz en los exponentes está definida por:
Considere; x = 5; a = 2
Fórmula a operar:
10
1
x
a

a
x
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su
Cuadro
Remplace con su
Gráfico
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia racional.
La potencia racional en los exponentes está definida por:
a
x
b

b
x
11
a
Considere; x = __; a = __; b = __
Fórmula a operar:
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su
Cuadro
Remplace con su
Gráfico
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Logarítmicas: La forma logarítmica.
La forma logarítmica esta
definida por:
log a x  y ; y debe cum plirse x  a
12
y
Esto se lee como: y es exponente al que debe elevarse a para
obtener x
Considere
Remplace por su fórmula
Número
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Exponente
log a x  y ;
Base
En otras palabras: los logaritmos son exponentes para
una base cuya potencia arrojan el valor del número.
3.13 Logaritmos y bases de uso común.
13
Logaritmo de base 10.
Se dice que todo número positivo N puede expresarse como una potencia
de 10, es decir, se pueden encontrar siempre una base a tal que N = 10a. Se dice
que y es el logaritmo de N en base 10 = a o logaritmo decimal de N. Se puede
escribir:
y  log 10  a N
Por ejemplo; 1.000 = 103, por tanto, log10 1.000 = 3. Análogamente, como: 0,01 =
10–2, log10 0,01= –2
Cuando N es un número entre 1 y 10, es decir 100 y 101, a log10N está
comprendido entre 0 y 1.
Logaritmo neperiano.
Existe un logaritmos muy especial en la matemática conocido como Logaritmo
Neperiano cuya base es 2,71828183… que por su importancia se conoce como
Logaritmo Natural y la instrucción para calcular el logaritmo natural de
cualquier número (excepto 0) en la Hoja Electrónica es =LN(Número).
Propiedades Logarítmicas: La multiplicación.
La multiplicación en los logaritmos
está definida por:
14
L og a xy  log a x  log a y
Considere; x = _____; y = _____
Logaritmo de base 10
La función inversa
Logaritmo natural
La función inversa
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y
resuelva.
3.15
La multiplicación mediante logaritmos en forma gráfica.
15
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de 10,
el resultado de la exponenciación de la suma de los logaritmos y el producto
directo de x con y. En estudiante habrá comprendido las facilidades que dan los
logaritmos en la operación de unidades astronómicas.
Remplace por su
Cuadro
Remplace con su
Gráfico
Responda: Desarrolle la función para el logaritmo natural.
Propiedades Logarítmicas: La division.
La división en los logaritmos está definida por:
Considere: x = _____; y = _____
Logaritmo de base 10
16
x
log a    log a x  log a y
y
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
La función inversa
Remplace por su fórmula
Logaritmo natural
Remplace por su fórmula
La función inversa
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y
resuelva.
3.17
La división mediante logaritmos como función.
17
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones
logarítmicas de BASE 10, el resultado de la exponenciación de la
resta de los logaritmos y el cociente directo de x entre y.
Remplace por su
Cuadro
Remplace con su
Gráfico
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
Propiedades Logarítmicas: La potencia.
18
log a x  b  log a x
b
La potencia en los logaritmos está definida por:
Considere: x = ___; b = __
Logaritmo de base 10
Remplace por su fórmula
La función inversa
Remplace por su fórmula
Logaritmo natural
Remplace por su fórmula
La función inversa
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
R: Elija cualquier juego de numerales para x, b, diferentes a los usados y
resuelva.
3.19
Potencia mediante logaritmos como función.
Gráfico de las funciones:
Remplace por su fórmula
y
Remplace por su fórmula;
y comprobación del uso de las potencias con logaritmos.
Remplace por su
Cuadro
Remplace con su
Gráfico
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
19
Propiedades Logarítmicas: Propiedad de identidad y
propiedad de cambio de base.
La propiedad de identidad esta definida por:
log a x  log a y ; entonces, x  y
En esta propiedad de identidad debe entenderse que los
logaritmos de los números x e y son iguales, si la base a que hay
que elevar con el logaritmo da un número idéntico:
La propiedad del cambio de base:
Si x, y, z son números positivos, además x e y son diferentes de
1, entonces:
log x z 
log y z
log y z
Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas:
Pregunta: Escriba log 1.000 = 3 en forma exponencial.
Respuesta: 1.000 = 103
Remplace por su fórmula
Pregunta: Resuelva
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
21
3.22
Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas: Cambio de base
Resuelva para x usando una base a:
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Resuelva para x usando una base a:
Remplace por su fórmula
Considere una base a cualquiera, dígase 5. Por
RF
definición Log z  y por tanto, implica:
a
Remplace por su fórmula
Sustituyendo:
Remplace por su fórmula
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
22
3.23
Soluciones a ecuaciones logarítmicas: Potencia
inversa.
Usando logax = y, resuelva:
Por definición:
Remplace por su fórmula
Remplace por su fórmula
Resolviendo para x potenciando ambos
lados por –3:
Remplace por el cuadro
De operaciones de la
HE
Remplace por su fórmula
Recuerde que afectando a ambos lado de una igualdad por el
mismo valor no se altera el resultado
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
23
Graficas de funciones exponenciales.
Construya en la HE valores de dominio y
rango y grafique las funciones:
Remplace por su
Cuadro
f (k )  y;
x
24
 1  x 
f     y
  k  
Remplace con su
Gráfico
Se dice que la potencia de una constante crece y la ponencia inversa decrece
exponencialmente a mediada que x se incrementa o decrementa.
Responda: decrece; incrementa o decrementa ; crece
Graficas de funciones exponenciales. Ej: 3,22
Grafique la función lineal:
Remplace por su
Cuadro
y k
b x
donde k, y b son constantes
Remplace con su
Gráfico
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación
incluyendo valor inicial e incrementos.
25
3.26 Grafica de función exponencial para ubicar asíntotas.
Grafique las funciones:
Remplace por su
Cuadro
y1  f k
 bx  c 
d
y y 2  f k 
bx  c 
d
26
.
Remplace con su
Gráfico
Las asíntotas de la función ocurren en -2 para y1 y en +2 para y2.
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo
vlor inicial e incrementos; -2; +2.
3.27 Función logarítmica: Asíntotas.
Desarrolle y grafique las funciones: y1  Log  x  2  y
2
Remplace por su
Cuadro
27
y 2  Log 2  x  2 
.
Remplace con su
Gráfico
La asíntota ocurre cuado el dominio se aproxima a la indefinición, esto es a 0.
Mientras el rango, tiende ha hacerse paralelo al eje x a medida que los valores
del dominio aumentan.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
3.28
Función logarítmica: Función lineal con dos parámetros.
Desarrolle y grafique las funciones:
Remplace por su
Cuadro
y1  Log 10  x  2   2
y
y 2  Log 10  x  2   2
28
.
Remplace con su
Gráfico
La asíntota depende de la función, en y1 la función se indefine cuando x = 2 ya
que se hace cero y los logaritmos no están definidos para el cero. Así, en y2 se
indefine cuando x llega a −2.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
Resumen de las operaciones exponenciales
29
x x x
a
Multiplicación:
b
x
a
División:
x
b
Propiedad distributiva con multiplicación:
 xy  a
Propiedad distributiva con división:
a
 x
x
   a
y
 y
Potencia de una potencia:
x 
 x
a
1
Potencia Inversa:
x
a b
 x
 x y
a
a
a b

