FUNCIONES POTENCIALES,
EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS.
4º ESO y 1º Bachillerato
Características de la función y =
•
•
•
•
•
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•
•
•
•
•
Sea la función: f(x) = ax
Donde siempre a > 0
El eje X es siempre una asíntota
horizontal.
Corta al eje Y en el punto (0,1).
Dom f(x) = R ,, Img f(x) = R+
La diferencia más importante de
las funciones con ( 0 < a < 1 ) y
a > 1 , es el CRECIMIENTO.
Si 0 < a < 1 
La función es DECRECIENTE.
Si a = 1  f(x) = 1
Si a > 1 
La función es CRECIENTE.
x
a
y
f(x) = ax
f(x) = ax
Para (0<a<1)
-4
-3 -2
Para a>1
-1
0
1
2
3
x
La función exponencial y=2x
2
y la función cuadrática y=x








Sea la función exponencial
f (x) = 2x
y
9
Está representada en color
NEGRO
La base es un número y el
exponente es la variable
independiente.
8
f (x) = x2
f (x) = 2x
Sea la función polinómica
f (x) = x2
Está representada en color
ROJO
La base es la variable
independiente y el exponente
es un número.
4
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
La función y =
8
-x
2
x
=(1/2)
Sea y = (1/2)x
Donde la base, a, vale ½ .
Muy importante: Siempre a > 0
y
Tabla de valores
4
Gráfica
-4
-3 -2
2
-1
0
1
2
3
x
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
16
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
La población mundial
Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el
crecimiento de la población mundial, ha establecido que esta
población, y, en función del año correspondiente, x, puede
expresarse según la siguiente ecuación:
y = 100,00389x+2




a) Dibuja la gráfica de esta función.
b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?.
c) ¿Y los 3 mil millones?
d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6 mil
millones de habitantes.
Declive de un valor
Digamos que comenzaste un pequeño negocio y compraste una camioneta
nueva para hacer entregas.
La camioneta tuvo un costo de 25.000 € y de acuerdo a la ley de impuestos,
te es permitido depreciar su valor por 15% por año.
Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor de la
camioneta será de solamente 85% de su costo original, o 21.250 €.

La fórmula: y = 25000.(1 – 0,15)x
 y = 25000.(0,85)x
predecirá el valor de la camioneta después de x años de depreciación a
15% por año.
Tenemos

1. ¿Disminuye el valor de la camioneta la misma cantidad cada año?


El primer año, por ser mayor el valor inicial.
3. ¿Cuándo es menor la caída en valor?


No, pues aunque disminuye siempre el 15%, lo hace sobre cantidades diferentes.
2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor?


Nunca, pues por muchos años que pasen siempre quedará algún valor.
4. ¿No tendrá ningún valor la camioneta en algún momento, de acuerdo a este
modelo?.





El resultado nunca puede ser negativo.
6. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que su valor fiscal sea de 5.000 €, de
acuerdo a este modelo?


El resultado nunca puede ser 0.
5. ¿Tendrá la camioneta en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este
modelo?


y = 25000.(0,85)x
y = 25000.(0,85)x  5000 = 25000.(0,85)x
5000/25000 = 0,85x  0,2 = 0,85x  ln 0,2 = x.ln 0,85
ln 0,2
- 1,609437
x = -------------- = ---------------- = 10 años aproximadamente
ln 0,85
- 0,162519
La función
y=log2 x
8
y
y = 2x
4







Sea y = 2x
La inversa de dicha
función es:
Tenemos:
y = 2x 
x = log2 x 
y = log2 x
Luego gráficamente
será simétrica
respecto a la recta y
=x
2
y = log2 x
8
y
La función y = log1/2x

y=(1/2)x


4

2




y = log1/2 x
Sea y = (1/2)x
Donde la base, a, vale ½ .
La inversa de dicha función
es:
Tenemos:
y = (1/2)x 
x = log1/2 x 
y = log1/2 x
Luego gráficamente será
simétrica respecto a la recta
y=x
Gráfica de y = log x

Sea

Tabla de valores

x
y
-2
-1
0
0,2
0,4
0,8
1
2
3
-------0,6990
-0,3980
-0,0970
0
0,3010
0,4773









y = log x
y
1
y = log x
0,5
-1
0
1
2
3
También la podíamos
haber obtenido por
simetría respecto a la
recta y=x, sabiendo que
es la inversa de y=10x
x
Gráfica de y = ln x

Sea
y = ln x

Tabla de valores
y
1
y = ln x
0,5










x
y
-2
-1
0
0,2
0,4
0,8
1
2
3
-------1,6094
-0,9163
-0,2231
0
0,6931
0,9861
-1
0
1
2
3
x
Comparativa y propiedades


Sea
y = log x e y = ln x


Es siempre creciente en R+


y = ln x
En general, si y = loga x , a
> 1 , se cumple:
El domino es Dom f(x) = R+
El recorrido es Img f(x) = R

y
Sea cual sea la base, “a”
corta al eje de abscisas en el
punto P(1, 0)
El eje de ordenadas es una
ASÍNTOTA de la función, pues
ésta tiende a converger con el
eje.
y = log x
0
1
2
3
Aunque para valores grandes
de x, el valor de y casi es cte.
, éste sigue creciendo hasta
el infinito, por ello la Img f(x)
es R.
x
Repaso.
Algunas funciones Potenciales

Se llama función potencia a cualquier expresión que
se pueda escribir de la forma:
Con a cualquier número real.

Son funciones potencias:
de x)
x2, x-1 (1/x), x1/2 (Raiz
Funciones Potenciales

Gráfica de
Funciones Potenciales. Hipérbola

Gráfica de 1/x
Funciones Potenciales

Gráfica de una raiz
x1/2
Funciones Potencias


Dilatación y Contracción
Un dato importante para recordar es que mientras más grande sea el valor de a, la
gráfica de la función más cerca del eje y se encontrará, y mientras más pequeño sea este
valor más lejos del eje y se encontrará, es decir:
Funciones Exponenciales.


Se llama función exponencial de base a, a>0, a la función de
la forma:
Ejemplos:
Funciones Exponenciales.

Gráfica de 2x
Funciones Exponenciales.
Funciones Exponenciales.

Gráfica de
Funciones Exponenciales.
Funciones Exponenciales.

Gráfica de
Funciones Exponenciales.

Gráfica de 8x
Ecuaciones Exponenciales.


Una ecuación exponencial es aquella ecuación en
la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a
tener en cuenta:
Ecuaciones Exponenciales.

Propiedades a considerar.
Ecuaciones Exponenciales.

Resuelva.
LOGARITMOS

Definición:
Logaritmo de un número positivo N en una base b,
positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe
elevarse la base para obtener el número N.
Los logaritmos se pueden presentar de dos formas:
Exponencial y Logarítmica,
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de la misma base siempre es 1.
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de 1, en cualquier base , es igual a cero.
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores.
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente
por el logaritmo de la base.
Propiedades de los Logaritmos.

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice (exponente
fraccionario).
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Funciones_Logarítmicas_y_exponenciales