x
1
Potencia Racional:
x
Las funciones exponenciales se hacen asintóticas al ____.
Responda: eje x; eje y.
a
ab

ab
a
a
x
a
Resumen de las operaciones logarítmicas
30
Forma logarítmica: a = base; b = Número; y = exponente.
En donde y es la cantidad a la que hay que elevar a para
obtener x.
log a x  y
Multiplicación:
log a  xy   log a x  log a y .
División:
x
log    log a x  log a y
y
a
Potencia:
log a x  b  log a x
Propiedad de identidad:
si log a x  log a y entonces x  y
Propiedad de cambio de base: si x, y y z son
números positivos, y si x e y diferentes de 1,
entonces
log x z 
b
Las funciones logarítmicas se hacen asintóticas al _____.
Responda: eje x; eje y.
log y z
log y z
Resumen
El capítulo 3 del curso denominado Precálculo dedicado a
exponentes y logaritmos contiene el material didáctico
necesario para que el estudiante cuente con una base
mínima sólida para comprender cursos de cálculo u
álgebra avanzados y de la estadística que usualmente se
imparte a carreras que no son del área de la matemática.
Consta de tres herramientas computacionales cuyos fines son
complementarios: El editor de textos que contiene el
material del curso con respuestas en bastardilla de color
azul; el Libro Electrónico que contiene las operaciones
ejemplificadas y el ejercicio mínimo para el estudiante; y
este proyector de diapositivas cuyo objeto es que sea
elaborado como complemento del estudiante con ejercicios
particularizados.
Manuel Pontigo Alvarado, Enero 2007.
Descargar

Remplace por su fórmula - Tecnológico de Costa Rica